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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 10:49 #72668

Viele von uns kennen bereits die (äussere) Schwarzschild-Metrik. Sie ist die Vakuumlösung für nicht-rotierende Massen. Und zwar die einzige Lösung, bei der das Wegelement \(ds\) unverändert bleibt, obwohl sich Eigenzeit und Eigenradius von Radius zu Radius ändern. Das hat zur Folge, dass der Raum zwar gekrümmt ist (positive Riemann-Krümmung) aber dabei divergenzfrei (Ricci-Krümmung "0") bleibt. Das heisst, das statische Gravitationsfeld ist selbst keine Feld-Quelle. Das muss so sein, denn auf der rechten Seite der Feldgleichungen ist im Vakuum der Energie-Impuls-Tensor ja auch "0" (mal von Strahlungsbeiträgen abgesehen).

Die Schwarzschild-Metrik lautet z.B. in Schwarzschild-Koordinaten:

\(ds^2=-(1-\frac{rs}{r})dt^2+\Large\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}\normalsize dr^2+r^2d\theta^2+r^2sin^2(\theta)d\phi^2\)

Jetzt die Problematik. Der erste Term ist eine Zeitverkürzung und der zweite Term eine Radiusverlängerung. Beides hebt sich so auf, dass das Wegelement \(ds\) bzw. die Lichtgeschwindigkeit c lokal konstant bleibt. Aus der Shapiro-Verzögerung wissen wir, dass das Licht durch ein Gravitationsfeld von aussen gemessen verlangsamt wird. Umgekehrt könnte man sagen, dass es sich weiterhin konstant ausbreitet wenn entweder die Zeit im G-Feld schneller vergeht oder der Weg durch das G-Feld länger ist.

1. Wie mache ich aus einer schneller vergehenden Zeit im G-Feld eine Zeitdilatation (Streckung), von der man immer liest?

2. Wie passt "mehr Raum" (durch mehr Eigenradius) in einen abgeschlossenen Raumbereich? Man liest ja immer, dass in einem G-Feld mehr Raumvolumen ist, als man von aussen erkennen kann. Wie soll das gehen?

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 12:39 #72671

Michael D. schrieb: Beides hebt sich so auf, dass das Wegelement \(ds\) bzw. die Lichtgeschwindigkeit c lokal konstant bleibt.

Aber Michael :(
Die Faktoren in der Metrik haben doch keinen Einfluss auf die lokal gemessene Lichtgeschwindigkeit. Die ist immer c.
Aus den Faktoren der Metrik ergibt sich hingegen, dass sich diese radial kombinieren und tangential nur die Zeitdilatation (Lapse) wirkt und deshalb von außen gemessen wird
c' = σ·c° = ²(1-rs/r)c°
c" = σ²c° = (1-rs/r)c°

Sollen wir den Thread schließen und Du machst ggf einen neuen auf?

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 12:45 #72672

ra-raisch schrieb: Die Faktoren in der Metrik haben doch keinen Einfluss auf die lokal gemessene Lichtgeschwindigkeit. Die ist immer c.

Na ja, ohne die ausgleichende Zeitkomponente wär die lokal nicht konstant. Dann wär die nämlich schneller als c, weil das Licht dann radial mehr Strecke in der gleichen Zeit macht.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 12:46 #72673

Michael D. schrieb:
ra-raisch schrieb: Die Faktoren in der Metrik haben doch keinen Einfluss auf die lokal gemessene Lichtgeschwindigkeit. Die ist immer c.

Na ja, ohne die ausgleichende Zeitkomponente wär die lokal nicht konstant. Dann wär die nämlich schneller als c, weil sie mehr Strecke in der gleichen Zeit macht.

Das ändert nichts daran, dass sie dann ebenso mit c° lokal gemessen wird, weil ja dann die Uhren ebenso schneller ticken.

Und da gleicht sich sowieso nichts aus sondern beide Faktoren potenzieren sich.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 12:47 #72674

ra-raisch schrieb: Das ändert nichts daran, dass sie dann ebenso mit c° lokal gemessen wird, weil ja dann die Uhren ebenso schneller ticken.

Nein. Die Zeitkomponente ist die Uhr.
ra-raisch schrieb: Und da gleicht sich sowieso nichts aus sondern beide Faktoren potenzieren sich.

Für das Wegelement \(ds\) gleicht es sich schon aus.
ra-raisch schrieb: Sollen wir den Thread schließen und Du machst ggf einen neuen auf?

