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THEMA: Noether-Theorem: Ladungserhaltung

Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 10:53 #60200

Nach dem Noetherschen Theorem ist jeder Erhaltungssatz verbunden mit einer Symmetrieeigenschaft der jeweiligen Theorie, d. h. ihrer Invarianz unter Eichtransformationen. Im Falle der (Quanten-)Elektrodynamik ist das die Invarianz unter globalen Eichtransformationen (Eichgruppe U(1), Multiplikation mit einem komplexen Phasenfaktor) der Wellenfunktion geladener Teilchen:

\(\psi(x) \rightarrow e^{i\alpha}\psi(x)\)

Was muss man sich genau darunter vorstellen? Was ist ein komplexer Phasenfaktor?

Ad hoc kann man erstmal sagen, dass der Phasenfaktor \(\alpha\) "nur" eine skalare Zahl ist (Gruppe U(1)). Es ist keine Matrix wie z.B. bei SU(2) und SO(3).

"Globale" Transformation heisst zunächst, dass der Parameter \(\alpha\) reell ist und nicht von Ort und Zeit abhängen soll. Die Gruppe U(1) hat folgende Gruppenoperationen:

1. \(e^{i\alpha_1}e^{i\alpha_2}=e^{i(\alpha_1+\alpha_2)}\)
2. \((e^{i\alpha})^{-1}=e^{-i\alpha}\)

Ok, das sind die ganz normalen Potenzgesetze. Wenn ich also mit einem komplexen Phasenfaktor \(e^{i\alpha}\) multipliziere, heisst das, dass ich einfach \(\alpha\) im Exponenten addiere. Lernt man ja schon auf der Schule. Soweit klar. Das heisst also, bei der kontinuierlichen Transformation:

\(A\cdot e^{i\alpha_1} \rightarrow A\cdot e^{i (\alpha_1+\alpha_2)}\)

bleibt die Ladung erhalten. Jetzt mal eine Animation dazu:



Das ist die Wellenfunktion eines freien, geladenen Teilchens. Warum geladen? Weil es einen Drehsinn in der komplexen Ebene hat. Man kann sich jetzt vorstellen, dass sich an diesem Drehsinn nichts ändert, wenn ich die Phase in positive Zeitrichtung schiebe. Schieb ich sie aber in die negative Zeitrichtung, bekomme ich eine Umkehr des Drehsinns bzw. der Ladung. Der Betrag der Ladung, d.h. die qualitative Tatsache, dass das Teilchen einen Drehsinn in der komplexen Ebene hat, ändert sich jedoch nicht:


Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 14:16 #60207

Michael D. schrieb: Man kann sich jetzt vorstellen, dass sich an diesem Drehsinn nichts ändert, wenn ich die Phase in positive Zeitrichtung schiebe. Schieb ich sie aber in die negative Zeitrichtung, bekomme ich eine Umkehr des Drehsinns bzw. der Ladung.

Das widerspricht sich gegenseitig. Wenn Du eine Aktion "rückgängig" machst, sollte das Endergebnis nicht anders als der Ausgangspunkt sein.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 14:28 #60209

ra-raisch schrieb: Das widerspricht sich gegenseitig. Wenn Du eine Aktion "rückgängig" machst, sollte das Endergebnis nicht anders als der Ausgangspunkt sein.

Die Phase erhält auf jeden Fall dann mathematisch ein Minuszeichen, wenn ich die Phase um mehr als \(\alpha_1\) in die andere Richtung schiebe (\(\alpha_2 > \alpha_1\)):

\(e^{i(\alpha_1-\alpha_2)} \rightarrow e^{-i\alpha}\)

Dann bekomme ich ein Antiteilchen. Das hat einen umgekehrten komplexen Drehsinn.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 14:58 #60211

Michael D. schrieb:

ra-raisch schrieb: Das widerspricht sich gegenseitig. Wenn Du eine Aktion "rückgängig" machst, sollte das Endergebnis nicht anders als der Ausgangspunkt sein.

