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THEMA: Schwarzschildradius

Schwarzschildradius 25 Apr 2019 23:30 #51354

bro schrieb: K.S. geht von kartesichen Koordinaten x,y,z aus. Wichtig sind die vorallem, weil

Was hat denn das mit der Frage zu tun, in welchem Bezugssystem sie liegen?

Du verwechselst die Bedeutung der Wörter "Koordinatenradius" und "Koordinatenbeobachter". Es bedeutet, dass die Größen im Bezugssystem der flachen Raumzeit gelten. Ob es Radialkoordinaten, kartesische Koordinaten oder wie auch immer sind, spielt dafür keine Rolle. Jedenfalls meinte Schwarzschild nicht den Koordinatenbeobachter in flacher Raumzeit. Für diesen sind die "unphysischen" einfachen Parameter jedoch genau richtig.

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Schwarzschildradius 26 Apr 2019 01:13 #51358

bro schrieb: Somit habe ich den Verdacht, dass die Diskrepanz dadurch zustande kommt, dass man Schwarzschilds diabolische Koordinatentransformation "übersehen" hat.

Wer ist "man"? Normalerweise nimmt man die Schwarzschildmetrik in den originalen umfanggetreuen Buchhalterkoordinaten

\( {{\underset{\text{Book}}{g_{\mu \nu}}= \begin{pmatrix} 1-\frac{\rm r_s}{\rm r} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\rm r}{\rm r_s-r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \rm -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \rm -r^2 \sin ^2 \theta \\ \end{pmatrix}} \ \to \ {\underset{\text{Book}}{g_{\mu \nu}}= \begin{pmatrix} \frac{\rm r}{\rm r-r_s} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{\rm r_s}{\rm r}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{\rm r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{\csc ^2 \theta }{\rm r^2} \\ \end{pmatrix}}} \)

und setzt um die Koordinatensingularität die sich für den externen stationären Beobachter beim Schwarzschildradius ergibt wegzutransformieren die gtr Komponente gleich der Freifallgeschwindigkeit:

\( {{\underset{\text{Rain}}{g_{\mu \nu}} = \begin{pmatrix} 1-\frac{\rm r_s}{\rm r} & -\sqrt{\frac{\rm r_s}{\rm r}} & 0 & 0 \\ -\sqrt{\frac{\rm r_s}{\rm r}} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \rm -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \rm -r^2 \sin ^2 \theta \\ \end{pmatrix}} \ \to \ {\underset{\text{Rain}}{g^{\mu \nu}}= \begin{pmatrix} 1 & -\sqrt{\frac{\rm r_s}{\rm r}} & 0 & 0 \\ -\sqrt{\frac{\rm r_s}{\rm r}} & \frac{\rm r_s}{\rm r}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{\rm r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{\csc ^2 \theta }{\rm r^2} \\ \end{pmatrix}}} \)

oder man transformiert in eingehende Lichtkoordinaten, womit sich für die -grr Komponente ebenfalls ein Ausdruck ergibt dessen Wurzel man sauber über den Horizont integrieren kann:

\( {{\underset{\text{Null}}{g_{\mu \nu}}= \begin{pmatrix} 1-\frac{\rm r_s}{\rm r} & -\frac{\rm r_s}{\rm r} & 0 & 0 \\ -\frac{\rm r_s}{\rm r} & -1-\frac{\rm r_s}{\rm r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \rm -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \rm -r^2 \sin ^2 \theta \\ \end{pmatrix}} \ \to \ {\underset{\text{Null}}{g_{\mu \nu}}= \begin{pmatrix} \frac{\rm r+r_s}{\rm r} & -\frac{\rm r_s}{\rm r} & 0 & 0 \\ -\frac{\rm r_s}{\rm r} & \frac{\rm r_s}{\rm r}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{\rm r^2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{\csc ^2 \theta }{\rm r^2} \\ \end{pmatrix}}} \)

Das war zum Zeitpunkt als Schwarzschild sein erstes Papier veröffentlichte zwar noch nicht bekannt, aber Gullstrand & Painlevé und Eddington & Finkelstein haben ein paar Jahre später vorgezeigt wie es geht. Wie man sieht kürzt sich die radiale Tiefenexpansion für den mit der negativen Fluchtgeschwindigkeit hineinfallenden Freifaller aufgrund dessen dass die kinematische Längenkontraktion genau so hoch ist komplett weg so dass |grr|=1, und wenn du die Strecke mit eingehenden Lichtstrahlen vermisst ist der Abstand bis zur Singularität ebenfalls nahtlos integrierbar.

