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Zusatzdimensionen 04 08. 2020 13:29 #74167

Michael D. schrieb:

Ferragus schrieb: Wie in der Quantenmechanik üblich, kann man "klassisch kanonisch" quantisieren, was heißt: Man geht von klassischen Poisson-Klammern zu Kommutatoren.

Wie geht das? Kannst Du dafür ein einfaches Beispiel geben? Was ist eine klassische Poisson-Klammer? Was bedeutet kanonisch? Bitte keinen Link. Sag Du es mit Deinen eigenen Worten.


In der klassischen Mechanik ist ein System durch seinen 6n-dimensionalen Phasenraum gekennzeichnet, der durch die n Koordinaten und n Impulse aufgespannt wird. Im Fall eines einzelnen Punktteilchens also durch den 6-dimensionalen Raum \(\mathbf q,\mathbf p\). Die Dynamik des Systems wird bestimmt durch eine Hamiltonfunktion \( H(q,p,t) \) und die Hamiltonschen Gleichungen
\( \dot{\mathbf p} = - \frac{H}{\mathbf q}, \dot{\mathbf q}=\frac{H}{\mathbf p}.\)

Das ist übrigens äquivalent zur Lagrangefunktion. Man kann für die praktische Anwendung alternativ zur Lagrangefunktion die Hamiltonfunktion aufstellen (die ist idR. T+V und eine Funktion von Ort und Impuls) und daraus die Bewegungsgleichungen ableiten, das ist idR aber etwas umständlicher und mit Lagrange gehts meistens einfacher. Aber: Man kann für Funktionen auf dem Phasenraum die sog. Poissonklammern definieren, die zwei Funktionen eine Zahl zuordnet:
\( \{a,b\} = \frac{\partial a}{\partial p_i}\frac{\partial b}{\partial q_i} -\frac{\partial b}{\partial p_i}\frac{\partial a}{\partial q_i} \).
Für die Koordinaten und Impulsfunktionen selbst hat man beispielsweise
\( \{q_i,p_j\} =\delta_{ij} \).

Das erst mal zur klassischen Mechanik. Gehen wir jetzt zur Quantenmechanik. Dort wissen wir, dass die Observablen Operatoren sind, welche bestimmte Kommutatorrelationen haben, aber wie genau die aussehen, ist erst mal offen. Die kanonische Quantisierung besteht darin, die klassischen Relationen in quantenmechanische zu übersetzen, indem man die Poissonklammern durch Kommutatoren ersetzt nach dem Schema:
\( [ \cdot, \cdot] :=\{\cdot, \cdot\} i\hbar \).

Wenn wir ein freies Teilchen m in einer Dimension (Ort x, Impuls p) beschreiben wollen, dann ist z.B. klassisch
\( H(x,p) = \frac{p^2}{2m} \)

und \( \{x,p\}= 1\). Den Übergang zur Quantenmechanik machen wir, indem wir zum Hamiltonoperator
\( \hat H = \frac{{\hat{p}}^2}{2m}\)
gehen, wobei \(\hat p\) die Relation
\( [\hat{x}, \hat{p}]=i\hbar \)
erfüllt. Jetzt stellt sich die Frage: Worauf wirken diese Operatoren eigentlich und wie tun sie das und die Antwort ist: Es gibt verschiedene sog. Darstellungen, die aber gleichwertig sind. Man kann sich überzeugen, dass eine Darstellung dieser Operatoren z.B. diese ist: Der Funktionenraum, auf dem die Operatoren wirken, besteht aus komplexwertigen Funktionen \(psi(x)\) der Ortskoordinate, die quadratintegrabel sind. Dort wirken die Operatoren als
\( \hat x \psi(x) = x\psi(x),\qquad \hat p\psi(x) = -i\hbar\partial_x\psi(x)\).

Das ist die sog. Ortsdarstellung, genauso kann man aber eine ganz andere Darstellung nehmen, etwa die Impulsdarstellung, wo die Wellenfunktionen Funktionen von p sind und der Impulsoperator multiplakativ wirkt, während der Ortsoperator ein Differentialoperator ist.



Edit:
Ein Zusatz zur klassischen Mechanik für mathematisch Interessierte:

In der Lagrangschen Mechanik hat man ja einerseits den Konfigurationsraum \( M^n\) mit den Koordinaten \((q^1,...,q^n)\) und die Lagrangefunktion,
\(
L: TM^n\rightarrow\mathbb R,\qquad
(q,\dot q)\mapsto L(q,\dot q)
\)
die auf dem Tangentialbündel \( TM^n\) definiert ist (das Tangentialbündel hat Koordinaten \( (q, \dot q)\)Jetzt kann man die sog. kanonischen Impulse
\(p_i(q,\dot q):=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\)
definieren. Wenn man sich deren Transformationsverhalten \(q\rightarrow\tilde{q}\) anschaut, findet man
\( \tilde{p}_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{\tilde q}^i} = p_j \frac{\partial q^j}{\partial\tilde{q}^i} \),
und die Impulse sind entsprechend keine Vektoren sondern Kovektoren. Entsprechend sind \( p,q \) Koordinaten für das Kotangentialbündel. Das Kotangentialbündel ist mit der "kanonischen" 2-Form \( \omega = \mathbf p\wedge\mathbf q\) eine symplektische Mannigfaltigkeit.
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Zusatzdimensionen 05 08. 2020 12:50 #74204

Ferragus schrieb: Die kanonische Quantisierung besteht darin, die klassischen Relationen in quantenmechanische zu übersetzen...