Die Phase erhält auf jeden Fall dann mathematisch ein Minuszeichen, wenn ich die Phase um mehr als \(\alpha_1\) in die andere Richtung schiebe (\(\alpha_2 > \alpha_1\)):

\(e^{i(\alpha_1-\alpha_2)} \rightarrow e^{-i\alpha}\)

Dann bekomme ich ein Antiteilchen. Das hat einen umgekehrten komplexen Drehsinn.

ja, in der exakten Ausdrucksweise liegt die Würze.
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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 15:15 #60214

Wenn man jetzt der Logik der Feynman-Diagramme folgt, müsste auf der x-Achse die Raumzeit sein. Das würde passen.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 18:09 #60225

Michael D. schrieb: Dann bekomme ich ein Antiteilchen. Das hat einen umgekehrten komplexen Drehsinn.

Genau das ist die Frage. Warum ist das ein Antiteilchen? Warum ist die Ladung dann umgekehrt?

Edit: Rechtschreibung
Edit: das Thema haben wir ja schon im Threat mit der Raumzeitspiegelung.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 18:23 #60227

Manfred S schrieb: Genau das ist die Frage. Warum ist das ein Antiteilchen?

Weil man den Freiheitsgrad der Ladung mathematisch abstrakt über den komplexen Drehsinn definiert.

Warum ist die Ladung dann umgekehrt?

Weil das Vorzeichen mit dem Drehsinn wechselt.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 18:33 #60229

Michael D. schrieb: Weil man den Freiheitsgrad der Ladung mathematisch abstrakt über den komplexen Drehsinn definiert.

Ja das tut mal wohl. Aber Ladung ist Eigenschaft, die man nicht einfach irgenwie frei definieren kann. Sie muss einen Zusammenhang haben mit den Kräften, die sie erzeugt.

Mir ist klar, dass hier ein mathematisch komplizierter Zusammenhang besteht. Ich hatte gehofft eine einfache Erklärung zu bekommen. Aber die gibt es wohl nicht. :(

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 18:37 #60231

Manfred S schrieb: Aber Ladung ist Eigenschaft, die man nicht einfach irgenwie frei definieren kann. Sie muss einen Zusammenhang haben mit den Kräften, die sie erzeugt.

Den Zusammenhang gibt es auch. Die Kräfte werden ja durch die virtuellen Austauschteilchen vermittelt, bei elektrischer Ladung durch virtuelle Photonen.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 18:42 #60233

Michael D. schrieb: Den Zusammenhang gibt es auch. Die Kräfte werden ja durch die virtuellen Austauschteilchen vermittelt, bei elektrischer Ladung durch virtuelle Photonen.

Ja ja. Aber warum wirken die Austauschteilchen anders wenn sich der komplexe Drehsinn ändert?

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 18:56 #60236

Manfred S schrieb: Aber warum wirken die Austauschteilchen anders wenn sich der komplexe Drehsinn ändert?

Gute Frage, aber komplex kann man sowieso nicht erklären. Das ist halt so. Genauso wie die Gravitation und fast alles, was so selbstverständlich erscheint.
Die komplexe Darstellung ist ja nur ein Rechentrick, der im Ergebnis eben richtig ist. Den Rechnungen dann physikalische Erklärungen zuzuordnen ist nicht einfach.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 19:15 #60242

ra-raisch schrieb: Die komplexe Darstellung ist ja nur ein Rechentrick, der im Ergebnis eben richtig ist. Den Rechnungen dann physikalische Erklärungen zuzuordnen ist nicht einfach.