,
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Schwarzschildradius 26 Apr 2019 11:46 #51360

Yukterez schrieb: \( {\underset{\text{Null}}{g_{\mu \nu}}= \begin{pmatrix} 1-\frac{\rm r_s}{\rm r} & -\frac{\rm r_s}{\rm r} & 0 & 0 \\ -\frac{\rm r_s}{\rm r} & -1-\frac{2}{\rm r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \rm -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \rm -r^2 \sin ^2 \theta \\ \end{pmatrix}} \)

kleine optische Korrektur
\( {\underset{\text{Null}}{g_{\mu \nu}}= \begin{pmatrix} 1-\frac{\rm r_s}{\rm r} & -\frac{\rm r_s}{\rm r} & 0 & 0 \\ -\frac{\rm r_s}{\rm r} & -1-\frac{\rm r_s}{\rm r} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \rm -r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \rm -r^2 \sin ^2 \theta \\ \end{pmatrix}} \)

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Schwarzschildradius 26 Apr 2019 21:20 #51368

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Yukterez schrieb:
Wer ist "man"? Normalerweise nimmt man die Schwarzschildmetrik in den originalen umfanggetreuen Buchhalterkoordinaten


Gegenfrage: was heißt "normalerweise"?

Ich gehe mal davon aus, dass hier r ein kartesischer Abstand vom Koordinatenursprung sein soll (weiß nicht genau wie Buchhalterkoordinaten definiert sind),

In diesem Fall gehört die von Dir angegebene "Schwarzschildmetrik" zu einer Hohlkugel mit einem Koordinatenradius rs,
und nicht zu einem Massenpunkt, von dem ich immer rede. Wenn der 00-Kompenente des Energie-Impuls-Tensors durch mc²δ(r) gegeben ist, und man diesem zusammen mit Deiner schönen Metrik in die Einstein'schen Feldgleichungen einsetzte, dann würde man sofort sehen, dass die Feldgleichungen nicht
aufgehen.
Wenn man die "Buchhalterkoordinaten" mit rB bezeichnet, so dass die Energiedichte durch mc²δ(rB) gegeben ist
und r durch r³ = rB³+ rs ³ definiert, dann wäre die von dir angegebene Metrik in Anhängigkeit von r eine Lösung für das Massenpunkt-Problem,
aber das r wäre, dann eben keine Buchhalterkoordinate mehr. Wenn Du's nicht glaubst, dann lies doch mal die Publikation von Schwarzschild.
Das Problem ist, dass Ihr glaubt, dass Schwarzschilds Ansicht mit Euren Ansichten kompatibel ist, aber nachgeprüft habt Ihr es anscheinend nicht.
Und es schon sehr auffällig, dass die Formel r³ = rB³+ rs ³ nur bei Schwarzschild zu finden ist, und die von Dir angegebene Metrik,
ist auch nur dann eine Lösung des Massenpunkt-Problems, wenn man das r entsprechend interpretiert.

Und eine Metrik hat überhaupt nur im Zusammenhang mit einem Energie-Impuls-Tensor einen Sinn; wenn man meint, in der Metrik irgendetwas wegtransformieren zu müssen, dann muss man auch den Energie-Impuls-Tensor entsprechend transformieren. Wenn es sich um eine passive
Koordinatentransform handelt, dann hat man dasselbe einfach nur anders dargestellt, so dass sich aus passiven Koordinatentransformen auch nichts
neues ergeben kann. Fasst man die Transformation der Metrik aber als aktive Transformation auf, dann muss auch so konsequent sein und den
Energie-Impuls-Tensor aktiv transformieren, was dann aber bedeutet, dass man eine andere Energieverteilung beschreibt, wobei man aber nicht
davon ausgehen kann, dass diese mit irgendwelchen Bewegungs- oder Zustandsgleichungen verträglich ist. Insofern ist die ganze Rum-Transformatiererei
ja schon fragwürdig. Das wichtigste ist doch zuerst einmal eine korrekte Lösung der Feldgleichungen in irgendeinem Koordinatensystem zu haben.
Und in dieser ganz elementaren Angelegenheit scheint es schon Diskrepanzen zu geben. Oder kannst Du mir erklären warum Schwarzschild eine
Formel wie r³ = rB³+ rs ³ braucht, während alle anderen ohne eine solche Formel auskommen? Das seltsame ist, dass andere
auch keine andere Formel angeben, die Schwarzschild-Formel wurde einfach ersatzlos gestrichen, trotzdem hat das Linienelement immer die
gleiche Form, obwohl diese Form bei Schwarzschild zur dann richtig ist, wenn die Radial-Koordinate im Linienelement ganz speziell definiert ist, nämlich durch
r³ = rB³+ rs ³. Wenn sie anders definiert ist, kann die Metrik zusammen mit mc²δ(rB) nicht die Feldgleichungen erfüllen, weil
Schwarzschild nämlich behauptet hat, dass seine Lösung eindeutig ist.

