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THEMA:

Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 13 12. 2019 16:54 #62276

Es lohnt sich, zu diesem Thema einen eigenen Thread zu eröffnen. Das relativistische elektrische Feld ist auf jeden Fall einer Lorentz-Kontraktion unterworfen ( für Details siehe hier ). Dabei erfolgt eine Kontraktion in Bewegungsrichtung und eine Dehnung senkrecht dazu. Insgesamt bleibt aber die Ladung Q der Quelle des elektrischen Feldes Lorentz-invariant.

Wie verhält es sich jetzt mit dem Gravitationsfeld? Ist das auch einer Lorentz-Kontraktion unterworfen? Anders als bei der elektrischen Ladung Q ist hier das Längenquadrat des Viererimpulses Lorentz-invariant:

\(E^2-p^2=(mc^2)^2\)

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 13 12. 2019 23:57 #62304

Ich hatte doch im Parallelthread schon auf die Gleichung ED:10.41 bei Wipf Uni Jena hingewiesen:

Sowohl bei E als auch bei B taucht dort der Term γQ auf, also ganz genauso wie die relativistische Masse γm.
Q und m bleiben natürlich lorentzinvariant.

Lediglich ergibt sch dann die Division durch (γr)³, aber das sieht ja schon eher nach der relativistischen Beschleunigung aus.
Michael D. schrieb: Ist das auch einer Lorentz-Kontraktion unterworfen?

Da bin ich mir inzwischen recht sicher, denn es ist ja im eigenen IS kugelförmig. Die Orte des Feldes können sich ja im anderen IS nicht ändern (bei Koordinate xμ muss es den Wert X haben), also muss es lorentzkontrahiert sein wie die Koordinaten xμ.

Inwieweit der Wert X invariant ist, ist eine andere Frage.

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 20 12. 2019 14:35 #62511

ra-raisch schrieb: Die Orte des Feldes können sich ja im anderen IS nicht ändern (bei Koordinate xμ muss es den Wert X haben), also muss es lorentzkontrahiert sein wie die Koordinaten xμ.

Ok. Das heisst aber dann, das die Lorentz-Kontraktion des Gravitationsfeldes der relativistischen Massenzunahme entsprechen muss. Korrekt?

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 20 12. 2019 14:58 #62512

Michael D. schrieb:
ra-raisch schrieb: Die Orte des Feldes können sich ja im anderen IS nicht ändern (bei Koordinate xμ muss es den Wert X haben), also muss es lorentzkontrahiert sein wie die Koordinaten xμ.

Ok. Das heisst aber dann, das die Lorentz-Kontraktion des Gravitationsfeldes der relativistischen Massenzunahme entsprechen muss. Korrekt?

Da bin ich mir nicht sicher, denn das hängt auch mit der Zeitdilatation zusammen.
Die Beschleunigung hat ja den dreifachen Gammafaktor. Kräfte haben nur einen Gammafaktor....da schwimme ich noch ziemlich.

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 20 12. 2019 15:43 #62513

ra-raisch schrieb: Da bin ich mir nicht sicher, denn das hängt auch mit der Zeitdilatation zusammen.

Richtig. Die Zeitdilatation müssen wir auch berücksichtigen. Fakt ist: im Metrik-Tensor der ART taucht kein Lorentz-Faktor auf, weil die Feldgleichung, und damit auch die Metrik, Lorentz-Invariant formuliert ist. Aber nur das Quadrat des Wegelementes ist Lorentz-invariant:

\(ds^2=dt^2-dx^2\)

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 20 12. 2019 16:10 #62514

Richtig....wobei Du vorerst noch bei Minkowski-SRT stehen geblieben bist....naja das steckt dann in der Quadratbildung <x,x>

Aber dennoch die postnewtonische (3er-Vektoren mit Vorfaktor) Betrachtungsweise:

Mit r = r'/γ und M = γ·m
erhalten wir g = M/r² = γ³m/r'²
scheint mit g= γ³g' zu harmonieren. Aber ich bin mir nicht sicher ob es richtig ist.

EDIT:
Und es scheint eher falsch zu sein, denn mit der Kontraktion der Äquipotentiallinien müßte ja die Anziehungskraft sinken und nicht steigen.
Also Φ = M/γr und somit g = M/γ²r² = m/γr², und das sieht aus wie bei ART g' = M/r²σ.

Naja Ausgangspunkt ist ja
g' = m/r' ²
also
g = (M/γ) / (rγ)² = M/γ³r²
und dann mit γ³ korrigieren ergäbe γ³g = M/r²

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 21 12. 2019 15:46 #62551

Wenn wir Lorentz-Faktoren ins Spiel bringen wollen, müssen wir das einfache Wegelement betrachten, nicht das Quadrat. Korrekt?