Die komplexe Darstellung ist schon ok. Sie erzeugt im realen Raum eine Schwingung, die quadriert zur Aufenhaltswahrscheinlichkeit führt. Der Unterschied zwischen einer komplexen rechts oder links Drehung ist eigentlich im realen Raum nur eine Phasenverschiebung von Pi. Diese Phasenverschiebung soll entscheiden ob sich Teilchen anziehen oder abstoßen.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 04 Nov 2019 19:58 #60249

Nochmal zu den Phasenverschiebungen, die dann über Noether zur Ladungserhaltung führen. Für die globale U(1)-Transformation gelten folgende Vorschriften:

Teilchen: \(\psi(x) \rightarrow e^{i\alpha}\psi(x)\)
Antiteilchen: \(\psi^*(x) \rightarrow e^{-i\alpha}\psi^*(x)\)

An dieser Stelle fällt mir auch ein, warum ein Photon nicht geladen ist: weil das elektromagnetische Feld kein komplexes Feld ist, d.h. es gibt dort keinen zusätzlichen komplexen Freiheitsgrad. Wenn wir also Teilchen mit komplex konjugierten Wellenfunktionen zusammenbringen (Annihilierung von Teilchen/Antiteilchen), dann wird daraus eine "normale" Wellenfunktion ohne komplexe Ebene. Ein Teilchen, dass weder vorwärts noch rückwärts in der Zeit läuft, sondern für das die Zeit stillsteht, also ein Photon:

Erzeugung eines Photons: \(A(x)\cdot e^{(i\alpha-i\alpha)}=A(x)\cdot e^0=A(x)\cdot 1=A(x)\)

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 05 Nov 2019 10:48 #60295

Michael D. schrieb: Erzeugung eines Photons: \(A(x)\cdot e^{(i\alpha-i\alpha)}=A(x)\cdot e^0=A(x)\cdot 1=A(x)\)

Danke, das ist sehr interessant. Aber die Zeitunabhängigkeit gilt doch nur für die Eigenzeit des Photons. Von außen sehen wir doch eine Schwingung,

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 05 Nov 2019 11:13 #60299

Manfred S schrieb: Aber die Zeitunabhängigkeit gilt doch nur für die Eigenzeit des Photons. Von außen sehen wir doch eine Schwingung,

Ja, das sehe ich auch so. Im Minkowski-Diagramm bewegt sich das Photon auf der Diagonalen. Bei Wikipedia lesen wir:

"Mit ct anstelle von t auf der Zeitachse wird die Weltlinie eines Lichtteilchens zu einer Geraden mit einer Steigung von 45°."

Feynman-Diagramme sind im Grunde kleine Minkowski-Diagramme. Hier nochmal die Annihilierung von Teilchen und Antiteilchen:

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 05 Nov 2019 11:51 #60303

Michael D. schrieb: Feynman-Diagramme sind im Grunde kleine Minkowski-Diagramme.

Aber nein, überhaupt nicht. Die Richtung des Photons oder aller Teilchen spielt bei Feynman keine Rolle (allenfalls die Zeitrichtung), es kann auch waagerecht oder senkrecht oder gar gekrümmt eingezeichnet werden. Feynman zeichnet ja die inneren virtuellen Vorgänge. Bei Minkowski wird die Richtung durch die Geschwindigkeit der Teilchen relativ zu einem Beobachter bestimmt. Bei Feynman spielt die Geschwindigkeit überhaupt keine Rolle, allenfalls das Vorzeichen.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 05 Nov 2019 11:59 #60307

ra-raisch schrieb: Aber nein, überhaupt nicht.

Falsch Rainer, die Feynman-Diagramme sind sehr wohl an Minkowski-Diagramme angelehnt.

Die Richtung des Photons oder aller Teilchen spielt bei Feynman keine Rolle (allenfalls die Zeitrichtung), es kann auch wagrecht oder senkrecht oder gar gekrümmt eingezeichnet werden.

Die Zeitrichtung wird schonmal berücksichtigt. Und Hr. Gaßner ist die Anlehnung an Minkowski-Diagramme auch wichtig.

Feynman zeichnet ja die inneren virtuellen Vorgänge.

Nicht nur. Wir sollten uns auf jeden in diesem Thread auf Minkowski-Diagramme fokussieren. Das schafft mehr Klarheit.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 05 Nov 2019 12:53 #60319

Michael D. schrieb: Nach dem Noetherschen Theorem ist jeder Erhaltungssatz verbunden mit einer Symmetrieeigenschaft der jeweiligen Theorie, d. h. ihrer Invarianz unter Eichtransformationen. Im Falle der (Quanten-)Elektrodynamik ist das die Invarianz unter globalen Eichtransformationen (Eichgruppe U(1), Multiplikation mit einem komplexen Phasenfaktor) der Wellenfunktion geladener Teilchen:
...