Für mich sieht das so aus, dass man es irgendwie ganz toll findet, einem Massenpunkt die Metrik einer Hohlkugel mit Koordinatenradius rs zuzuschreiben.

@ra-raisch

ra-raisch schrieb:

bro schrieb: K.S. geht von kartesichen Koordinaten x,y,z aus. Wichtig sind die vorallem, weil
Was hat denn das mit der Frage zu tun, in welchem Bezugssystem sie liegen?


Wie reden ja hier über Diskrepanz oder nicht Diskrepanz. Für mich scheint vor allem die Frage wo der Ereignishorizont relativ zum Massenpunkt liegt,
strittig zu sein. Insofern ist es ja schon von ganz entscheidender Bedeutung, was in welchen Koordinaten definiert ist.

Bezugssystem ist das Ruhe-System des Massenpunktes.

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Schwarzschildradius 26 Apr 2019 21:56 #51369

bro schrieb: Gegenfrage: was heißt "normalerweise"?

Das heißt unter Relativisten.

bro schrieb: Ich gehe mal davon aus, dass hier r ein kartesischer Abstand vom Koordinatenursprung sein soll

Wie schon weiter oben steht sind das umfanggetreue Koordinaten, daher r=U/2/π.

bro schrieb: weiß nicht genau wie Buchhalterkoordinaten definiert sind

Der Buchhalter ist der Beobachter der sich in asymptotisch flacher Raumzeit weit weg von der Masse befindet.

bro schrieb: Das Problem ist, dass Ihr glaubt, dass Schwarzschilds Ansicht mit Euren Ansichten kompatibel ist

Wer ist "ihr", ich und alle anderen Relativisten?

bro schrieb: aber nachgeprüft habt Ihr es anscheinend nicht.

Den Schwarzschild nachzuprüfen ist das Erste was man macht wenn man anfängt sich mit der allgemeinen Relativitätstheorie zu beschäftigen.

bro schrieb: Oder kannst Du mir erklären warum Schwarzschild eine Formel wie r³ = rB³+ rs ³ braucht

Man kommt auch ganz gut ohne aus, Schwarzschild ist halt auf einem Umweg zu der Lösung gekommen.

bro schrieb: Für mich sieht das so aus, dass man es irgendwie ganz toll findet, einem Massenpunkt die Metrik einer Hohlkugel mit Koordinatenradius rs zuzuschreiben.

Das klingt für mich als ob du alle Relativisten für Idioten hältst. Die erste Form der Schwarzschildmetrik beschreibt nur das Außenfeld einer Masse ab dem Schwarzschildradius aus dem Bezugssystem eines weit entfernten Buchhalters betrachtet, für den macht es aufgrund des Schalen- und Birkhofftheorems auch keinen Unterschied ob die Masse sich in einem Punkt oder am Horizont befindet. In dem seinen System bleibt die Ausdehnung der Masse aufgrund der gravitativen Zeitdilatation immer ein infinitesimales Stück größer als ihr Horizontradius.

Allerdings kann man wenn man es geschickt macht auch in diesen Koordinaten errechnen dass die Weltlinien von Hineinfallenden nicht am Horizont sondern in der Singularität terminieren, lediglich die Frage was es bedeutet dass das zwar eine endliche Eigenzeit, aber eine in die Unendlichkeit und wieder zurück laufende Koordinatenzeit benötigt war zur Zeit von Schwarzschilds erster Publikation noch schleierhaft.

Die Frage mittlerweile als geklärt betrachtend,

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Schwarzschildradius 26 Apr 2019 22:40 #51372

Yukterez schrieb:

bro schrieb: Oder kannst Du mir erklären warum Schwarzschild eine Formel wie r³ = rB³+ rs ³ braucht

Man kommt auch ganz gut ohne aus, Schwarzschild ist halt auf einem Umweg zu der Lösung gekommen.

