THEMA: 50 Gruppentheorie

Ich finde die Gruppentheorie faszinierend. Sie erinnert mich ein wenig an die Chaostheorie. Man wendet eine Verknüpfung / Funktion / einen Operator auf Objekte an und erhält immer neue Objekte. Es ist wie das Henne/Ei-Problem, man weiß nicht, ob das Objekt oder die Funktion zuerst da war, aber man erhält ein Muster, eine Gruppe. Und man assoziiert mit den ein, zwei Drehungen und den drei 'Farbdrehungen' einen dreidimensionalen 'Funktionsraum'.

Die folgende Frage drängt sich mir auf: Sind die Drehungen in U(1), SU(2)L und SU(3) unabhängig voneinander oder ist die Drehung in U(1) gleich einer der beiden Drehungen in SU(2)L und sind die beiden Drehungen in SU(2)L in SU(3) enthalten ? Da es nur Teilchen aus allen drei Gruppen - also nicht einzeln - gibt, könnte man letzteres vermuten.

Und eine weitere Frage: Könnte es sein, dass die zweite Drehung in SU(2)L keine Drehung, sondern eine Radiusänderung, eine Sinusschwingung ist ? Denn auch Sinusschwingungen werden auf sich selbst abgebildet und sind daher symmetrisch.

Ich bin ein Anschauungsfreak und fände es daher faszinierend, wenn man diese drei Gruppen auf einen dreidimensionalen Funktionsraum mit zwei Drehungen und einem Radius (genauer einer Radiengeschwindigkeit) abbilden könnte.

Dick schrieb: Und eine weitere Frage: Könnte es sein, dass die zweite Drehung in SU(2)L keine Drehung, sondern eine Radiusänderung, eine Sinusschwingung ist ? Denn auch Sinusschwingungen werden auf sich selbst abgebildet und sind daher symmetrisch.

Keine Drehung, sondern eine Radiusänderung? Was soll das denn bedeuten? Eine Sinusschwingung, auch Sinus(x) ist eine zykloide Funktion. Wenn man die auf sich sich selbst malt, passt das natürlich bestens.
So sieht sie aus:

Wo siehst du denn da eine Radiusänderung?

Ein nettes Bild.
Nur ein Elektron bewegt sich nicht so, sondern es schwingt auf dieser Kreisbahn um den mittleren Radius. Der Radius ändert sich also ständig.

Hallo Dick,

zum einen Punkt: SU(2) beschreibt keine Radiusänderung. Die "Drehung" von der die Rede ist, meint keine physikalische Drehung von irgendeinem Objekt in 3d um eine Achse. Der Darstellungsraum ist nicht unser Anschauungsraum mit drei Dimensionen - Darstellungen von U(1) sind z.B. 1-dim. Per Definition erhalten die Abbildungen der speziellen unitären Matrizen (SU(n)) aber das Skalarprodukt was heißt, dass Abstände im Darstellungsraum sich durch diese Abbildungen nicht ändern. Das sind Drehungen (und Spiegelungen, aber das S in SU stellt eine zusätzliche Bedingung, nämlich Determinante=1).

Einen konstanten Radius kann man für die Gruppe SU(2) mit der Bedingung \( \dot r = 0\) erhalten. Mit dem Skalarprodukt erhält man dann Ausdrücke der Form \( e^{i(\omega t + k*r)} \), was bis auf das Vorzeichen einer Materiewelle entspricht.

Vielleicht genügt es für SU(2) auch, wenn der Radius nur in den Nullstellen konstant ist. Das entspräche einer quantisierten Drehung.