Hallo Michael,

ich möchte schnell auf ein paar deiner Punkte eingehen.

Einmal eine (sprachliche?) Ungenauigkeit:

„globale Eichsymmetrie" ist ein Widerspruch in sich, weil "Eichsymmetrie" und „lokale Symmetrie" Synonyme sind. Erstere hängen über das Noether-Theorem mit Erhaltungsgrößen zusammen, letztere sind keine "echten" Symmetrien sondern Redundanzen in der Beschreibung des Systems.

Aus der Forderung, dass der Lagrangian einer Theorie mit \( \varphi(x) \mapsto e^{-i\alpha(x)} \varphi(x) \) invariant ist, ergibt sich bereits die Kopplung an das EM-Feld. Damit der kinetische Term nämlich invariant ist, müssen die partiellen durch kovariante Ableitungen
\( D_{\mu}= \partial_{ \mu} + ie A_{\mu } \)
ersetzt werden.
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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 05 Nov 2019 13:10 #60320

Ferragus schrieb: ...„globale Eichsymmetrie" ist ein Widerspruch in sich, weil "Eichsymmetrie" und „lokale Symmetrie" Synonyme sind. Erstere hängen über das Noether-Theorem mit Erhaltungsgrößen zusammen, letztere sind keine "echten" Symmetrien sondern Redundanzen in der Beschreibung des Systems.

Ok, wieder was gelernt.

Aus der Forderung, dass der Lagrangian einer Theorie mit \( \varphi(x) \mapsto e^{-i\alpha(x)} \varphi(x) \) invariant ist, ergibt sich bereits die Kopplung an das EM-Feld...

Ja stimmt. Gelesen hatte ich das schon, nur noch nicht verstanden. Ich bleibe am Ball.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 05 Nov 2019 18:08 #60329

Hallo Michael,

Ok, wieder was gelernt.

Das freut mich :) Ich finde, Quantenfeldtheorie gehört v.a. zum Reinkommen zu den besonders schwierigen Teilgebieten der Physik.

Vlt. kann ich den Teil mit der Kopplung ans EM-Feld kurz skizzieren:

Wenn wir ein komplexes Skalarfeld \(\phi\) beschreiben (das ist etwas einfacher als ein Spinorfeld, hat aber dieselbe globale U(1)-Symmetrie), dann hat der Lagrangian die Form
\( L = (\partial_{\mu}\phi)^*\partial^{\mu}\phi - m^2\phi^*\phi .\)
Wenn wir \(phi\) durch \(e^{i\alpha}\phi\) ersetzen (mit einem reellen \(\alpha\) , dann ändert sich \( L \) nicht, weil die komplexe Konjugation dazu führt, dass sich die e-Faktoren aufheben.
Das ist eine globale Symmetrie und entspricht einer Rotation des gesamten Feldes in der komplexen Zahlenebene um einen festen Faktor.

Wenn wir allerdings zulassen, dass \(\alpha=\alpha(x)\) keine konstante mehr ist sondern von den Koordinaten abhängt, dann ist die Situation eine neue:
Wenn diese Transformation den Lagrangian Invarianz lässt, dann bedeutet das:
Wir haben nicht mehr eine physikalische Symmetrie, sondern anscheinend können wir das Feld in jedem Raumzeitpunkt mit einem beliebigen Phasenfaktor multiplizieren und es ändert die Physik nicht. Das heißt, das Feld ist nicht mehr eindeutig bestimmt sondern viele verschiedene Felder beschreiben dieselbe Physik - das ist mit "Redundanz" gemeint. Daher können wir das tun, was in der Physik "Gauge Fixing" genannt wird (also die Eichung festlegen), um diese Redundanz zu beseitigen.