Die Frage ist halt, was sein "physikalische" r=³(R³-α³) bzw mit heutigen Zeichen R=³(r³-rs³) bedeutet hat.
Die lokale Größe wäre ja gewesen r/²(1-rs/r)
und die echte physikalische wäre viel komplizierter mit ln bzw cot

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Schwarzschildradius 26 Apr 2019 22:45 #51373

Das ist wie eh dabeisteht nur eine Hilfsgröße in einem Zwischenschritt der dazu dient die Gleichung zu kürzen, nicht so wie du weiter oben fälschlich annimmst der physikalische Radius.

Unterscheidend,

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Schwarzschildradius 26 Apr 2019 22:47 #51374

Yukterez schrieb: nicht so wie du weiter oben fälschlich annimmst der physikalische Radius.

Das habe ich auch schon festgestellt, aber er bezeichnet sein r als physikalisch und sein R bezeichnet er als Hilfsgröße.

Die Kurve für ³(r³-rs³) sieht auch ganz merkwürdig aus ....

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Schwarzschildradius 26 Apr 2019 23:12 #51377

ra-raisch schrieb: aber er bezeichnet sein r als physikalisch

Citation needed, die Suchfunktion liefert nur 1 Ergebnis für physikalisch und das fällt nicht im Zusammenhang mit r.

Nicht wissend worauf du dich beziehst,

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Schwarzschildradius 26 Apr 2019 23:15 #51378

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Yukterez schrieb: Das ist wie eh dabeisteht nur eine Hilfsgröße in einem Zwischenschritt der dazu dient die Gleichung zu kürzen, nicht so wie du weiter oben fälschlich annimmst der physikalische Radius.


Kein physikalischer Radius: sehe ich auch so.(hab ich nicht um sonst als diabolisch bezeichnet)

Hilfsgröße: Schwarzschild macht eine Koordinatentransformation, so dass aus der Hilfsgröße eine Koordinate wird.
Und die Metrik in Abhängikeit von dieser Hilfsgröße hat die bekannte Form. Würde man die auf "Buchhalterkoordinaten"
transformieren ,hätte sie sehr wahrscheinlich eine andere Form.

ra-raisch schrieb.
Das habe ich auch schon festgestellt, aber er bezeichnet sein r als physikalisch und sein R bezeichnet er als Hilfsgröße.


r wäre physikalischer Abstand, wenn Raum nicht gekrümmt wäre, also eher ein kartesischer Koordinatenabstand.

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Schwarzschildradius 26 Apr 2019 23:38 #51380

Yukterez schrieb: Nicht wissend worauf du dich beziehst,

§ 3. Nennt man die Zeit die rechtwinkligen Koordinaten x,y,z so ist das allgemeinste Linienelement, welches die Forderungen 1-3 erfüllt, offenbar das folgende
ds² = Fdt²-G(dx²+dy²+dz²)-H(xdx-ydy-zdz)²
wobei F,G,H Funktionen von r=²(x²+y²+z²) sind.

Diese Koordinaten müssen ja doch wohl auf irgend etwas bezogen sein, es sind ja im Gegensatz zu den Funktionen keine Platzhalter.

R bezeichnet er hingegen ausdrücklich als "Hilfsgröße"

bro schrieb: r wäre physikalischer Abstand, wenn Raum nicht gekrümmt wäre, also eher ein kartesischer Koordinatenabstand.

r ist innerhalb der Metrik gerade, aber nicht von außen gesehen.

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Schwarzschildradius 27 Apr 2019 00:04 #51381

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Bemerkung: Wenn man r -> R = (r³ +a³)1/3 als aktive Transformation auffasst,
dann wird der Massenpunkt auf eine Hohlkugel mit Radius a abgebildet.


@Yukterez:

Mich würde dann ja schon mal interessieren, wie Deiner Meinung nach die Energiedichten für einen Massenpunkt bzw. Hohlkugel
in Buchhalterkoordinaten aussehen.
~ mc²δ(r) und ~ mc²δ(r-a) ?

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Schwarzschildradius 27 Apr 2019 00:48 #51382

bro schrieb: Energiedichten

lineare Energiediechte eines SL ist doch wohl bekannt c²Ts=c²M/rs=c⁴/2G
und im Volumen dann c²ρ=2c⁴/3rs²G

Aber die Frage war wohl irgendwie anders gemeint?

