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THEMA: Herleitung und Untersuchung der Dirac-Gleichung

Herleitung und Untersuchung der Dirac-Gleichung 28 Jul 2017 14:20 #17967

Ausgehend von der relativistischen Energie-Impuls-Beziehung (1)
\[E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=E_{kin}^{2}+E_{pot}^{2}=T^{2}+V^{2}\]
will ich im Folgenden die Dirac-Gleichung untersuchen, die zur Postulierung der Antimaterie geführt hat und zum ersten Mal auch den Spin eines Teilchens berücksichtigt. Zunächst zur Herleitung. Was wir suchen ist eine speziellere Art und Weise, die Energie eines Teilchens als Funktion von Ort und Zeit zu beschreiben:
\[E^{2}=f^{2}(x,t,p)\]
Wir wissen zwar noch nicht, wie diese Funktion aussieht, aber wir wissen, nach welchem Prinzip sich ein Teilchen von a nach b bewegen muss. Nämlich nach dem "Prinzip der kleinsten Wirkung", das in Herrn Gassners letztem Video "Der Lagrange-Formalismus" erläutert wurde. Es ist das Hamiltonsche Prinzip . Bei Wikipedia wird es auch das "Prinzip der stationären Wirkung" genannt. Die Wirkung ist eine physikalische Grösse von der Einheit:
\[[S]=Energie\cdot Zeit=Impuls\cdot Weglänge=\frac{kg\cdot m^{2}}{s}\]
In der Quantenmachanik ist die Wirkung immer ein ganz- oder halbzahliges Vielfaches des Planck'schen Wirkungsquantums.

Was für eine Funktion könnte \(f(x,t,p)\) sein? Die Lagrange-Funktion kann es nicht sein, denn in Gleichung 1 steht die Summe aus \(E_{pot}\) und \(E_{kin}\) und nicht die Differenz. Stattdessen ist es die sogenannte Hamilton-Funktion , die aber mit der Lagrange-Funktion in Beziehung steht. Wir können also schreiben (2):
\[E^{2}=\mathcal{H}^{2}\]
Um die Hamilton-Funktion zu finden, führte Dirac Koeffizienten ein, die beim Quadrieren wegfallen müssen (Dirac-Postulat) (3):
\[\mathcal{H}=\vec{\alpha}\vec{p}c+\beta mc^{2}\]

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.
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Herleitung und Untersuchung der Dirac-Gleichung 28 Jul 2017 14:22 #17968

Zunächst zur Herleitung.


Ich seh keine

S = k log W
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S = k log W

Herleitung und Untersuchung der Dirac-Gleichung 28 Jul 2017 14:38 #17969

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So habe ich es untersucht:
neutrino.ethz.ch/Vorlesung/WS2001-SS02/V...ngnotizen/TPKap6.pdf
Damit es wieder nicht ausschließlich negativen werte gibt: \( E=\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{{\,2}}}} \) trift wohl das am besten zu.

Ja ich kann alles, sogar definieren was ich nicht kann.

Man muss noch Chaos in sich haben, um einen tanzenden Stern gebären zu können.
**Der Friedrich**

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Herleitung und Untersuchung der Dirac-Gleichung 28 Jul 2017 23:53 #18001

Ich sehe weder eine Herleitung noch einen physikalischen Inhalt. Sich mit sinnleeren Formeln ins rechte Licht setzen zu wollen, ist hier nicht erwünscht.
Ich bitte um Beachtung! Bitte diese Bemerkung als Halbmoderatorenhinweis verstehen.
Grüße
Thomas
PS.: ich mache diese Bemerkung wirklich nur deshalb, weil sich mir kein Sinn, weder in der Notation noch in der Aussage erschließt

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Herleitung und Untersuchung der Dirac-Gleichung 29 Jul 2017 00:37 #18004

Unabhängig davon ob das eine Herleitung ist oder nicht hätte ich eine Frage zur Mathematik:
Ergiebt diese Gleichung: \(E^2 = E_{Kin}+E_{Pot} \) irgend einen physikalischen Sinn?
Da steht auf der einen Seite E zum Quadrat auf der anderen Seite aber die Summe zweier Es.

assume good faith
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assume good faith