Aaaber: Die Lagrangefunktion oben ist gar nicht invariant unter dieser Transformation, denn jetzt wirkt die partielle Ableitung auch auf den Faktor alpha:
\(\partial_{\mu}e^{i\alpha(x)}\phi = (i(\partial_{\mu}\alpha)\phi + \partial_{\mu}\phi)^{i\alpha}\)
und die Faktoren heben sich nicht mehr weg.

Es ist allerdings auch nachvollziehbar, dass die partielle Ableitung nicht mehr ein vernünftiges Ergebnis liefert: Wie kann man ein Feld an zwei Punkten vergleichen (die Ableitung ist ja lim (f(x+h)-f(x))/h, wenn wir es mit beliebigen Phasenfaktoren multiplizieren können?

Die Lösung ist eine kovariante Ableitung
\( D_{\mu} = \partial_{\mu} + ieA_{\mu}. \)
Tatsächlich ist \( (D_{\mu}\phi)^*(D^{\mu}\phi) \) invariant unter obiger Eichtransformation.

Ich hoffe, dass man aus dem, was ich geschrieben habe wenigstens etwas rausziehen kann.
Viele Grüße

PS: Jetzt habe ich fast den wichtigen Punkt vergessen:
Das Photonenfeld A kommt hier als sog. Zusammenhangs-Form durch die kovariante Ableitung ins Spiel. Wenn man sich den Term
\( |(D_{\mu} = \partial_{\mu} + ieA_{\mu})\phi|^2\)
aber anschaut, dann sieht man, dass ausmultipliziert Terme
\( ieA_{\mu}(\phi\partial^{\mu}...) \) und \( e^2 A_{\mu}A^{\mu}|\phi|^2 \)
auftauchen. Das ist die Kopplung von EM Feld und dem Teilchen.
(Das ganze ist jetzt für ein skalares Teilchen, weils einfacher ist. in QED, also mit einem Spinorfeld, ist das konzeptuell aber genauso)

Edit: Tippfehler
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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 05 Nov 2019 19:33 #60340

Ferragus schrieb: Wenn wir ein komplexes Skalarfeld \(\phi\) beschreiben (das ist etwas einfacher als ein Spinorfeld, hat aber dieselbe globale U(1)-Symmetrie)...

Ein komplexes Skalarfeld hat Ladung als Freiheitsgrad, ist aber bosonisch. Korrekt?

\( L = (\partial_{\mu}\phi)^*\partial^{\mu}\phi - m^2\phi^*\phi .\)

Ist das die Lagrangedichte der Klein-Gordon-Gleichung?

Wenn wir \(phi\) durch \(e^{i\alpha}\phi\) ersetzen (mit einem reellen \(\alpha\) , dann ändert sich \( L \) nicht, weil die komplexe Konjugation dazu führt, dass sich die e-Faktoren aufheben.
Das ist eine globale Symmetrie und entspricht einer Rotation des gesamten Feldes in der komplexen Zahlenebene um einen festen Faktor.

Globale Symmetrie verstehe ich. Entspricht die Rotation in der komplexen Ebene einer Translation auf der realen Achse?

Wir haben nicht mehr eine physikalische Symmetrie, sondern anscheinend können wir das Feld in jedem Raumzeitpunkt mit einem beliebigen Phasenfaktor multiplizieren und es ändert die Physik nicht.

Ok. Soweit verstanden.

Das heißt, das Feld ist nicht mehr eindeutig bestimmt sondern viele verschiedene Felder beschreiben dieselbe Physik - das ist mit "Redundanz" gemeint. Daher können wir das tun, was in der Physik "Gauge Fixing" genannt wird (also die Eichung festlegen), um diese Redundanz zu beseitigen.

Das muss ich noch begreifen.

Die Lösung ist eine kovariante Ableitung...

Verstehe ich auch noch nicht. Ein wenig Geduld...

Tatsächlich ist \( (D_{\mu}\phi)^*(D^{\mu}\phi) \) invariant unter obiger Eichtransformation.

Das muss ich auch erst noch nachvollziehen.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 06 Nov 2019 10:02 #60392

Michael D. schrieb: Ein komplexes Skalarfeld hat Ladung als Freiheitsgrad, ist aber bosonisch. Korrekt?