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Schwarzschildradius 27 Apr 2019 01:00 #51383

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ra-raisch schrieb:

bro schrieb: Energiedichten

lineare Energiediechte ist doch wohl bekannt c²Ts=c²M/rs=c⁴/2G
und im Volumen c²ρ=2c⁴/3rs²G


Das habe ich nicht gemeint. Ich bin darauf aus wie die Einstein'schen Feldgleichungen aussehen.
Auf der rechten Seite steht der Energie-Impuls-Tensor, bei dem hier vor allem die 00-Komponente
wichtig ist, die muss aber eine räumliche Verteilung beschreiben, also von einem r abhängig sein.

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Schwarzschildradius 27 Apr 2019 01:13 #51384

bro schrieb: Auf der rechten Seite steht der Energie-Impuls-Tensor, bei dem hier vor allem die 00-Komponente
wichtig ist, die muss aber eine räumliche Verteilung beschreiben, also von einem r abhängig sein.

Natürlich, Yukterez hat doch 3 Metriken vollständig angegeben, die des Koordinatenbuchhalters lautet g.tt=(1-rs/r) wie bei Schwarzschild. was hast Du denn erwartet?

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Schwarzschildradius 27 Apr 2019 03:02 #51385

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ra-raisch schrieb:

bro schrieb: Auf der rechten Seite steht der Energie-Impuls-Tensor, bei dem hier vor allem die 00-Komponente
wichtig ist, die muss aber eine räumliche Verteilung beschreiben, also von einem r abhängig sein.

Natürlich, Yukterez hat doch 3 Metriken vollständig angegeben, die des Koordinatenbuchhalters lautet g.tt=(1-rs/r) wie bei Schwarzschild. was hast Du denn erwartet?


Ja schon, aber Metriken werden eindeutig(zumindest mit bestimmten Nebenbedingen), durch den Energie-Impuls-Tensor bestimmt. Die von Yukterez passt meines Erachtens ganz gut zu einer Hohlkugel mit Radius a, da sie bei r=a divergiert. Die ominöse Schwarzschildformel, um die sich hier von Anfang an alles gedreht hat, R³=r³+a³ hat ja gerade die Funktion, die Divergenz auf den Koordinatenursprung zu verschieben. Wenn diese Lösung richtig ist, wie kann dann Yukterez's Buchhalter-Metrik ohne Verschiebung der Divergenz auch eine Lösung des selben Problems sein? Im Zweifelsfall muss man sich halt Metrik und Energie-Impuls-Tensor zusammen anschauen.

Im übrigen bin ich der Meinung, dass Yukterez die Dinge zu "relativistisch" sieht. Ich denke, dass man die Dinge so sehen muss:
Erst gibt man eine Massenverteilung in irgend welchen Koordinaten vor, daraus folgt die Metrik, die die Bühne für leichtere
Gebilde bzw. Beobachter definiert, und wenn dann Postionen, Bahnen der Beobachter vorgegeben oder berechnet werden, dann kann man
auch berechnen wer wann was sieht.
Wenn man aber so anfängt, dass ein Buchhalter nicht so genau wissen kann, ob er es mit einer Punktsingularität oder eine Hohlkugel zu tun hat,
hat man auch kein definiertes Zenario. Es ist zwar so, dass sich die Experimentalphysik damit herumschlagen muss. Aber ein Theoretiker
kann immer sagen ich gebe dieses und jenes vor, und rechne dann aus was dabei heraus kommt.

Und ich rede hier immer von einem Massenpunkt im Koordinatenursprung, und der zugehörigen Metrik die sich aus den Feldgleichungen ergibt,
was verschiedene Beobachter sehen würden, oder wie man die Metrik transformieren könnte, ist mir jetzt erstmal egal. Und ich kann nicht nachvollziehen
wie man dabei auf die Formel R³=r³+a³, die die Divergenz der Metrik faktisch "über den Massenpunkt" schiebt verzichten kann.

