THEMA: Vorzeichen in der Physik

Das Vorzeichen vieler Größen ist meist vom jeweiligen Standpunkt bzw Thema abhängig. Oft wird auch mit positiven Größen gerechnet, die dann ggf negativ in die Gleichungen eingesetzt werden.

Generell sollte aber Einigkeit bestehen, welche Richtung generell das positive und welche das negative Vorzeichen tragen sollte.

Es ist naheliegend, für Geschwindigkeiten, die vom eigenen Standpunkt wegführen, positive Vorzeichen anzunehmen und somit für sich nähernde Objekte ein negatives Vorzeichen.

Andererseits wird meist in Koordinaten gerechnet, in denen der einen Richtung mehr oder weniger willkürlich das positive und der anderen Richtung das negative Vorzeichen gegeben wird, je nach Blickrichtung des Standpunktes. Da meist der eigene Standpunkt in den Ursprung verlegt wird und die Zeichnung im ersten Quadranten, erhält eine Annäherung (zB auf der oder parallel zur X-Achse) ein negatives Vorzeichen etc.

Eine eindeutige Konvention stammt aus dem Elektromagnetismus. Hier wird zwischen Abstoßung gleichartiger Ladungen und Anziehung gegensätzlicher Ladungen unterschieden. Da sich gleichgerichtete Ladungen abstoßen, die Abstoßung also für positiv·positiv und negativ·negativ gegeben ist, wird der mathematischen Produktregel folgend (+)·(+)=(-)·(-)=(+) eine Richtung, die sich radial entfernt, als positiv behandelt und die Anziehung als negativ (+)·(-)=(-). Dementsprechend wird auch die Gravitationsbeschleunigung häufig als negativ und die Zentrifugalkraft als positiv behandelt. Mathematisch läßt sich das für die trotz "gleicher" Ladungen immer anziehende Gravitation auch durch einen imaginären Faktor (i) für die Gravitationskraft realisieren: (i)·(i)=(-).

Entgegen den Grundsätzen der Relativität wird in der SRT üblich ein gemeinsames Koordinatensystem zugrunde gelegt, jedenfalls, was das Vorzeichen der Richtungen betrifft, wobei die Relativgeschwindigkeit im beobachtenden System meist mit der positiven Geschwindigkeit des sich entfernenden anderen Systems angenommen wird, während die Relativgeschwindigkeit aus der Sicht des anderen Systems das negative Vorzeichen bekommt. Eine relative Betrachtung müßte ja beiden Systemen das gleiche Vorzeichen zugestehen, denn wenn sich das eine IS vom anderen entfernt, dann entfernt sich natürlich aus der Sicht des anderen auch das erste. Es erscheint unlogisch, beiden unterschiedliche Vorzeichen zu verpassen, obwohl ja beide ein eigenes Koordinatensystem besitzen.

In diesem Zusammenhang mögen auch die beiden Konventionen (-+++ und +---) für das Linienelemt der SRT zur Sprache kommen, (wobei üblich angenommen wird: c²d.τ²=d.s²), die man aber auch parallel mit unterschiedlicher Bedeutung verwenden könnte, je nach dem, ob man zeitartige oder raumartige Ergebnisse erwartet:
d.s² = -c²d.t² +d.r² = -c²d.t² +d.x² +d.y² +d.z²
c²d.τ² = c²d.t² -d.r² = c²d.t² -d.x² -d.y² -d.z²

Zuletzt gibt es noch die Konvention der Rechtssysteme, womit das Vorzeichen im 3D-Raum bei Drehungen definiert wird. Obwohl es Rechtssystem genannt wird (Rechte-Hand-Regel), geht es, wie in der Geometrie üblich, von einer Linksdrehung aus. Bei einer Drehung der XY-Ebene von der nach rechts weisenden X-Achse nach links hin zur nach oben weisenden Y-Achse, wird die Z-Achse, die aus dem Zeichenpapier herausragt als positiv bezeichnet und die ins Papier hingehende Z-Achse als negativ. Bzw beim Kreuzprodukt von Vektoren ist x¹×y¹ = z¹, was man sich so mit der Winkeldrehung verdeutlichen kann, dass dann, wenn man den zweiten Vektor tangential ans Ende des ersten Vektors zeichnet, die Linksdrehung entsteht. Man sieht also sofort, dass gelten muss: y¹×x¹ = -z¹

Naja eine weitere Vorzeichenkonvention betrifft nicht unmittelbar eine Richtung sondern das Vorzeichen der Bindungsenergie und des Potentials. Beides ist negativ, aus guten Gründen, weil das Nullpotential für ein freies Teilchen gilt und bei der Bindung Energie frei wird also im gebundenen Zustand die Bindungsenergie fehlt.