Korrekt :)

Ist das die Lagrangedichte der Klein-Gordon-Gleichung?

Ja genau, die Bewegungsgleichung, die man daraus erhält (durch Variation der Wirkung) ist die Klein-Gordon-Gleichung für ein skalares Feld.

Globale Symmetrie verstehe ich. Entspricht die Rotation in der komplexen Ebene einer Translation auf der realen Achse?

Eine Schwingung im Realteil (und Imaginärteil), wenn man so will. Aber grundsätzlich sind in der Quantenmechanik Zustände Äquivalenzklassen von Vektoren, die sich um eine komplexe Zahl mit Betrag 1 unterscheiden. Solche Zahlen kann man in der Form \(e^{i\alpha}\) schreiben. Das heißt: \( |\psi\rangle \) und \( e^{i\alpha}|\psi\rangle \) beschreiben denselben Zustand.

Verstehe ich auch noch nicht. Ein wenig Geduld...

Das ist auch alles andere als trivial.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 06 Nov 2019 12:32 #60397

Ferragus schrieb:
Die Lösung ist eine kovariante Ableitung
\( D_{\mu} = \partial_{\mu} + ieA_{\mu}. \)

Hallo Ferragus. Leider habe ich im Studium vor zig Jahrzehnten die Vorlesungen über ART ziemlich geschwänzt. Seitdem plage ich mich mit den Begriffen kovariant und kontravariant. Deswegen habe ich vesucht das heute etwas aufzuholen.

Ich vermute, dass Du hier das EM Feld ähnlich geometrisch siehst wie das Gravitationsfeld. Und das die Ableitung die geometrischen Gegebenheiten des EM Feldes berücksichtigen muß.

Unter relativityhair.de/catherine.hair/Mathematik/KovAbl.html habe ich eine schöne Beschreibung der kovarianten Ableitung gefunden:
[attachment=null]Kovariant.PNG[/attachment]
Hoffentlich klappt das mit dem Bild. Edit klappt nicht :( Bitte am Ende des Links nachschauen.

Wenn ich das mit Deiner Gleichung vergleiche, sehe ich gewisse Ähnlichkeiten. Es gibt zuerst die normale Ableitung und dann einen "geometrischen Summanden". Diesen kann ich jedoch bei Dir nicht verstehen. Statt des Christoffelsymbols und der Vektorableitung steht bei Dir der Faktor ie und dieses abgeleitete A.

Woher kommt ie und was ist A?

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Letzte Änderung: von Manfred S. Begründung: bild (Notfallmeldung) an den Administrator

Noether-Theorem: Ladungserhaltung 06 Nov 2019 13:49 #60400

Manfred S schrieb: ... und was ist A?

"A" bzw. genauer gesagt \(A_\mu\) oder \(A^\mu\) müsste eigentlich das elektromagnetische " Viererpotential " sein. Es fasst das elektrostatische Potential \(\Phi\) und das magnetische Vektorpotential \(A\) zusammen. Aus dem Viererpotential lassen sich scheinbar alle Feldgrössen des EM-Feldes ableiten. Insofern passt es grob gesagt schon, wenn man es in die Lagrange-Dichte irgendwie mit aufnimmt. Bei der Wahl des Viererpotentials gibt es offensichtlich auch eine Eichfreiheit, z.B. die Lorenz-Eichung :

\(\partial^m A_\mu = 0\) bzw. \(\partial_m A^\mu = 0\)

Was steht jetzt konkret in A drin?

1. \(A_0\): Skalares Elektrostatisches Potential einer Punktladung \(q\): \(\Phi(r) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} r\)
2. \(A_1\): Vektorpotential des magnetischen Feldes in x-Richtung
3. \(A_2\): Vektorpotential des magnetischen Feldes in y-Richtung
4. \(A_3\): Vektorpotential des magnetischen Feldes in z-Richtung

Man könnte sagen, dass Viererpotential ist vom Aufbau analog zur Energie-Impuls-Beziehung aus der SRT. Die Komponente "0" ist jeweils die Lorentz-invariante Quelle des jeweiligen Feldes. Die Komponenten 1, 2 und 3 sind dann Lorentz-variant: wenn ich eine elektrische Ladung in Relation zum Beobachter bewege, bekomme ich ein magnetisches Vektorpotential, das dann ein Magnetfeld erzeugt. Ansonsten nicht.