???

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 12:58 #72676

Michael D. schrieb: Für das Wegelement \(ds\) gleicht es sich schon aus.

Das Wegelement von Lichtgeodäten ist immer Null. Das liegt aber nicht an seinen Komponenten sondern ist per Definition so. Aus der Metrik kann man lediglich die relative Lichtgeschwindigkeit gegenüber der flachen Raumzeit errechnen.

c° = ds/dτ = c°dτ/dτ = dx'/dτ EDIT: es muss lauten dx' und nicht ds

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 13:04 #72677

ra-raisch schrieb: c = ds/dt

Dann setz mal "0" für ds in Deine Formel ein. Was kommt dann raus?

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 13:11 #72678

Michael D. schrieb:
ra-raisch schrieb: c = ds/dt

Dann setz mal "0" für ds in Deine Formel ein. Was kommt dann raus?

Sorry, es hätte x lauten sollen, die alte Gewohnheit, für Raum s=x' zu benützen. Über ds erhält man eben die shapiroverzögerte Geschwindigkeit.

ds² = A²c²dt² - B²dx² = 0
A·c°dt = B·dx
c° = B·dx/(A·dt)
dx/dt = c°A/B

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 13:21 #72679

Man kann also lokal sagen: Je länger der Eigenradius, desto kürzer muss die Eigenzeit sein, damit Licht sich mit \(c^o\) lokal fortbewegt.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 13:44 #72680

Michael D. schrieb: Man kann also lokal sagen: Je länger der Eigenradius, desto kürzer muss die Eigenzeit sein, damit Licht sich mit \(c^o\) lokal fortbewegt.

Kommt darauf an, was Du unter kürzerer Eigenzeit verstehst.
dt = dr/c" = dτ/σ
dτ = dR/c
Je länger egal ob dr oder dR, desto größer auch dτ

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 17:17 #72702

Die Eigenzeit ist \(d\tau\):

\(d\tau = \sqrt{1-\Large\frac{r_s}{r}}dt\)

Und die wird immer kürzer, je mehr ich mich \(r_s\) nähere.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 17:41 #72703

Ja, das ist richtig, deshalb bewegt sich dort auch das Licht langsamer als in der flachen Raumzeit und die dabei zurückgelegte Strecke ist dadurch kürzer und nicht etwa länger.
τ·c = c't

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 20:43 #72711

Jetzt ist die Frage, warum die Uhren langsamer gehen, wenn die Zeit schneller vergeht.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 22:22 #72716

Michael D. schrieb: Jetzt ist die Frage, warum die Uhren langsamer gehen, wenn die Zeit schneller vergeht.

Das geht eigentlich nur, wenn die Uhren hier langsamer gehen als die Zeit dort.

SRT:
  • hier = lokal bewegt => Uhr langsamer & Längen kürzer
  • dort = in Ruhe => Uhr schneller
ART:
  • hier = lokal am Rs => Uhr langsamer & Längen länger
  • dort = weiter vom Rs => Uhr schneller

Quelle: Stelle im Azs-Video 19

@ Michael D.: Denke das wusstest du bereits. Hab's für mich aufgeschrieben zum besseren Einprägen und wen's sonst noch interessiert.

Also sprach das Photon: Wo wir sind ist vorne! Und sollten wir mal hinten sein, dann ist hinten vorne!

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Also sprach das Photon: Wo wir sind ist vorne! Und sollten wir mal hinten sein, dann ist hinten vorne!

Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 10 07. 2020 22:44 #72722

Michael D. schrieb: Jetzt ist die Frage, warum die Uhren langsamer gehen, wenn die Zeit schneller vergeht.

Die Zeit vergeht dort langsamer (die Uhren ticken langsamer) und hier schneller, das ist der Grund.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 13:44 #72745

Steinzeit-Astronom schrieb: ART:

  • hier = lokal am Rs => Uhr langsamer & Längen länger
  • dort = weiter vom Rs => Uhr schneller

Längen länger ist ok. Aber Uhr langsamer passt irgendwie nicht mit der Schwarzschild-Metrik zusammen. Deswegen dieser Thread. Jetzt klar?

Und ausserdem: Was soll denn "hier" und "dort"? Das ist doch keine Art und Weise.