Das negative Vorzeichen für die Ladung des Elektrons und die Flussrichtung des Stroms von (+) nach (-) ist allgemein üblich, obwohl sich die Elektronen natürlich von (-) nach (+) bewegen.

Magnetischer Nord- und Südpol und geographische Pole weichen aus historischen Gründen voneinander ab. Die Feldlinien zeigen vom magnetischen Nordpol zum Südpol, somit also von der Kompassnadel zum geographischen Nordpol. Üblich wird der magnetische Nordpol auch als Pluspol festgelegt.

In der ART bzw Geometrie gibt es noch die Konvention, eine Krümmung (zB des Raums) als negativ zu bezeichnen, wenn sie konvex ist und positiv für konkav.

Ich persönlich habe mir angewöhnt, in allgemeinen Formeln vorsichtshalber bei Größen, die nach meiner Meinung/Konvention negativ sein müssen, diese in Absolutstriche zu setzen und explizit mit einem negativen Vorzeichen zu versehen.

So ... und nun meine Frage:

Gibt es weitere Richtungskonventionen für das Vorzeichen (wenn nicht einfach mit positiven Zahlen gerechnet wird, die dann ggf subtrahiert werden), und damit meine ich vorzugsweise die Mechanik.

ra-raisch schrieb:
Entgegen den Grundsätzen der Relativität wird in der SRT üblich ein gemeinsames Koordinatensystem zugrunde gelegt, jedenfalls, was das Vorzeichen der Richtungen betrifft, wobei die Relativgeschwindigkeit im beobachtenden System meist mit der positiven Geschwindigkeit des sich entfernenden anderen Systems angenommen wird, während die Relativgeschwindigkeit aus der Sicht des anderen Systems das negative Vorzeichen bekommt. Eine relative Betrachtung müßte ja beiden Systemen das gleiche Vorzeichen zugestehen, denn wenn sich das eine IS vom anderen entfernt, dann entfernt sich natürlich aus der Sicht des anderen auch das erste. Es erscheint unlogisch, beiden unterschiedliche Vorzeichen zu verpassen, obwohl ja beide ein eigenes Koordinatensystem besitzen.

In diesem Zusammenhang mögen auch die beiden Konventionen (-+++ und +---) für das Linienelemt der SRT zur Sprache kommen, (wobei üblich angenommen wird: c²d.τ²=d.s²), die man aber auch parallel mit unterschiedlicher Bedeutung verwenden könnte, je nach dem, ob man zeitartige oder raumartige Ergebnisse erwartet:
d.s² = -c²d.t² +d.r² = -c²d.t² +d.x² +d.y² +d.z²
c²d.τ² = c²d.t² -d.r² = c²d.t² -d.x² -d.y² -d.z²

Hi ra-raisch,

„Leopold Kronecker“ schrieb: Die natürlichen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.

Ganze negative Zahlen und die Null erleichtern natürlich die Finanzbuchhaltung.
Wenn ein Zahlenraum zu jedem Element ein inverses Element enthält, kann man also 6 + x = 0 hinschreiben, was dann also 6 + (-6) = 0 entspräche.
Das ganze bezieht sich auf eine Abmessung.
Wenn man die Seiten einer quadratischen Fläche abmisst und dann aus diesen ermittelten Strecken die Größe der Fläche errechnen möchte, tut man das ja nicht, indem man Strecke a mit Strecke -b multipliziert.
Ganze negative Zahlen machen in dem Zusammenhang keinen Sinn.
Wenn man nun als Vektor durch einen dergestalt abgemessenen Raum schreitet im Sinne der modernen Mechanik (Raumzeit) gibt es im Raum ja dann ohnehin kein (echtes) Zurück. Man steht nach einem Hin- und Rückweg zwischen z.B. den Koordinaten Ö1 und Ö2 gleichermaßen an Ortskoordinate Ö1, in der Raumzeit ist dies aber ein neues Ereignis, so dass es nun doch Sinn macht, die Abmessung der Zeit von der des Raumes zu unterscheiden. In diesem Fall also -,+,+. Geht aber auch andersrum.

Ropp schrieb: Wenn man die Seiten einer quadratischen Fläche abmisst und dann aus diesen ermittelten Strecken die Größe der Fläche errechnen möchte, tut man das ja nicht, indem man Strecke a mit Strecke -b multipliziert.