Was mir bisher nicht bekannt war, ist die Tatsache, dass man die Maxwell-Gleichungen auch über das Viererpotential formulieren kann:

1. \(\vec{B}=\vec{\nabla} \times \vec{A}\)
2. \(\vec{E}=-\vec{\nabla}\Phi - \dot{\vec{A}}\)

Was gibt es jetzt für Eichtransformationen, die \(\vec{B}\) und \(\vec{E}\) unverändert lassen?

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 11:36 #60467

Zwischenfazit:



Szenario: Ein Photon kommt geflogen und sobald dessen Energie ausreicht, findet spontan Paarbildung statt. Bei diesem Prozess entsteht der neue Freiheitsgrad der "Ladung", deren Vorzeichen mathematisch durch einen Drehsinn in der komplexen Ebene beschrieben wird. Ist das qualitativ erstmal so richtig?

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 15:40 #60515

Michael D. schrieb: Was mir bisher nicht bekannt war, ist die Tatsache, dass man die Maxwell-Gleichungen auch über das Viererpotential formulieren kann:

Natürlich kann man alles auch mit Viererimpulsen und Tensoren formulieren, meist zwei Gesetze in einer Formel, mit eingebauten Erhaltungsgesetzen etc.
Eichtransformation? Naja, A wird ja synthetische berechnet, damit es schön passt, meinst Du sowas?

Kennst Du Thomas Klose, ich denke, das ist das einschlägige Video:

Michael D. schrieb: Ist das qualitativ erstmal so richtig?

Schaut für mich sehr gut aus, aber das will nicht viel heißen ...
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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 16:12 #60520

Nochmal zur globalen U(1)-Eichtransformation:

Was ich bis jetzt verstanden zu haben glaube ist, dass wenn ich ein Teilchen (grün) um den Winkel \(\alpha\) in der komplexen Ebene drehe, sich nichts am Ladungszustand des Teilchens ändert. Dasselbe gilt für ein Antiteilchen (rot) bei einer Drehung in die andere Richtung.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 17:25 #60528

Michael D. schrieb: Was ich bis jetzt verstanden zu haben glaube ist, dass wenn ich ein Teilchen (grün) um den Winkel \(\alpha\) in der komplexen Ebene drehe, sich nichts am Ladungszustand des Teilchens ändert. Dasselbe gilt für ein Antiteilchen (rot) bei einer Drehung in die andere Richtung.

Die Ladung sollte sich mit der Zeit nicht ändern, nein. Wesentlich ist offensichtlich die Richtung der Rotation. Allerdings keine räumliche Richtung sondern eine Rotation um die Zeitachse. Dies entspricht dann einem Axialvektor mit der oder gegen die Zeit und somit einer Ladungsumkehr.

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 17:30 #60530

Manfred S schrieb:
Hallo Ferragus. Leider habe ich im Studium vor zig Jahrzehnten die Vorlesungen über ART ziemlich geschwänzt. Seitdem plage ich mich mit den Begriffen kovariant und kontravariant. Deswegen habe ich vesucht das heute etwas aufzuholen.

Ich vermute, dass Du hier das EM Feld ähnlich geometrisch siehst wie das Gravitationsfeld. Und das die Ableitung die geometrischen Gegebenheiten des EM Feldes berücksichtigen muß.

[...]

Wenn ich das mit Deiner Gleichung vergleiche, sehe ich gewisse Ähnlichkeiten. Es gibt zuerst die normale Ableitung und dann einen "geometrischen Summanden". Diesen kann ich jedoch bei Dir nicht verstehen. Statt des Christoffelsymbols und der Vektorableitung steht bei Dir der Faktor ie und dieses abgeleitete A.