Herleitung und Untersuchung der Dirac-Gleichung 29 Jul 2017 08:26 #18010

Klar, hab auf der rechten Seite die Quadrate vergessen. Hab ich inzwischen korrigiert. Machen wir weiter mit der Herleitung. Wir müssen also Gleichung (3) quadrieren, um sie in Gleichung (2) einsetzen zu können (4):
\[E^{2}=p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=(\vec{\alpha}\vec{p}c+\beta mc^{2})(\vec{\alpha}\vec{p}c+\beta mc^{2})\]
Da unser Raum 3-dimensional ist, gilt (5):
\[E^{2}=p_{x}^{2}c^{2}+p_{y}^{2}c^{2}+p_{z}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}=\]
\[(\alpha_{x}p_{x}c+\alpha_{y}p_{y}c+\alpha_{z}p_{z}c+\beta mc^{2})(\alpha_{x}p_{x}c+\alpha_{y}p_{y}c+\alpha_{z}p_{z}c+\beta mc^{2})\]
Ausmultiplikation der beiden Klammern auf der rechten Seite ergibt (6):
\[E^{2}=\alpha_{x}^{2}p_{x}^{2}c^{2}+\alpha_{y}^{2}p_{y}^{2}c^{2}+\alpha_{z}^{2}p_{z}^{2}c^{2}+\beta^{2}m^{2}c^{4}+\]
\[\alpha_{x}\alpha_{y}p_{x}p_{y}c^{2}+\alpha_{y}\alpha_{x}p_{y}p_{x}c^{2}+\alpha_{x}\alpha_{z}p_{x}p_{z}c^{2}+\alpha_{z}\alpha_{x}p_{z}p_{x}c^{2}+\alpha_{y}\alpha_{z}p_{y}p_{z}c^{2}+\alpha_{z}\alpha_{y}p_{z}p_{y}c^{2}\]
\[\alpha_{x}\beta p_{x}mc^{3}+\beta\alpha_{x}p_{x}mc^{3}+\alpha_{y}\beta p_{y}mc^{3}+\beta\alpha_{y}p_{y}mc^{3}+\alpha_{z}\beta p_{z}mc^{3}+\beta\alpha_{z}p_{z}mc^{3}\]
Es ist nicht schwer zu erkennen, dass die Mischterme in den Zeilen 2 und 3 von Gleichung (6) wegfallen müssen und dass gelten muss (I):
\[\alpha_{x}^{2}=\alpha_{y}^{2}=\alpha_{z}^{2}=\beta^{2}=1\]
Die Zeilen 2 und 3 von Gleichung (6) kann man nun weiter zusammenfassen (7):
\[...+\frac{1}{2}[(\alpha_{x}\alpha_{y}+\alpha_{y}\alpha_{x})p_{x}p_{y}+(\alpha_{x}\alpha_{z}+\alpha_{z}\alpha_{x})p_{x}p_{z}+(\alpha_{y}\alpha_{z}+\alpha_{z}\alpha_{y})p_{y}p_{z}]c^{2}+\]
\[[(\alpha_{x}\beta+\beta\alpha_{x})p_{x}^{2}+(\alpha_{y}\beta+\beta\alpha_{y})p_y^{2}+(\alpha_{z}\beta+\beta\alpha_{z})p_z^{2}]mc^{3}\]
Aus dem Erfordernis, dass die beiden Zeilen von Gleichung (7) wegfallen müssen, folgt nun für die Koeffizienten die Bedingungen (II):
\[(\alpha_{x}\alpha_{y}+\alpha_{y}\alpha_{x})=(\alpha_{x}\alpha_{z}+\alpha_{z}\alpha_{x})=(\alpha_{y}\alpha_{z}+\alpha_{z}\alpha_{y})=2\]
und (III):
\[(\alpha_{x}\beta+\beta\alpha_{x})=(\alpha_{y}\beta+\beta\alpha_{y})=(\alpha_{z}\beta+\beta\alpha_{z})=0\]
1. Versuch: Alle Koeffizienten = 1; Kriterium I: ok, Kriterium II: ok, Kriterium III: 2!
2. Versuch: Alle Koeffizienten = -1; Kriterium I: ok, Kriterium II: ok, Kriterium III: -2!
3. Versuch: Alle \(\alpha\)-Koeffizienten = 1, \(\beta\)=-1; Kriterium I: ok, Kriterium II: ok; Kriterium III: -2!
4. Versuch: Alle \(\alpha\)-Koeffizienten = 1, \(\beta\)=i; Kriterium I: ok, Kriterium II: ok; Kriterium III: 2+2i!

Zwischenfazit: Insbesondere wegen Kriterium III können die Koeffizienten keine trivialen Lösungen sein. Eigentlich könnte man jetzt einpacken und den Ansatz als Sackgasse verwerfen.

Nicht so Paul Dirac! Er gab nicht auf und prüfte, ob die Koeffizienten gegebenfalls Matrizen darstellen könnten. Welche Eigenschaften müssten diese Matrizen \(\alpha^{i},\beta\) haben?

1. Da die Hamilton-Funktion ( Gleichung 3 ) hermitesch ist, müssten die Matrizen es auch sein, dass heisst: \((\alpha^{i})^{\dagger}=\alpha^{i}\) und \(\beta^{\dagger}=\beta\).
2. Aus Kriterium II und III folgt, dass die Matrizen antikommutativ sein müssen.
3. Aus Kriterium III folgt, dass die Matrizen \(\alpha^{i}\) und \(\beta\) Spur -frei sein müssen.
4. Da wir vier linear unabhängige Matrizen brauchen, muss die Dimension der Matrizen \(\geq\) 4 sein. Die Pauli-Matrizen liefern beispielsweise nur 3 linear unabhängige, antikommutative Matrizen:
\[\sigma_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}, \sigma_{2}=\begin{pmatrix}0 & -i \\ i & 0\end{pmatrix}, \sigma_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\]
To do

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