Also wie bei der Schrödingerfunktion.

...Operatoren wirken, besteht aus komplexwertigen Funktionen \(psi(x)\) der Ortskoordinate, die quadratintegrabel sind. Dort wirken die Operatoren als
\( \hat x \psi(x) = x\psi(x),\qquad \hat p\psi(x) = -i\hbar\partial_x\psi(x)\).

Und dieser komplexwertige Phasenraum wird dann in der Stringtheorie zu echten aufgerollten Dimensionen?

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.

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Zusatzdimensionen 07 08. 2020 21:37 #74336

Was ist denn genau "Dimension"?

1) kartesisches Produkt von Mengen
2) gegeben durch die lin. unabh. Vektoren
3) Topologische-Dimension
4) Krull-Dimension
5) ...

Mal ein Beispiel:
Wenn man einen Vektorraum mit dem Körper der komplexen Zahlen und einem Basisvektoren e=1 hat, der den Raum aufspannt, dann ist die Dimension 1 und nicht etwa 2. Der Körper hat keinen Einfluss auf die Dimension. Denn e=1 ist linear unabhängig, ein Vektor und spannt den gesammten Raum auf.

Wenn man die komplexen (um unendlich erweitert) Zahlen als 2-Dim Kugel bezeichnet wird damit der 1-Dim Verktorraum gekrümmt. Die Vektoren liegen also auf der Kugeloberfläche.

Die Cayley-Zahlen (8 faches Kreuzprodukt) beim Calabi-Yau - Raum sind zwar kein Körper, aber analog könnte man der Raum durch diese Skalarfaktoren definieren. Damit hätte man keinen 11-Dim-Raum, sondern nur einen 3-Dim Raum, mit einer 8-Dim nullteilerfreie Divisionsalgebra als Skalarfaktoren.

Insbesondere sind die 3-Dimensionen keine "Zusatzdimension".

Ist diese Interpretation richtig?

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Zusatzdimensionen 07 08. 2020 21:51 #74339

uhennig schrieb: 2) gegeben durch die lin. unabh. Vektoren

Eigentlich gilt dies. Es gibt aber mehrere Defintionen für Dimensionen. So hat der Raum die Dimension der Länge, man kann aber auch dem Raum drei räumliche Dimensionen zubilligen.

uhennig schrieb: Wenn man einen Vektorraum mit dem Körper der komplexen Zahlen und einem Basisvektoren e=1 hat, der den Raum aufspannt, dann ist die Dimension 1 und nicht etwa 2. Der Körper hat keinen Einfluss auf die Dimension. Denn e=1 ist linear unabhängig, ein Vektor und spannt den gesammten Raum auf.

Das ist eigentlich eine Definitionsfrage, denn der Körper hat zwei Dimensionen auch wenn beide in einem Basisvektor zusammengefasst werden können.

Du kannst auch beliebige Dimensionen in einem Vektor zusammenfassen, man nennt aber jede Komponente des Vektors eine Dimension oder nach Belieben auch den kompletten Vektor, es kommt sicherlich auf den Zusammenhang an.

Man kann aber auch willkürlich Dimensionen bilden, zB Masse oder Gewicht oder Energie oder Druck etc. Im Impulsraum wird zB auch mit 3 Raumrichtungen des Impulses als 3 Dimensionen gerechnet.

Üblich geht man eben von den drei Raumdimensionen und der Zeit und den sonstigen unabhängigen Eigenschaften wie Masse und Ladung aus. Weiter kommen dann wohl der Spin, Farbladung, Hyperladung, Isospin ... etc in Betracht. Die Temperatur würde ich nicht hinzuzählen, kann man aber vielleicht für einen gegebenen Fall wie eine Dimension behandeln. Die Entropie wäre auch noch ein Kandidat.

Das wäre zumindest meine Antwort.

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Zusatzdimensionen 07 08. 2020 23:03 #74340

Hi ra-raisch, vielen Dank für deine Antwort.
Vektor und Koordinatendarstellung darf man nicht miteinander identifizieren. So ist zumindest die mathematische Definition.

Z.B. können die Vektoren auch Polynome sein. Sind also keine Zahlen!
Bei dem Vektor "aX² + bX +c" haben wir drei Basisvektoren x², x und 1. Die Faktoren können komplexe Zahlen sein. Die Dimension ist 3.
Jetzt kann es ja sein, dass man das in der Physik nicht so ernst nimmt.