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Schwarzschildradius 27 Apr 2019 11:03 #51386

bro schrieb: Die ominöse Schwarzschildformel, um die sich hier von Anfang an alles gedreht hat, R³=r³+a³

Vergiss das erstmal, ²(1-rs/r) ist die richtige Formel. (r³+rs³) kommt in keiner gängigen Formel vor.
Leider kann ich den Gedanken von Schwarzschild nicht nachvollziehen, das Endergebnis ²(1-rs/r) war jedenfalls richtig. Ich denke, man kann es so deuten:

Wie ich schon sagte, verlagert er die Unstetigkeit auf Grund einer (willkürlichen) Annahme/Forderung ins Zentrum.
"Damit diese Unstetigkeit mit dem Nullpunkt zusammenfällt, muß ρ=α³ sein. Die Stetigkeitsbedingung verknüpft also in dieser Weise die beiden Integrationskonstanten ρ und α."
Diese Stetigkeitsbedingung entspricht dem physikalischen Radius und nicht dem Koordinatenradius!!!!!

Dieser Weg ist nicht falsch, macht aber aus seinem r eine Hilfsgröße, seine vermeintliche Hilfsgröße R entpuppt sich dann (glücklicher Zufall) als Koordinatenradius, das war ihm offensichtlich nicht bewusst. Es gibt sicher damalige Literatur darüber, man muss es nur finden ...

wiki.en:
In Schwarzschild's original paper, he put what we now call the event horizon at the origin of his coordinate system.[10] In this paper he also introduced what is now known as the Schwarzschild radial coordinate (r in the equations above), as an auxiliary variable. In his equations, Schwarzschild was using a different radial coordinate that was zero at the Schwarzschild radius.

Da habe ich etwas gefunden:
Die Koordinaten, in denen Schwarzschild seine L¨osung darstellte, stimmen nicht mit denjenigen
¨uberein, die heute als ”Schwarzschild-Koordinaten“ bekannt sind. Dies ist eine Folge
dessen, dass Schwarzschild mit einer vorl¨aufigen Version der ART arbeitete, in der Einstein
noch eine Einschr¨ankung der Koordinatenwahl forderte, die er in der endg¨ultigen Fassung
als ¨uberfl¨ussig erkannte1. Aus Regularit¨atsgr¨unden w¨ahlte Schwarzschild den Ursprung seines
Koordinatensystems an jenem Ort, an dem sich wie wir heute wissen der Horizont des
schwarzen Lochs befindet. Diese Wahl f¨uhrte zum Begriff der ”Schwarzschild-Singularit¨at“
und war die Quelle vielf¨altiger Verwirrungen bis in die 1960er Jahre.
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Schwarzschildradius 27 Apr 2019 12:10 #51389

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ra-raisch schrieb:
wiki.en:
In Schwarzschild's original paper, he put what we now call the event horizon at the origin of his coordinate system.[10] In this paper he also introduced what is now known as the Schwarzschild radial coordinate (r in the equations above), as an auxiliary variable. In his equations, Schwarzschild was using a different radial coordinate that was zero at the Schwarzschild radius.


In Schwarzschild's original paper, he put what we now call the event horizon at the origin of his coordinate system
Ja, das ist genau das, über das ich mir von Anfang die Finger wund getippt habe. Und ich bin wirklich sehr froh, dass ich nicht der einzige bin, der das so sieht.
ra-raisch, wenn Du wert darauf legst, dann küss ich Dir gern die Füße:-)

Aber: "the origin of his coordinate System" ist bei S. die Position im Raum, an der sich der Massenpunt befindet, das heißt der Ereignishorizont
befindet sich direkt am Massenpunkt. Der Eindruck, dass es zwischen Massenpunkt und Ereignishorizont noch irgendetwas gäbe, entsteht durch
eine diabolische Koordinatentransformation, bzw. dadurch dass die Metrik durch "an auxiliary variable" ausgedrückt wird,

Der Satz:
"In his equations, Schwarzschild was using a different radial coordinate that was zero at the Schwarzschild radius", ist so nicht richtig.
Es muss heißen:
"In his equations, Schwarzschild was using a different radial coordinate that was zero at the event horizon" und man höre und staune:
"he put what we now call the event horizon at the origin of his coordinate system".

Meines Erachtens ist es völlig klar, dass der Schreiber des wiki-Artikels, eine wesentliche Kleinigkeit verdreht.

"Aus Regularit¨atsgr¨unden w¨ahlte Schwarzschild den Ursprung seines
Koordinatensystems an jenem Ort, an dem sich wie wir heute wissen der Horizont des
schwarzen Lochs befindet"

Einverstanden. Aber wo ist jetzt der Horizont? Direkt an der Singularität oder sind Singularität und Horizont irgendwie
von einander getrennt. Nach Schwarzschild : Direkt an der Singularität!