Woher kommt ie und was ist A?


Hallo Manfred,

Das liegt daran, dass beide Strukturen sogenannte Faserbündel sind: Bei der ART das Tangentialbündel der Raumzeit und hier ein U(1)-Bündel. Dazu kurz ein Versuch, das anschaulich zu machen.
ART: Wie können wir für ein Vektorfeld eine Ableitung definieren? Ein Ausdruck der Form
\( \lim_{h|\rightarrow 0} \frac{V(x+h)-V(h)}{h} \)
hat erst mal keinen Sinn, weil ein Vektor V(x+h) im Punkt x+h und ein Vektor V(x) im Punkt x in unterschiedlichen Vektorräumen leben und entsprechend nicht klar ist, wie Rechenoperationen definiert sein sollen. Anschaulich: Betrachten wir eine Kugel und Zwei Pfeile, die Senkrecht zum Radius sind und an verschiedenen Punkten der Kugeloberfläche starten. Die leben in unterschiedlichen Vektorräumen und um sie zu subtrahieren, müssen wir sie erst an denselben Punkt parallel transportieren. Das geschieht Mithilfe eines sog. Zusammenhangs auf dem Faserbündel.

Ganz knapp und etwas vereinfacht: Ein Zusammenhang erlaubt es, ein Vektorfeld in Richtung eines anderen Vektorfeldes abzuleiten (kovariante Ableitung).
Man kann über die kovarianten Ableitung der Basisvektoren ein sog. Vektorpotential A definieren (Vorsicht, das hat erst mal noch nichts mit EM zu tun):
\( D_{\mu}e_j = A^k_{\mu j} e_k .\)

In der ART haben wir auf dem Tangentialbündel eine zusätzliche Struktur, namentlich die Metrik auf der Raumzeit und der Zusammenhang, der interessant ist (weil er die Metrik erhält) heißt "Levi-Civita-Zusammenhang" und lässt sich mithilfe dieser Metrik ausdrücken. In Koordinatendarstellung kommen da dann die Christoffelsymbole ins Spiel: Diese sind die Komponenten \( A^k_{\mu j} \) von oben und definieren lokal die kovariante Ableitung.

EM: Hier haben wir ebenfalls ein Faserbündel. Jetzt ist aber der Zusammenhang anders beschaffen und zwar derart, dass das Vektorpotential eine 1-Form ist.


Evtl. ist diese mathematische Sicht auf eine Eichtheorie nicht die intuitivste, weil das Photonenfeld hier als Vektorpotential des Zusammenhangs / Zusammenhangs-1-Form ins Spiel kommt.

Wenn man sich den kinetischen Term dieses Feldes \( A \) aber anschaut,
\( \int dA \wedge * dA \),
was man idR mit der Definition F=dA als
\( \int F\wedge *F\)
schreibt, dann sieht man, dass die Bewegungsgleichungen dieses Feldes die Maxwellgleichungen sind!
(Der Term hier ist z.B. analog zu \( \int dx \frac 1 2 m v^2 \) für ein nichtrelativistisches klassisches Punktteilchen)


Beste Grüße
Ferragus


Edit: Paar Tippfehler korrigiert

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Noether-Theorem: Ladungserhaltung 07 Nov 2019 17:31 #60532

ra-raisch schrieb: Die Ladung sollte sich mit der Zeit nicht ändern, nein. Wesentlich ist offensichtlich die Richtung der Rotation. Allerdings keine räumliche Richtung sondern eine Rotation um die Zeitachse. Dies entspricht dann einem Axialvektor mit der oder gegen die Zeit und somit einer Ladungsumkehr.

Was ist das wieder für eine verwirrende Aussage Rainer? Hier gehts doch erstmal gar nicht um die Zeit. Hier gehts um eine Rotation der imaginären Phase um den Winkel \(\alpha\). Wir brauchen mehr Klarheit statt mehr Verwirrung. Auf der x-Achse ist erstmal nur der Ort. Später wird es dann die Raumzeit und die lassen wir dann sich umkehren im Falle der Antiteilchen.

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.

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