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Zusatzdimensionen 07 08. 2020 23:49 #74342

uhennig schrieb: Hi ra-raisch, vielen Dank für deine Antwort.
Vektor und Koordinatendarstellung darf man nicht miteinander identifizieren. So ist zumindest die mathematische Definition.

Z.B. können die Vektoren auch Polynome sein. Sind also keine Zahlen!
Bei dem Vektor "aX² + bX +c" haben wir drei Basisvektoren x², x und 1. Die Faktoren können komplexe Zahlen sein. Die Dimension ist 3.
Jetzt kann es ja sein, dass man das in der Physik nicht so ernst nimmt.

Jeder endliche n-dimensionale relle Vektorraum ist isomorph zum R^n, seine Vektoren können also mit deren Koordinaten identifiziert werden.
Aber das nur am Rande, weil die relevante Strukturen (etwa der euklidische Raum oder unsere Raumzeit), von denen wir hier reden, nicht Vektorräume sind sondern Mannigfaltigkeiten.
Eine Mannigfaltigkeit ist lokal homöomorph zum R^n. Die Zahl n nennt man ihre Dimension. (Das ist die Definition, nach der du gefragt hast). Die Tangentialräume einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit sind übrigens n-dimensionale Vektorräume.

Edit: Autokorrektur korrigiert.

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Zusatzdimensionen 07 08. 2020 23:51 #74343

uhennig schrieb: Vektor und Koordinatendarstellung darf man nicht miteinander identifizieren.

Ja das ist mir bekannt. Der Vektor ist eine Größe und kann also solche eben als eine Dimension aufgefasst werden.
Das ist aber eine willkürliche Anschauung.

Physikalisch sind Dimensonen voneinander unabhängig, und weiterhin soll alles was es in der Welt gibt damit beschrieben werden kann.

Insofern könnte man statt der Ladung genausogut den Stromfluss als Dimension ansetzen, wie im SI. Oder statt der Masse die Energie. Nun kommt hinzu, dass Dimensionen gewählt werden, die keine Richtung besitzen, da die Richtungen ja bereits durch die drei Raumdimensionen gekennzeichnet werden. Ähnliches gilt für die Zeit. Jedenfalls dann, wenn man eben die Zeit und den Raum als erstes als Dimensionen definiert. Somit scheidet der Stromfluss aus und die Ladung ist rudimentärer. Selbst bei der Energie E=c²m steckt die Raumdimension als Kugeloberfläche etc drin und somit ist die Masse vorzuziehen. Die Dichte wäre prinzipiell gleichwertig, denke ich.

Die grundlegenden physikalischen Dimensionen sollten also Skalare sein, nebst Raum und Zeit. Dann sind sie auch lorentzinvariant. Die Energie ist auch nicht lorentzinvariant, es wird die kinetische Energie hinzugezählt im Gegensatz zur Ruhemasse.

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Zusatzdimensionen 07 08. 2020 23:59 #74344

uhennig schrieb: Was ist denn genau "Dimension"?

1) kartesisches Produkt von Mengen
2) gegeben durch die lin. unabh. Vektoren
3) Topologische-Dimension
4) Krull-Dimension
5) ...

Mal ein Beispiel:
Wenn man einen Vektorraum mit dem Körper der komplexen Zahlen und einem Basisvektoren e=1 hat, der den Raum aufspannt, dann ist die Dimension 1 und nicht etwa 2. Der Körper hat keinen Einfluss auf die Dimension. Denn e=1 ist linear unabhängig, ein Vektor und spannt den gesammten Raum auf.

Wir können C sowohl als komplexen Vektorraum mit (komplexer) Dimension 1 auffassen, ihn aber auch als reellen Vektorraum mit R^2 identifizieren. C hat reelle Dimension 2.
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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 00:07 #74345

Eigentlich ergibt es sich bereits aus meinem vorherigen Post, aber die Länge ist rudimentärer als der komplexe Vektor. Daher ist es rudimentärer ℝ² statt ℂ zu verwenden. Zumal es ja sogar drei Dimensionen sein sollen, die auch beliebig austauschbar und einzelnen verwendbar sein sollen. Zumindest sehe ich das so. Vielleicht ist es auch einfach nur Tradition, oder der Vorzug reeller Größen = rudimentärer. Wenn es möglich ist, geht die Tendenz zu natürlichen Zahlen....Quantisierung.

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 00:23 #74347

Ferragus: Jeder endliche n-dimensionale relle Vektorraum ist isomorph zum R^n, seine Vektoren können also mit deren Koordinaten identifiziert werden.
Aber das nur am Rande, weil die relevante Strukturen (etwa der euklidische Raum oder unsere Raumzeit), von denen wir hier reden, nicht Vektorräume sind sondern Mannigfaltigkeiten.


.. und der R^1 ist bijektiv zu R^N. Diese Abbildung und auch die Umkehrabbildung ist stetig.
Mit Isomorphie wird das ganze noch unklarer, was Dimension ist.

Mein obiges Beispiel bleibt mit deinner Anmerkung aber damit richtig. Der eindimensionale Raum mit dem Basisvektor e=1 und dem komplexen Körper ist dann 1-Dim.
Kann man etwa zeigen das dieser Raum dann 2-Dim ist? Dann hätten wir einen Widerspruch in der Mathematik gefunden.