Nachtrag:
Also ich glaube, dass sich Ereignishorizonte, sofern es überhaupt welche gibt, nur an Grenzfläche zwischen Energie-Singularitäten
und Vakuum befinden können. Wenn Massenpunkte und schwarze Hohlkugeln von außen nicht unterscheidbar sind, muss man
letztlich sagen, dass es undefiniert ist, was sich hinter dem Horizont befindet. Und dann könnte man auch sagen, dass
Energie-Singularitäten einen Rand der Einsteinmannigfalt bilden. Die Frage was sich hinter dem Horizont befindet, bedeutet
dann soviel wie: Was ist außerhalb des Universums? "Horizontüberschreitende Mathematik" ist einfach nur Quatsch.

Yukterez schrieb:

Das klingt für mich als ob du alle Relativisten für Idioten hältst.

Nein, aber:
Hohe Intelligenz ist die Fähigkeit auf eine abstrakte Art schwachsinnig zu sein,
von der einfache Säugetiere noch nicht mal träumen können.
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Schwarzschildradius 27 Apr 2019 18:42 #51392

bro schrieb: Der Eindruck, dass es zwischen Massenpunkt und Ereignishorizont noch irgendetwas gäbe, entsteht durch
eine diabolische Koordinatentransformation, bzw. dadurch dass die Metrik durch "an auxiliary variable" ausgedrückt wird,

Nein, der gegenteilige Eindruck entsteht dadurch, dass Schwarzschild willkürlich die Unstetigkeit ins Zentrum verlagert. Dafür gibt es keine Evidenz. Ich bin mir nicht sicher, ob ihm das bewusst war und er nur die zweite Unstetigkeit bei rs vermeiden wollte.

Natürlich ergibt sich aus seiner Rechnung auch nicht das Gegenteil, aber das haben andere berechnet, da sind sich ALLE einig.

Schau Dir Loviscach mal an, der rechnet es vor, zwar mit anderen Koordinaten, aber am Ende ergibt sich Schwarzschild. Ist zwar langwierig aber verständlich.

bro schrieb: Einverstanden. Aber wo ist jetzt der Horizont? Direkt an der Singularität oder sind Singularität und Horizont irgendwie
von einander getrennt. Nach Schwarzschild : Direkt an der Singularität!

Nach dem SM gibt es den Ereignishorizont bei rs und die Singularität im Zentrum, also zwei Singularitäten, die bei rs ist eine Koordinatensingularität, weil man diverse Rechnungen korrekt dazu ausführen kann. Dies entspricht der Sichtweise eines Testpartikels, das angezogen wird und in Eigenzeit bis zum Zentrum fällt, wo ggf QM-Effekte regieren, die stärker als Gravitation sind....

bro schrieb: Wenn Massenpunkte und schwarze Hohlkugeln von außen nicht unterscheidbar sind, muss man
letztlich sagen, dass es undefiniert ist, was sich hinter dem Horizont befindet.

Was sich innerhalb des rs befindet, kann niemand sagen, es handelt sich immer nur um Extrapolationen bekannter Gesetze.

Es ist nach meiner Ansicht auch möglich, dass sich innerhalb gar nichts befindet, nicht einmal Raum, rs ist dann nur ein aufgeblasener Punkt. Aber das ist reine Phantasie ohne jeden Anhaltspunkt, naja angelehnt an die holographischen Modelle, letztlich aber allen anderen Modellen im Ergebnis gleichwertig.

Nach dem Schalenmodell frozen star kann wegen der Zeitdilatation nichts durch rs dringen. Daher gibt es auch keine Zentralsingularität sondern ein Gesamtobjekt mit nach außen quadratisch (harmonisch) sinkender Dichte. Aber Wirkungen dringen weder von innen nach außen noch von außen nach innen. Nur die Felder (Schwerkaft, Coulomb, Rotation) bleiben bestehen. Sie verschwinden nicht, nur weil ihre Quellen von weiteren Schalen umgeben werden.

