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Seite 331: Wellenfunktion in Potentialtöpfen 30 12. 2019 10:35 #62980

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Da steht im Buch geschrieben:

Ein in eine zweidimensionale Kiste gesperrtes Teilchen, hält sich statistisch mehr in der Mitte der Kiste als an den Kistenwänden auf.

(Bildunterschrift zu Bild 7.26 auf Seite 331)

Ich lese aber leider keine Erklärung heraus. Warum kann das Teilchen keine gleichverteilte Wahrscheinlichkeitsfunktion haben, überall Wahrscheinlichkeit P außer an den Rändern eine Wahrscheinlichkeit von 0? Wieso muss die Wahrscheinlichkeit unbedingt eine stetige Funktion bzw. in diesem Fall eine Sinusfunktion sein? Welches Prinzip wertet eine solche Sinusfunktion als "wichtiger" in unserem Universum ein als eine beliebig andere Wahrscheinlichekitsfunktion?

Liebe Grüße und guten Rutsch wünsche ich!
- Dominik

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Seite 331: Wellenfunktion in Potentialtöpfen 30 12. 2019 13:05 #62986

D.R. schrieb: Wieso muss die Wahrscheinlichkeit unbedingt eine stetige Funktion bzw. in diesem Fall eine Sinusfunktion sein?
- Dominik

Das muss nicht zwingend eine Sinusfunktion sein.

Die Gesamtenergie des Teilchens setzt sich aus kinetischer und potenzieller Energie zusammen.
Das Teilchen verhält sich wie eine Welle.
In der Quantenmechanik sind gebundene Zustände stehende Wellen.

Genau wie auf einem Seil das an beiden Enden befestigt ist nur diskrete stehende Wellen möglich sind, können auch Materiewellen die innerhalb eines Bereiches potenzieller Energie gebunden sind, nur bestimmte diskrete Zustände annehmen.

Vereinfachter Selbstversuch: Nimm ein Seil, tritt auf ein Ende mit dem Fuß, nimm das andere Ende in die Hand und schleuder es herum.
Je nachdem wie straff man das Seil hält sieht man eine oder zwei Wellen (wenn man sehr geschickt ist auch 3).

Aber halbe Wellen sieht man nie, das geht ganz einfach nicht.

Lehrbuch "Moderne Physik" ISBN 978-3-86894-115-9 Pearson Verlag Kapitel 5 "Gebundene Zustände" Seite 218 - 226

Der interessante Teil kommt direkt danach: Während ein klassisches Teilchen auf Orte innerhalb der potenziellen Energie beschränkt ist, erstrecken sich die Wellenfunktionen der gebundenen quantenmechanischen Zustände oft über das Gebiet der klassischen Umkehrpunkte hinaus. Es gibt also eine Wahrscheinlichkeit das Teilchen an Orten zu finden wo das klassisches Teilchen nicht sein kann! Das führt dann zum Tunneleffekt.

Andreas.

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Seite 331: Wellenfunktion in Potentialtöpfen 30 12. 2019 15:34 #62991

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Das Teilchen verhält sich wie eine Welle.

Aber was hindert die Wahrscheinlichkeitsfunktion so auszusehen:

EDIT: Verlinkung korrigiert ra-raisch 30.12.2019


Welche "Regel" der QED verhindert das sich ein Elektron mit dieser Wahrscheinlichkeit in einem Potentialtopf "verteilt" ist?

LG

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Seite 331: Wellenfunktion in Potentialtöpfen 07 01. 2020 22:13 #63481

Die Form der Amplitude im Potentialtopf wird von der Schrödingergleichung bestimmt. Ab Seite 341 erklären wir das schrittweise und detailliert.

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Seite 331: Wellenfunktion in Potentialtöpfen 03 07. 2020 04:41 #72252

Hallo,

ich möchte kurz noch etwas zur Stetigkeit ergänzen, denn diese folgt bereits explizit aus der Mathematik. Potentialtöpfe werden zumeist über die Heaviside-Stufenfunktion modelliert: zum Beispiel sei für x<0 und x>a das Potential unendlich, für 0<=x<=a gelte V(x)=0, wobei a - als Breite des Potentialtopfes - eine reelle Zahl darstellt.

Setzt man dieses Potential in die (stationäre) Schrödingergleichung ein, dann fällt auf, dass die zweite Ableitung der Wellenfunktion Psi diese Unstetigkeitsstelle ausgleichen muss. Die Mathematik sagt uns dann, dass sowohl die Wellenfunktion selbst, als auch deren erste Ableitung stetig sein müssen (dies lässt sich leicht per Widerspruch beweisen: man nehme an, die Wellenfunktion wäre nicht stetig, was folgt dann für deren Ableitungen...).

Da Psi also stetig ist gilt dies auch für deren Betragsquadrat, wo wir dann auch schon bei der Wahrscheinlichkeitsdichte angekommen sind, die damit stetig sein muss.

Liebe Grüße,

Kennard

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