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 01:14 #74349

Ferragus schrieb:

uhennig schrieb: Was ist denn genau "Dimension"?

1) kartesisches Produkt von Mengen
2) gegeben durch die lin. unabh. Vektoren
3) Topologische-Dimension
4) Krull-Dimension
5) ...

Mal ein Beispiel:
Wenn man einen Vektorraum mit dem Körper der komplexen Zahlen und einem Basisvektoren e=1 hat, der den Raum aufspannt, dann ist die Dimension 1 und nicht etwa 2. Der Körper hat keinen Einfluss auf die Dimension. Denn e=1 ist linear unabhängig, ein Vektor und spannt den gesammten Raum auf.

Wir können C sowohl als komplexen Vektorraum mit (komplexer) Dimension 1 auffassen, ihn aber auch als reellen Vektorraum mit R^2 identifizieren. C hat reelle Dimension 2.


Ich sehe es hier sehr streng und formal. Dimension wird nur durch Vektoren definiert. Der Körper oder alles andere sind Skalare (nur Zahlen ohne Dimension).
Also: Für alle z ist G = z * e eine Streckung von e. Das ist eine lineare Abbildung - genauer eine Gerade durch den Nullpunkt. Würde man das zeichnen z.B. für z=1 und z=i, dann sehe das nicht wie ein Gerade aus.

Eigentlich habe ich hier aber eine ganz andere Antwort auf meine Frage erwartet.
Etwa "4) Krull - Dimension" oder etwas anderes.

Um dein Beispiel noch weiter zu fassen. Es gibt ja auch noch die Homotopie-Aquivalenz. Der 4-Dim-Raum ist 0-Homotop. Man kann diesen zu einem Punkt zusammenziehen. In dem Calaby-Yau -Raum, weil er Löcher hat, ist das nicht möglich. Ein String um einen Donut (Torus) gewickelt kann man nicht zusammenziehen, weil er die Mannigfaltikeit nicht verlassen darf. Den Zusammenhang zur Homology wäre dann für mich interssant.

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 01:39 #74350

uhennig schrieb: Ich sehe es hier sehr streng und formal. Dimension wird nur durch Vektoren definiert. Der Körper oder alles andere sind Skalare (nur Zahlen ohne Dimension).

In der Physik ist es eher anders herum. Jede nichträumliche Eigenschaft, also ein Skalar, ist eine eigene Dimension. Das liegt aber am Begriff des Skalars. Oft wird zwar gesagt, dass es nur eine Zahl sei, das stimmt aber natürlich nicht. Eine Ladung ist etwas anderes als eine Masse. In der Physik wird mitunter alles "Skalar" genannt, was nicht raumorientiert oder zeitabhängig ist.

wiki:
In der Physik werden Skalare verwendet zur Beschreibung physikalischer Größen, die richtungsunabhängig sind. Beispiele für skalare physikalische Größen sind die Masse eines Körpers, seine Temperatur, seine Energie und auch seine Entfernung von einem anderen Körper (als Betrag der Differenz der Ortsvektoren).

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 06:14 #74351

uhennig schrieb:
Ich sehe es hier sehr streng und formal. Dimension wird nur durch Vektoren definiert. Der Körper oder alles andere sind Skalare (nur Zahlen ohne Dimension).
Also: Für alle z ist G = z * e eine Streckung von e. Das ist eine lineare Abbildung - genauer eine Gerade durch den Nullpunkt. Würde man das zeichnen z.B. für z=1 und z=i, dann sehe das nicht wie ein Gerade aus.

Eigentlich habe ich hier aber eine ganz andere Antwort auf meine Frage erwartet.
Etwa


Ich habe deine Frage in meinem Post doch beantwortet? Also nochmal; die Dimension einer Mannigfaltigkeit (also etwa der Raumzeit) ist definiert als Dimension n des R^n zu dem sie lokal homöomorph ist.

Übrigens ist "sehr streng formal" die Dimension von C als reeller Vektorraum 2, der von 1 und i aufgespannt wird. Wenn du das nicht siehst, solltest du noch mal die Definition eines Vektorraums nachlesen.
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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 06:19 #74352

uhennig schrieb:

Ferragus: Jeder endliche n-dimensionale relle Vektorraum ist isomorph zum R^n, seine Vektoren können also mit deren Koordinaten identifiziert werden.
Aber das nur am Rande, weil die relevante Strukturen (etwa der euklidische Raum oder unsere Raumzeit), von denen wir hier reden, nicht Vektorräume sind sondern Mannigfaltigkeiten.


.. und der R^1 ist bijektiv zu R^N. Diese Abbildung und auch die Umkehrabbildung ist stetig.
Mit Isomorphie wird das ganze noch unklarer, was Dimension ist.