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 21 12. 2019 15:49 #62553

Naja schon, aber mit Quadraten kommen Lorentzfaktoren eben auch im Quadrat, das ist eigentlich kein Hinderungsgrund.

Bei Vierervektoren benötigen wir sowieso die Metrik und Produkte, das müssen ja keine Quadrate sein.

Ich denke aber, ich habe meinen Fehler bei der Beschleunigung gefunden:

Eigenbeschleunigung mit den bekannten Faktoren b¹ = aj{γ³; γ²; γ²}j betrifft ja eben nicht die Transformation jeder Beschleunigung. *grübel*

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 21 12. 2019 16:17 #62555

ra-raisch schrieb: Naja schon, aber mit Quadraten kommen Lorentzfaktoren eben auch im Quadrat, das ist eigentlich kein Hinderungsgrund.

Die Sache ist doch die: Wenn ich den Abstand \(ds\) mit Lorentz-Faktoren ansetze, dann verschwinden die beim Quadrieren zum Wegelement. Ich hab den mathematischen Beweis schonmal irgendwo gesehen...mal sehe ob ich es noch finde...Auf jeden Fall stehen im Metrik-Tensor aus nachvollziehbaren Gründen Abstandsquadrate. Man will ja Lorentz-invariante Feldgleichungen.

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 21 12. 2019 16:34 #62557

Michael D. schrieb:
ra-raisch schrieb: Naja schon, aber mit Quadraten kommen Lorentzfaktoren eben auch im Quadrat, das ist eigentlich kein Hinderungsgrund.

Die Sache ist doch die: Wenn ich den Abstand \(ds\) mit Lorentz-Faktoren ansetze, dann verschwinden die beim Quadrieren zum Wegelement. Ich hab den mathematischen Beweis schonmal irgendwo gesehen...mal sehe ob ich es noch finde...Auf jeden Fall stehen im Metrik-Tensor aus nachvollziehbaren Gründen Abstandsquadrate. Man will ja Lorentz-invariante Feldgleichungen.

Naja das ist in der flachen Raumzeit eigentlich klar, denn das Quadrat ist eine Invariante und man kann es aus der Sicht egal welchen IS berechnen, also auch mit Δt=0 (gleichzeitig, falls raumartig) bzw Δr=0 (Eigenzeit, falls zeitartig). In beiden Fällen ergibt sich v=0, γ=1.

Wenn man mit Vierervektoren rechnet, dann rechnet man ja nur mit der Metrik, also in der SRT mit der Signatur, die Lorentzfaktoren kommen am Ende heraus. Mit der Lorentztrafo kann man Koordinaten unmittelbar umrechnen, da kommen keine Quadrate vor.
xμ = Λμλxλ

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 21 12. 2019 17:07 #62558

ra-raisch schrieb: Naja das ist in der flachen Raumzeit eigentlich klar, denn das Quadrat ist eine Invariante und man kann es aus der Sicht egal welchen IS berechnen, also auch mit Δt=0 (gleichzeitig, falls raumartig) bzw Δr=0 (Eigenzeit, falls zeitartig). In beiden Fällen ergibt sich v=0, γ=1.

Aber das ist doch in der Schwarzschild-Metrik der ART auch nicht anders. Da gilt doch auch an jedem Ort der Raumzeit die SRT. Betrachten wir doch jetzt die Schwarzschild-Metrik. In der Schwarzschild-Metrik findet doch auch die Lorentz-Kontraktion des Feldes einer Zweitmasse statt.

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 21 12. 2019 17:12 #62559

Michael D. schrieb: Aber das ist doch in der Schwarzschild-Metrik der ART auch nicht anders. Da gilt doch auch an jedem Ort der Raumzeit die SRT.

Ja, am Ort schon, aber wenn wir von Δrj reden? Sonst bräuchten wir ja weder Metrik noch Trafo...oder hast Du einen anderen Fall im Auge?

Achso die punktuelle Beschleunigung...da geht es ja um Ableitungen und nicht um Koordinaten.

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 21 12. 2019 19:31 #62568

Also fangen wir einmal an.....