Also nochmal die Schwarzschild-Metrik: je näher ich am Massenzentrum bzw. am SR dran bin und messe, desto öfter macht es "Tick", d.h. die Zeitabstände (Eigenzeit) werden kürzer/kleiner:

\(d\tau = \sqrt{1-\Large\frac{r_s}{r}}dt\)

Alle einverstanden?

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 13:59 #72747

Michael D. schrieb: Was soll denn "hier" und "dort"? Das ist doch keine Art und Weise. Also nochmal die Schwarzschild-Metrik: je näher ich am Massenzentrum bzw. am SR dran bin und messe, desto öfter macht es "Tick", d.h. die Zeitabstände werden kürzer/kleiner. Alle einverstanden?

Nicht unbedingt. Das ist es ja mit hier und dort: "die Zeitabstände werden kürzer/kleiner" ... welche Zeitabstände? Die Sekunde von dort (weiter weg vom Rs) ist kürzer geworden, ja, verglichen mit deiner Sekunde hier, der du jetzt näher am Rs bist. Anders gesagt: Es passt mehr als eine dortige Sekunde in deine Sekunde.
Man kann aber auch mit Recht sagen, und das wäre m.E. plausibler: Die Zeitabstände werden länger. Deine Sekunde dauert länger im Vergleich mit der Sekunde vorher, als du weiter weg vom Rs warst, denn wie gesagt: Es passt mehr als eine dortige Sekunde in deine Sekunde.

Wenn das mit hier und dort nicht zusagt, ok. Es war nur ein Vorschlag (meine Eselsbrücke halt), damit man die Bezugssysteme nicht durcheinander bringt bei Aussagen wie "die Zeitabstände werden kürzer/kleiner". Das scheint ja hier genau zu Missverständnissen zu führen.

Also sprach das Photon: Wo wir sind ist vorne! Und sollten wir mal hinten sein, dann ist hinten vorne!

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Also sprach das Photon: Wo wir sind ist vorne! Und sollten wir mal hinten sein, dann ist hinten vorne!

Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:01 #72748

Michael D. schrieb: Also nochmal die Schwarzschild-Metrik: je näher ich am Massenzentrum bzw. am SR dran bin und messe, desto öfter macht es "Tick", d.h. die Zeitabstände (Eigenzeit) werden kürzer/kleiner:

\(d\tau = \sqrt{1-\Large\frac{r_s}{r}}dt\)

Alle einverstanden?

Hör auf mit dem Unsinn!

In t=10 Sekunden vegehen dort zB nur τ=5 Sekunden

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:04 #72749

Steinzeit-Astronom schrieb: Nicht unbedingt. Das ist es ja mit hier und dort: "die Zeitabstände werden kürzer/kleiner" ... welche Zeitabstände?

Die Eigenzeit \(d\tau\), die in der Schwarzschild-Metrik steht.

Die Sekunde von dort (weiter weg vom Rs) ist kürzer geworden...

Nein. Laut Schwarzschild-Metrik genau umgekehrt. Setz doch bitte mal ein paar Beispiel-Werte in die Formel ein, dann wirst Du es erkennen.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:08 #72751

Michael D. schrieb: Setz doch bitte mal ein paar Beispiel-Werte in die Formel ein, dann wirst Du es erkennen.

Das solltest Du selber mal machen!

t=10 s, σ=0,5 → τ=5 s
Nicht die Zeit τ ist länger sondern die Zeiteinheit, wenn Du so willst. Jede Sekunde dauert länger, sozusagen. Ich nenne das: die Zeit ist dort weniger "wert".
@Falsifikator: Die Zeiteinheit ist dort NICHT anders, dies war nur ein Bild für Michael.

Es ist mir ein Rätsel, wie Du immer wieder auf die gleichen Fehler herinfällst.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:13 #72752

ra-raisch schrieb: Hör auf mit dem Unsinn!
In t=10 Sekunden vegehen dort zB nur τ=5 Sekunden

Mäßige Dich Rainer. Die differentiellen Zeitabstände \(d\tau\) werden kürzer. Das stimmt definitiv, was die Mathematik sagt. Das heisst aber noch nicht automatisch, dass die Uhren ebenfalls kürzer ticken. Bitte erklär mir doch, warum sie langsamer gehen.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:15 #72753

Michael D. schrieb: heisst aber noch nicht automatisch, dass die Uhren ebenfalls kürzer gehen. Bitte erklär mir doch, warum sie langsamer gehen.

Bist Du jetzt von allen guten Geistern verlassen?