Mein obiges Beispiel bleibt mit deinner Anmerkung aber damit richtig. Der eindimensionale Raum mit dem Basisvektor e=1 und dem komplexen Körper ist dann 1-Dim.
Kann man etwa zeigen das dieser Raum dann 2-Dim ist? Dann hätten wir einen Widerspruch in der Mathematik gefunden.

Der R^1 ist nicht isomorph zum R^n.

Edit: Damit es klar ist: du sprichst von Vektorräumen. Ein Vektorraumisomorohismis ist eine lineare Abbildung zwischen dem beiden.

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 09:25 #74353

Ferragus schrieb:

uhennig schrieb:

Ferragus: Jeder endliche n-dimensionale relle Vektorraum ist isomorph zum R^n, seine Vektoren können also mit deren Koordinaten identifiziert werden.
Aber das nur am Rande, weil die relevante Strukturen (etwa der euklidische Raum oder unsere Raumzeit), von denen wir hier reden, nicht Vektorräume sind sondern Mannigfaltigkeiten.


.. und der R^1 ist bijektiv zu R^N. Diese Abbildung und auch die Umkehrabbildung ist stetig.
Mit Isomorphie wird das ganze noch unklarer, was Dimension ist.

Mein obiges Beispiel bleibt mit deinner Anmerkung aber damit richtig. Der eindimensionale Raum mit dem Basisvektor e=1 und dem komplexen Körper ist dann 1-Dim.
Kann man etwa zeigen das dieser Raum dann 2-Dim ist? Dann hätten wir einen Widerspruch in der Mathematik gefunden.

Der R^1 ist nicht isomorph zum R^n.

Edit: Damit es klar ist: du sprichst von Vektorräumen. Ein Vektorraumisomorohismis ist eine lineare Abbildung zwischen dem beiden.


Hi Ferragus, ich sagte nicht Isomorph, sondern Bijektiv und stetig mit stetiger Umkehrabbildung.
Nicht mathematisch formuliert. Man kann mit einem Bleistift "1-Dim" eine 2-Dim Fläche ausmalen. Das ist ein Grund die Dimensionen topologisch zu betrachten.

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 09:32 #74354

ja das hat aber nichts mit dem Thema zu tun.

Nochmal: Die Definition der Dimension einer Mannigfaltigkeit ist die oben genannte. Wo ist dein Problem damit?

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 09:33 #74355

Ferragus schrieb:

uhennig schrieb:
Ich sehe es hier sehr streng und formal. Dimension wird nur durch Vektoren definiert. Der Körper oder alles andere sind Skalare (nur Zahlen ohne Dimension).
Also: Für alle z ist G = z * e eine Streckung von e. Das ist eine lineare Abbildung - genauer eine Gerade durch den Nullpunkt. Würde man das zeichnen z.B. für z=1 und z=i, dann sehe das nicht wie ein Gerade aus.

Eigentlich habe ich hier aber eine ganz andere Antwort auf meine Frage erwartet.
Etwa


Ich habe deine Frage in meinem Post doch beantwortet? Also nochmal; die Dimension einer Mannigfaltigkeit (also etwa der Raumzeit) ist definiert als Dimension n des R^n zu dem sie lokal homöomorph ist.

Übrigens ist "sehr streng formal" die Dimension von C als reeller Vektorraum 2, der von 1 und i aufgespannt wird. Wenn du das nicht siehst, solltest du noch mal die Definition eines Vektorraums nachlesen.


Hi Ferragus, klar ist die Dimension von C gleich zwei. Was denkst du warum ich das scheinbar widersprüchliche Beispiel gemacht habe?
Die LA definiert die Dimension aber nicht durch die Skalare sondern durch die Vektoren.

Der Faktorraum in dem Beispiel hat die Dimension 2 und der Vektor e = 1 wird linearkombiniert. Damit ist die Dimension = 1.
Das sieht wie ein Widerspruch aus - ist es aber nicht, da man in der Mathematik nicht die Skalare betrachtet.
Das die Physik das nicht so macht und scheinbar die Dimensionen der Skalare inklusive betrachtet, wusste ich nicht.

Ob diese Sichtweise der Physiker in diesem Kontext einen Sinn macht, wäre noch zu diskutieren.

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 09:38 #74356

In der Physik wir nichts "anders" gemacht und du weichst aus: Eine Mannigfaltigkeit ist lokal homöomorph zum R^n. Ihre Dimension ist n. Eine Mannigfaltigkeit enthält keine Vektoren.

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 12:37 #74373

Ferragus schrieb: In der Physik wir nichts "anders" gemacht und du weichst aus: Eine Mannigfaltigkeit ist lokal homöomorph zum R^n. Ihre Dimension ist n. Eine Mannigfaltigkeit enthält keine Vektoren.


Vielleicht reden wir aneinander vorbei. Hier wurde Dimension aus der Sicht der LA betrachtet und da ist der Vektorraum das entscheidene Kriterium.
Dann ist dieser Ansatz dann doch nicht der Richtige. (?) Vermutlich sieht man Dimension dann mehr als kartesisches Produkt - Koordinatendarstellung. So würde ich jetzt deinen Ansatz interpretieren.