Es gibt durchaus Anwendungen, bei denen negative Flächen Sinn ergeben. Bei Integralen ist das aber auch ein Thema, das man berücksichtigen muss.

Üblich wird man aber in der Vektorrechnung die Länge der Seiten immer durch die positive Quadratwurzel ermitteln a = |a¹| = ²(a.x²+a.y²+a.z²)

Welcher Vorteil liegt darin, statt \(a^{1/2}\) die ungewohnte Schreibweise \(^{2}a\) zu verwenden?

stm schrieb: Welcher Vorteil liegt darin, statt \(a^{1/2}\) die ungewohnte Schreibweise \(^{2}a\) zu verwenden?

na, das kann ich direkt mit der Tastatur eingeben.
Aber was ist denn das für ein dufter Trick mit dem Backslash, ganz ohne tex? Ach ich sehe, das macht die äußere Klammer mit dem Backslash und hat auch noch den Vorteil, dass es inline aufgelöst wird.

ra-raisch schrieb: In diesem Zusammenhang mögen auch die beiden Konventionen (-+++ und +---) für das Linienelemt der SRT zur Sprache kommen, (wobei üblich angenommen wird: c²d.τ²=d.s²), die man aber auch parallel mit unterschiedlicher Bedeutung verwenden könnte, je nach dem, ob man zeitartige oder raumartige Ergebnisse erwartet:
d.s² = -c²d.t² +d.r² = -c²d.t² +d.x² +d.y² +d.z²
c²d.τ² = c²d.t² -d.r² = c²d.t² -d.x² -d.y² -d.z²

Ich halte die unterschiedlichen Konventionen für ein leidiges Problem beim Vergleich von entsprechend unterschiedlichen Formeln. Es wäre jedoch relativ einfach zu lösen und Eindeutigkeit zu erzielen:
Ich benütze den Parameter Sgn = -g.[t,t] = signum.Signatur. Aus der Signatur.(+,-,-,-) → Sgn = -1 und aus Signatur.(-,+,+,+) → Sgn = +1.
Es genügt dann, den Faktor Sgn an entsprechender Stelle in die Formel einzusetzen, um vollkommen signaturunabhängig zu formulieren.

wiki.en:
Disagreement about sign conventions is a frequent source of confusion, frustration, misunderstandings, and even outright errors in scientific work.

ra-raisch schrieb: Gibt es weitere Richtungskonventionen für das Vorzeichen (wenn nicht einfach mit positiven Zahlen gerechnet wird, die dann ggf subtrahiert werden), und damit meine ich vorzugsweise die Mechanik.

Mit fällt da sofort die Determinante in einem Rechtssystem ein... Die ist doch auch immer positiv.

jgoep schrieb:

ra-raisch schrieb: Gibt es weitere Richtungskonventionen für das Vorzeichen (wenn nicht einfach mit positiven Zahlen gerechnet wird, die dann ggf subtrahiert werden), und damit meine ich vorzugsweise die Mechanik.

Mit fällt da sofort die Determinante in einem Rechtssystem ein... Die ist doch auch immer positiv.

Das ist ja eine notwenidge Definition und eben nicht willkürlich mal + mal -

Hallo

ra-raisch schrieb: Das ist ja eine notwenidge Definition und eben nicht willkürlich mal + mal -

Da bin ich aber anderer Meinung. Das Vorzeichen der Determinante folgt direkt aus den Rechenregeln. Dazu ein kurzes Beispiel in 2D:

Ich denke mir eine Transformation der Basisvektoren (1;0) und (0;1) nach (1;1) und (-1;1), die man als Spalten in eine Matrix schreiben kann. Der erste Vektor ist rechts vom zweiten.
\( \text{det}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=2>0 \)

Dreht man das ganze aber um, liegt der erste Vektor in der Matrix links vom zweiten:
\( \text{det}\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=-2<0 \)

Da man ab drei Dimensionen ein Rechtssystem durch keine Transformation mehr in ein Linkssystem (und umgekehrt) überführen kann, scheint mir die Wahl unseres kartesischen (Rechts-)Koordinatensystems wie eine willkürliche Konvention.

jgoep schrieb:

ra-raisch schrieb: Das ist ja eine notwenidge Definition und eben nicht willkürlich mal + mal -

Da bin ich aber anderer Meinung.

Ich meinte die Definition des Rechtssystems.