THEMA: Potential und Lagrangepunkte

Herr Gaßner, das war eine gelungene Einführung in Potentialfelder. Besonders die Potentiallandkarte mit den Lagrangepunkten ist wunderschön. In dieser Form ist mir die Planetenbahn der Erde völlig neu.

Sie erwähnten ein Zentrifugalpotential. Dieses kann man durch Integration der Zentrifugalkraft \( F = mr\omega^2 \) erhalten. Da ergibt sich schon ein Problem. Man kann nämlich nach r und \( \omega \) integrieren:
\( \Phi_r = 1/2 \cdot r^2 \omega^2 \)
\( \Phi_\omega = 1/3 \cdot r \omega^3 \)
Eine Funktion von \(\omega\) kann man schlecht in Ortskoordinaten darstellen, aber man kann diese Potentiale in ein Koordinatensystem mit \( \omega\) und r einzeichnen. Dann ergibt sich eine Gerade und eine kubische Parabel, deren Schnittpunkt eine Planetenumlaufbahn markiert. Oder nicht ?

Angenommen wir stellen die Bewegungsgleichung für einen Planeten auf, dann haben wir eine Gleichung mit den zwei Variablen r und \( \omega \). Die Gleichung ist also unbestimmt. Wenn wir jedoch die Bewegungsgleichung einmal nach r und einmal nach \( \omega \) oder besser nach der Zeit integrieren, dann erhalten wir zwei Gleichungen und eine eindeutige Lösung (vorausgesetzt wir setzen die Integrationskonstanten zu Null, wenn es keine weitere Bedingung gibt). Richtig ? Der Trick ist, so meine ich, dass bei der Potentialbetrachtung die Energieerhaltung implizit mitgeliefert wird.

Zentrifugalpotential und Gravitationspotential zusammen ergeben demnach mit den Variablen m, r und \( \omega \) eine eindeutige Umlaufbahn für einen Planeten, solange man die Ellipsenform mal aussen vor läßt. Diese Aussage ist im Forum bisher umstritten. Aus den kommenden Videos wird das sicher eindeutig hervorgehen.

Hallo Dick !

Ich hatte mir das eigentlich so gedacht (keine Ahnung, ob das richtig ist ):
Das Gravitationspotential ist doch in Analogie zum elektrischen Potential so definiert: Potential=Energie/Masse
Die Energie ist ja allgemein F mal s bzw. hier r und in integraler Form ist die Energie das Wegintegral der Kraft nach dem Weg, der zurückgelegt wurde.
Also ist die Energie im Gravitationsfeld E=(GmM)/r und das Potential deshalb dann Phi=(GM)/r.
Deshalb ist es dann zwei äquivalente Formulierungen für die Kraft
F=-m dPhi/dr oder F=dE/dr.
Stimmt die Überlegung so ? Und dann habe ich noch eine Frage zum Forum: Wie fügt man hier Formeln (z.B. Integrale), griechische Buchstaben, usw. in den Text ein ?
Danke im Vorraus für eure Antworten

Hallo dertrixXxa,

Willkommen im Forum !
Du kannst Formeln hier als LaTeX Code einfügen.
Findest Du im Boardcode über diesen beiden Smilies:

Das: a^{2}+ b^{2}=c^{2}
sieht dann so aus:
Zum Erzeugen des Codes kannst Du zum Beispiel diesen intuitiv zu benutzenden equation editor
atomurl.net/math/
verwenden.

Gruß,
Lulu

dertrixXxa schrieb: Deshalb ist es dann zwei äquivalente Formulierungen für die Kraft
F=-m dPhi/dr oder F=dE/dr.
Stimmt die Überlegung so ?

Ja, das hier verwendete Potential ist eine spezifische, auf die Masse bezogene Energie.

Zum Formeleditor kannst du auch hier schauen:
Formeleditor