Seltsam finde ich dann, dass man die algebraische Struktur der 8-Dim Caley-Zahlen nimmt.
Diese sind dann doch mit den anderen Dimensionen zu mutliplizieren! Eine sinnvolle Algebra mit höhren Dimensionen (z.B. 11) gibt es nicht.

Das mathematische Konzept ist doch dann nur "berechenbar", wenn man zwischen Vektoren und den Caley-Zahlen unterscheidet - oder wie rechnet man mit den 11- Dimensionen. Wenn man nicht rechnen kann, hat man auch keine Mannigfaltigkeiten.

Kurze Nachtrag : Mal ein konkretes Beispiel
Eine Gerade ist eine Mannigfaltigkeit. Ohne konkret das zu spezifizieren würde man sagen, die ist 1-Dimensional.
Also Konkret: Eine Gerade durch den Nullpunkt ist g = x * V mit x ist Zahl und V ist ein konstanter Vektor.

Jetzt nehmen wir V = (1) - Basisvektor der reellen Zahl (1-Dim). x nehmen wir aus den komplexen Zahlen C.
Jetzt betrachen wird die 1-Dim Gerade für 3 - X-Werte. x1 = 0, x2 = 1 und x3= i; Also p1 = x1*1, p2 = x2 * 1, p3 = x3 * 1.
Man zeichnet das in C und würde keine Gerade sehen mit den den Punkten p1 = 0, p2 = 1 und p3 = i; (Die liegen nicht auf einer Geraden!)

Für den Calaby-Yau - Raum wäre die Gerade ebenfalls definiert durch g = x * V. für x aus Caley-Zahl und V aus den 3-Dim "Zusatzdimensionen".

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 12:38 #74375

Nochmal zu einem einfaches Beispiel aus der Physik. Eine einfache Wellenfunktion im Grundzustand. Die kann entweder hin- und herschwingen oder sich bei komplexer Betrachtung drehen. Wofür hat sich die Natur entschieden?

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Zusatzdimensionen 08 08. 2020 16:25 #74385

Du wirfst ständig Mannigfaltiglkeiten und Vektorräume zusammen. Bsp.: Die 1-Sphäre S1 ist eine 1-dim. Mannigfaltigkeit. Die kannst du dir eingebettet in den R^2 als Kreis um den Ursprung mit Radius 1 vorstellen. Das ist aber kein Vektorraum. Mannigfaltigkeiten sind keine Vektorräume.
Die Dimension einer Mannigfaltigkeit ist einfach gesagt die Anzahl an reellen Zahlen (Koordinaten) die du benötigst, um ihre Punkte zu beschreiben.

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Zusatzdimensionen 09 08. 2020 10:31 #74412

Ferragus schrieb: Du wirfst ständig Mannigfaltiglkeiten und Vektorräume zusammen. Bsp.: Die 1-Sphäre S1 ist eine 1-dim. Mannigfaltigkeit. Die kannst du dir eingebettet in den R^2 als Kreis um den Ursprung mit Radius 1 vorstellen. Das ist aber kein Vektorraum. Mannigfaltigkeiten sind keine Vektorräume.
Die Dimension einer Mannigfaltigkeit ist einfach gesagt die Anzahl an reellen Zahlen (Koordinaten) die du benötigst, um ihre Punkte zu beschreiben.


Ständig? Geraden, Ebenen Kugeln sind Mannigfaltigkeiten.
Ansonsten sehe ich das topologisch. Eine Tasse ist ein Torus! Die komplexe Ebene, erweitert und einen Punkt ist eine Kugeloberfläche.
Im Prinzip besteht alles aus kompositionen von Simplexen! Das nennt man algebraische Topologie. Die String-Theorie basiert darauf!

Simplexen ordnet man eine Dimension zu. Damit ist jede Mannigfaltigkeit, wenn diese keine Löcher hat ein Unterraum (Vektorraum).
Also die Aussage "Mannigfaltigkeiten sind keine Vektorräume" ist einfach nicht richtig. Ebenen sind Mannigfaltigkeiten.

Koordinaten als Dimension zu bezeichnen ist auch nicht sinnvoll. Schaue Dir mal genau mein Geradenbeispiel an!
In deiner Interpretation wäre eine Gerade 2 - Dimensional (weil es die Koordinaten so sagen). Der Raum selbst hätte dann auch diese Dimension.
Das ist offensichtlich nicht richtig.

Wir sollten diese Diskussion beenden. Was mich betrifft macht das für mich keinen Sinn mehr.

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Zusatzdimensionen 09 08. 2020 11:00 #74417

uhennig schrieb: Also die Aussage "Mannigfaltigkeiten sind keine Vektorräume" ist einfach nicht richtig. Ebenen sind Mannigfaltigkeiten.

Es ist sicherlich Definitionsfrage und "ist nicht" ist ebenso doppeldeutig, der eine spricht von Teilmenge der andere von umfassender Definition, der Dritte von Ausschließlichkeit, und der Vierte von Schnittmenge ... vermute ich jedenfalls.