Zeit IST das, was die Uhren anzeigen. Meinst Du denn die Uhren laufen schneller, wenn die Zeit langsamer vergeht, um das Defizit wieder wett zu machen?

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:19 #72756


Was zum lachen:
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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:23 #72757

Ja, das kann ich nach dem Schock jetzt brauchen.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:23 #72758

ra-raisch schrieb: Zeit IST das, was die Uhren anzeigen.

dt ist die Minkowskizeit und \(d\tau\) ist die Schwarzschildzeit. Und die ist kürzer laut Schwarzschild.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:25 #72760

schrieb: Ich bitte allen um die Einnahme:
de.wikipedia.org/wiki/Baldriane#/media/D...officinalis_jfg1.jpg

Ich bin ganz cool. cool)

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:27 #72761

Michael D. schrieb:
ra-raisch schrieb: Zeit IST das, was die Uhren anzeigen.

dt ist die Minkowskizeit und \(d\tau\) ist die Schwarzschildzeit. Und die ist kürzer laut Schwarzschild.

Und laut Dir ist sie länger oder gleich lang?

Hier hast Du es ja richtig gesagt:
Michael D. schrieb:

Steinzeit-Astronom schrieb: Die Sekunde von dort (weiter weg vom Rs) ist kürzer geworden...

Nein. Laut Schwarzschild-Metrik genau umgekehrt. Setz doch bitte mal ein paar Beispiel-Werte in die Formel ein, dann wirst Du es erkennen.

Die Sekunden (=Zeiteinheiten) werden länger, also vergeht weniger Zeit.

Deine Kurzfassungen "Zeitabständ" sind meist zweideutig. Von welchen Abständen redest Du denn. Ein Abstand von 10 Sekunden ist immer ein Abstand von 10 Sekunden, wie wodurch wo soll er kürzer oder länger werden. Der eine sagt so , der andere so, der eine richtig, der andere falsch und beide haben Recht, weil sie von etwas anderem sprechen.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:35 #72763

ra-raisch schrieb: Und laut Dir ist sie länger oder gleich lang?

Die Schwarzschild-Ticks sind kürzer im Vergleich zu den Minkowski-Ticks.

Die Sekunden werden länger, also vergeht weniger Zeit.

Hmm. Die Minkowski-Ticks sind auf jeden Fall länger. Vergeht dann weniger Zeit? Das ist die Frage.

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:36 #72764

ra-raisch schrieb:
Michael D. schrieb: Also nochmal die Schwarzschild-Metrik: je näher ich am Massenzentrum bzw. am SR dran bin und messe, desto öfter macht es "Tick", d.h. die Zeitabstände (Eigenzeit) werden kürzer/kleiner:

\(d\tau = \sqrt{1-\Large\frac{r_s}{r}}dt\)

Alle einverstanden?

Hör auf mit dem Unsinn!

In t=10 Sekunden vegehen dort zB nur τ=5 Sekunden

Woher willst du das wissen? Du bist ja nicht dort um nachzuzählen und womit eigentlich zu vergleichen.
Was man sagen kann ist das für einen stationären entfernteren Beobachter 10 Ticks vergehen während er 5 Ticks auf der dortigen Uhr beobachtet.
(gravitative Rotverschiebung in der Informationsübertragung?)

Und wenn es stimmt das man in endlicher Eigenzeit den rs überqueren kann, kann es dann stimmen das die eigene Uhr auf unendlich verlangsamt wird?

assume good faith

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Paradoxon in der Schwarzschild-Metrik? 11 07. 2020 14:38 #72765

Merilix schrieb: Woher willst du das wissen? Du bist ja nicht dort um nachzuzählen und womit eigentlich zu vergleichen.
Was man sagen kann ist das für einen stationären entfernteren Beobachter 10 Ticks vergehen während er 5 Ticks auf der dortigen Uhr beobachtet.

Darum geht es.
Und über die Ticks sind sich beide vollkommen einig.

Merilix schrieb: Und wenn es stimmt das man in endlicher Eigenzeit den rs überqueren kann, kann es dann stimmen das die eigene Uhr auf unendlich verlangsamt wird?

Das ist etwas vollkommen anderes, weil sich beide nicht mehr einig sind, weil einer hinter dem Horizont verschwunden ist.

Außerdem geht es bei diesem Beispiel zusätzlich um SRT, um einen FFO nämlich.

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