Bewegung
\( u^\mu = \gamma
\begin{pmatrix}
c \\
\vec v \\
\end{pmatrix} \) = c
Impuls
\( p^\mu = \gamma m
\begin{pmatrix}
c \\
\vec v \\
\end{pmatrix} \) = c·m


EDIT: [ Zum Anzeigen klicken ]

Nehmen wir nur u² in der Schwarzschildmetrik, erhalten wir (mit v = ṙ)
u² = gλμuλuμ = γ²c²σ² - γ²v²/σ² = γ²c²σ²(1-β²/σ⁴) = γ²c²β(σ²/β-β/σ²) = v·c(γ²(σ²/β-β/σ²))
Du siehst, die Faktoren kürzen sich im Allgemeinen nicht weg.

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 21 12. 2019 23:04 #62577

Rainer,

erkenne keinen Bezug zum Thema.
Dein letzter Beitrag ist Newton. Das Thema lautet aber, ob das Gravitationsfeld von massebehafteten und bewegten Körpern einen Lorentzfaktor kennt.

Thomas

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 21 12. 2019 23:41 #62580

Naja die Frage ist eigentlich abgehakt, es ging nur um die Berechnung, die mir noch nicht klar ist.
ra-raisch schrieb: Da bin ich mir inzwischen recht sicher, denn es ist ja im eigenen IS kugelförmig. Die Orte des Feldes können sich ja im anderen IS nicht ändern (bei Koordinate xμ muss es den Wert X haben), also muss es lorentzkontrahiert sein wie die Koordinaten xμ.


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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 22 12. 2019 16:24 #62596

Ich hatte den Wegfall des Lorentz-Faktors beim Quadrieren schonmal hier nachgerechnet. So, dass heisst, im Metrik-Tensor der ART tauchen grundsätzlich keine Lorentz-Faktoren auf, weil dort nur Abstandsquadrate drinstehen. Also müssen wir die Wurzel ziehen. Ausgangspunkt Schwarzschild-Metrik:

\(ds^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2 dt^2 -\left(1-\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\right)dr^2\)

Wurzel ziehen:

\(ds \approx \sqrt{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}cdt-\sqrt{\left(1-\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\right)}dr\)

Normalerweise müsste man jetzt den Lorentz-Faktor hinzufügen. Was aber, wenn er bereits in der Gleichung drinsteckt, dass also das Gravitationsfeld bereits eine Lorentz-Kontraktion ist? Vergleich mit Minkowski:

\(ds \approx \gamma cdt-\gamma dr\)

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 22 12. 2019 21:57 #62601

???

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 22 12. 2019 22:38 #62605

Michael D. schrieb: \(ds^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2 dt^2 -\left(1-\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\right)dr^2\)

Wurzel ziehen:

\(ds \approx \sqrt{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}cdt-\sqrt{\left(1-\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\right)}dr\)


Wurzel(a-b) ist ungleich Wurzel(a) - Wurzel(b).

Nicht extra gekennzeichnete Beiträge sind normale private Beiträge. Sie sollten genauso diskutiert und kritisiert werden wie alle anderen Beiträge auch.

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 22 12. 2019 23:28 #62612

So ist es. Wir haben hier den Minkowski-Pythagoras.

Michael, das war nix.
Hierzu hatte ich doch schon beispielhaft vorgerechnet
ra-raisch schrieb: Nehmen wir nur u² in der Schwarzschildmetrik, erhalten wir (mit v = ṙ)
u² = gλμuλuμ = γ²c²σ² - γ²v²/σ² = γ²c²σ²(1-β²/σ⁴) = γ²c²β(σ²/β-β/σ²) = v·c(γ²(σ²/β-β/σ²))
Du siehst, die Faktoren kürzen sich im Allgemeinen nicht weg.


Aber meine Gleichungen zur Kraft Kμ und Beschleunigung bμ waren auch falsch, ich hatte zwar von einem Skript abgeschrieben, aber das war wohl nur eine spezielle Betrachtung. Bei wiki steht es richtig mit Herleitung, ich überlege noch, wie ich es schöner formuliere.
de.wikipedia.org/wiki/Vierervektor#Viererbeschleunigung
Ich denke ich habe das jetzt verstanden, es ergibt sich aus der nötigen Ableitung von dγ/dt

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Ist auch das Gravitationsfeld der Lorentz-Kontraktion unterworfen? 23 12. 2019 10:32 #62632

ClausS schrieb:
Michael D. schrieb: \(ds^2=\left(1-\frac{r_s}{r}\right)c^2 dt^2 -\left(1-\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\right)dr^2\)

Wurzel ziehen:

\(ds \approx \sqrt{\left(1-\frac{r_s}{r}\right)}cdt-\sqrt{\left(1-\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\right)}dr\)


Wurzel(a-b) ist ungleich Wurzel(a) - Wurzel(b).


das denke ich eben auch, wie kommt man dann nur auf "ungefähr" ??

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