Die Sichtweise in unterschiedlichen Bereichen der Mathematik ist durchaus interessant. Hier in der Physikabteilung geht das aber teilweise ein bisschen anders, jedenfalls was die Bezeichnungen betrifft. "Dimension" kann ja zB auch die Anzahl der Nullen bedeuten, also die Größenordnung. Im engen Sinne sind Dimensionen jedenfalls die rudimentärsten unabhängigen Eigenschaften, und noch enger nur die Raumdimensionen, wobei komplexe Zahlen als zwei Dimensionen zu zählen sind und bei Vektoren deren Komponenten. Der Vektor als solcher mag eindimensional sein, weil er ja nur in eine Richtung zeigt. Im Raum ist er aber dreidimensional (oder vier bei der Raumzeit ... oder noch mehr je nach Art des Raumes)

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Zusatzdimensionen 09 08. 2020 11:11 #74419

ra-raisch schrieb: Die Sichtweise in unterschiedlichen Bereichen der Mathematik ist durchaus interessant. Hier in der Physikabteilung geht das aber teilweise ein bisschen anders, jedenfalls was die Bezeichnungen betrifft. "Dimension" kann ja zB auch die Anzahl der Nullen bedeuten, also die Größenordnung. Im engen Sinne sind es jedenfalls die rudimentärsten unabhängigen Eigenschaften.


Klingt interesant ra-risch!
Hast du eine Quelle für mich - oder ein Stichwort für Google, damit ich das mir anschauen kann?

Interessant ist ja z.B. auch die Sichtweise "Freiheitsgrad" als Dimension.
Ein String auf einer Geraden hat weniger Freiheitsgrade. Diese Einschränkung kann ja auch dadurch gegeben sein, dass nicht der Raum, sondern ein physikales Gesetzt das definiert. Aber da kann ich als nicht Physiker ja nur spekulieren.

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Zusatzdimensionen 09 08. 2020 11:31 #74421

uhennig schrieb: Ein String auf einer Geraden hat weniger Freiheitsgrade.

Bei Strings kenne ich mich zwar nicht aus. Aber die Strings sind eben nicht auf eine gerade beschränkt, sondern dürfen sich in 11 Dimensionen ...oder so...bewegen.

uhennig schrieb: Diese Einschränkung kann ja auch dadurch gegeben sein, dass nicht der Raum, sondern ein physikales Gesetzt das definiert. Aber da kann ich als nicht Physiker ja nur spekulieren.

Da hast Du einen richtigen Punkt angesprochen. Viele Probleme werden vereinfacht, indem man Dimensionen ausblendet. Die Ladung spielt zB keinerlei Rolle, wenn nur ungeladene Teilchen betrachtet werden, doer besseres Beispiel: bei der Bewegung auf der Geraden spielen die beiden anderen Raumdimensionen keine Rolle. Das Problem wird dann (räumlich) eindimensional.

uhennig schrieb: Hast du eine Quelle für mich

Einen Link zu was genau? Sieh einfach bei Duden oder wiki nach, auch Googel liefert oft gute Definitionen. Stichwort wäre einfach "Dimension".
zB
de.wikipedia.org/wiki/Dimension_(Größensystem)
de.wikipedia.org/wiki/Größenordnung ... hmm da wird das Wort "Dimension" gar nicht erwähnt, aber Dir ist sicher auch geläufig, dass man etwas "dimensionieren" kann, womit "Skalieren" gemeint ist, "das ist eine ganz andere Dimension". Häufig ist insoweit die Verwendung von "Skala".
(komisch, wir hatten die Frage schon und da hatte ich gleich Zitate an der Hand)

Duden:
Ausdehnung eines Körpers (nach Länge, Breite und Höhe)
Gebrauch Physik

Beziehung einer Größe zu den Grundgrößen des Maßsystems
Gebrauch Physik

Aber wie mehrmals gesagt, ist auch die Einheit der Koordinaten eines Grafen als willkürlich gewählte Dimension möglich

Hier zB Impulsraum, reziproke Fermikugel (k-Raum), reziproker Frequenzraum (frequency domain) bzw reziprokes Gitter, da wird es schon topologisch
de.wikipedia.org/wiki/Fourier-Analysis#Anwendungen
de.wikipedia.org/wiki/Fermi-Flüssigkeits..._und_Voraussetzungen
de.wikipedia.org/wiki/Impulsraum
de.wikipedia.org/wiki/Reziprokes_Gitter
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Zusatzdimensionen 09 08. 2020 11:51 #74425

Vielen Dank ra-raisch. Die Wiki-Artikel kenne ich natürlich. Die Mathematik ist ein gutes Werkzeug, aber ist m.E. nicht 1 zu 1 übertragbar.

Beispiele:
* In der Mathematik gibt die leere Menge. In der Physik gibt es den leern Raum nicht, wie wir das zuletzt in UWUDL gesehen haben.
* In einem UWUDL-Beitrag zum Thema "Schwarzes Loch" wurde gezeigt, dass aus den 3-Dim Raum ein 1- Dim Raum wird, wenn man hinter dem Schwarzschildradius ist. Die Zeit-Dimension wurde dann vergrößert. Eine vergleichbare Definition für Dimension in der Mathematik habe ich noch nicht gesehen. Vielleicht die Hausdorff-Dimension.

Mal sehen, was ich da in anderen Quellen noch finde.

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Zusatzdimensionen 09 08. 2020 11:57 #74426

uhennig schrieb: Beispiele:

Ich habe noch ein paar Links ergänzt zu Räumen in der Physik.
Extradimensionen gibt es ja auch bei der Raumkrümmung, zumindest kann man es sich so besser vorstellen. Die Dimension (Einheit) der Extradimension (physikalische Größe) ist dabei frei wählbar, meist wird in Metern oder dimensionslos gerechnet.

uhennig schrieb: * In der Mathematik gibt die leere Menge. In der Physik gibt es den leern Raum nicht, wie wir das zuletzt in UWUDL gesehen haben.

Ein Punkt hat keinen Raum, daher ja diese Singularitäten., wenn man dafür die Dichte etc berechnen will.

uhennig schrieb: * In einem UWUDL-Beitrag zum Thema "Schwarzes Loch" wurde gezeigt, dass aus den 3-Dim Raum ein 1- Dim Raum wird, wenn man hinter dem Schwarzschildradius ist. Die Zeit-Dimension wurde dann vergrößert.

Das musst Du falsch verstanden haben, es gibt dort auch nur eine Zeit und eine Raumdimension wird zeitartig aber nicht eine zweite Zeitdimension. Je nach Problemstellung kann man diese dann als Zeit behandeln, dann aber die richtige Zeit als Raumdimension, das ist dann eher eine mathematische Interpretation.

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Zusatzdimensionen 09 08. 2020 12:36 #74428

ra-raisch schrieb: Das musst Du falsch verstanden haben, es gibt dort auch nur eine Zeit und eine Raumdimension wird zeitartig aber nicht eine zweite Zeitdimension. Je nach Problemstellung kann man diese dann als Zeit behandeln, dann aber die richtige Zeit als Raumdimension, das ist dann eher eine mathematische Interpretation.


Mag sein - schaue ich mir nochmals an. Ich werde noch hier zu einem Physiker :-)

Aus dem Gedächtnis heraus wurde in dem Beitrag soetwas gesagt wie: "Hinter dem Schwarzsschild, gibt es nur noch eine Richtigung, mämlich Richtung scharzes Loch (Zentrum)" und kein Zuück mehr. Der Freiheitsgrad wäre dann nicht mehr so frei, wie davor.

Interessant an dieser Situation finde ich ist, dass die Freiheitsgrade wechseln können.
Wenn ich "Freitheitsgrade" als Dimensionbegriff nehme, dann wird aus 3-D ein 1-D Ruam.

Kurzer Nachtrag: Die Quelle, die ich im Kopf hatte: Kindle Buch UWUDL Seite 259.

.... Während außerhalb des Schwarzschildradius die Zeit immer nur in eine Richtung, also »vorwärts«, in Richtung Zukunft, vergeht – ein Zurück gibt es nicht –, hat man nun innerhalb des Schwarzschildradius vollkommene Freiheit in der Zeit: zurück, vorwärts, in Schleifen hin und her, alles ist möglich. Anders bei der Raumkoordinate. Außerhalb des Ereignishorizonts haben wir alle Freiheiten. Wir können uns vorwärts, rückwärts, nach oben oder unten bewegen, also ohne Einschränkung, wie wir wollen. Ist das Vorzeichen bei der Raumkoordinate jedoch umgedreht, dann gibt es diese Freiheit nicht mehr, und es ist nur noch eine einzige Richtung denkbar, nämlich die Richtung direkt auf das Zentrum des Schwarzen Loches,
Gaßner, Josef M.. Können wir die Welt verstehen?: Meilensteine der Physik von Aristoteles zur Stringtheorie (German Edition) (S.259-260). FISCHER E-Books. Kindle-Version. ...

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Zusatzdimensionen 09 08. 2020 13:15 #74430

uhennig schrieb: Interessant an dieser Situation finde ich ist, dass die Freiheitsgrade wechseln können.
Wenn ich "Freitheitsgrade" als Dimensionbegriff nehme, dann wird aus 3-D ein 1-D Ruam.

Nein, so ist das nicht gemeint. Der Raum bleibt schon dreidimensional, allerdings bekommt die radiale Dimension (Polarkoordinaten) einen Richtungspfeil, das ist dann "zeitartig", im Linienelement ist das Vorzeichen negativ. Die Zeit wird im Gegenzug raumartig, das Vorzeichen wird positiv. Aber das sind nur spezielle Eigenschaften, die Zeit bleibt die Zeit und der Raum der Raum.

Ja so steht es auch in Deinem Zitat.

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Zusatzdimensionen 09 08. 2020 13:18 #74431

Was ist nun mit der Wellenfunktion? Schwingung im R3 oder Drehung im C3?

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.

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Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.
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