Die letzte Variante entspricht einer nachvollziehbaren Entwicklung und ist kaum zu widerlegen, sie kommt ohne jede (realisierte) Singularität aus, sehr sympathisch.
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Schwarzschildradius 27 Apr 2019 22:10 #51394

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@ra-raisch

ra-raisch schrieb:

bro schrieb: Der Eindruck, dass es zwischen Massenpunkt und Ereignishorizont noch irgendetwas gäbe, entsteht durch
eine diabolische Koordinatentransformation, bzw. dadurch dass die Metrik durch "an auxiliary variable" ausgedrückt wird,

Nein, der gegenteilige Eindruck entsteht dadurch, dass Schwarzschild willkürlich die Unstetigkeit ins Zentrum verlagert. Dafür gibt es keine Evidenz.


Es gibt dafür zwar keine experimentelle Evidenz, aber ein mathematisches Holzhammer-Argument:

Egal, was man in welchen Koordinaten im Rahmen der ART auch immer beschreiben mag, die Feldgleichungen müssen immer erfüllt sein.

Dass die Metrik nur dort divergent sein kann, wo die Energiedichte singulär ist, und ansonsten stetig sein muss,
ergibt sich aus der allgemeinen Theorie der Differentialgleichungen, das hat mit Willkür nichts zu tun.

Vergleiche Maxwell-Theorie: Elektromagnetische Felder sind auch nur dort divergent, wo die Ladungsdichte durch Delta-Distributionen
vorgegeben ist.

Das Dilemma der modernen Rechnungen besteht darin, dass die neue Radialkoordinate R rein formal definiert wird, so dass der Umfang
immer 2πR ist( in dem Video ist das auch so). Dann werden die Feldgleichung in größter Allgemeinheit für kugelsymmetrische
Massenverteilungen im "Außenraum" gelöst, so dass am Ende die Schwarzschildmetrik in Anhängigkeit von R herauskommt.
Aber es natürlich nicht so, dass alle kugelsymmetrischen Masseverteilungen physikalisch äquivalent sind.
Wenn man von kartesischen Koordinaten (x,y,z) ausgeht, evtl. Kugelkoordinaten (r,θ,φ) mit r²=x²+y²+z² einführt,
und man anhand dieser Koordinaten die Masseverteilung beschreibt, dann stellt sich natürlich die Frage wie das r in der Massendichte
mir dem R in der Metrik zusammenhängt. Moderne Autoren schweigen darüber, obwohl dieser Zusammenhang davon abhängig ist,
wie denn die Massendichte konkret aussieht. Bei einer Hohlkugel mit ρ(r) ~ δ(r-a), ergäbe sich vermutlich R=r,
bei einem Massenpunkt mit ρ(r) ~ δ(r), nach Schwarzschild aber R³ = r³ + a³, und bei einer homogenen Vollkugel wieder anders.
Das heißt, moderne Autoren rechnen nichts anderes, oder mehr, sondern weniger aus. Was dazu führt, dass gar nichts darüber,
ausgesagt werden kann, wie denn die Metrik, insbesondere der Ereignishorizont, relativ zur Massendichte "positioniert" ist.
Stattdessen wird die Metrik naiv in einer Art und Weise interpretiert, die mit den Feldgleichungen gar nicht verträglich ist.
(Wenn Du wissen willst warum ich Schwarzschilds R als diabolisch bezeichnet habe, solltest Du meinen Beitrag lesen,
in dem die Zahl 666 vorkommt.)

ra-raisch schrieb:

Es ist nach meiner Ansicht auch möglich, dass sich innerhalb gar nichts befindet, nicht einmal Raum, rs ist dann nur ein aufgeblasener Punkt.


Das deckt sich gut, mit dem was ich im Nachtrag in meinem letzten Beitrag geschrieben habe, obwohl ich mich anders ausgedrückt habe.
Insofern sind wir uns eigentlich einig. Und ich behaupte darüber hinaus, dass die Mathematik auf unserer Seite ist, und die
Formalisten unter den Relativisten etwas verschludern.

PS: eigentlich hasse ich es längere Text zu verfassen, aber soll man machen, wenn man nicht richtig verstanden wird.

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Schwarzschildradius 27 Apr 2019 22:18 #51395

bro schrieb: Dass die Metrik nur dort divergent sein kann, wo die Energiedichte singulär ist, und ansonsten stetig sein muss,
ergibt sich aus der allgemeinen Theorie der Differentialgleichungen, das hat mit Willkür nichts zu tun.

Das dachte sich Schwarzschild wohl auch, jedoch ist die Energiedichte bei rs quasi singulär, es ist lineare Schwarzschilddichte Ts=c²/2G. Innerhalb rs ist die Dichte sogar "zu hoch", der Faktor wird ja imaginär σ=²(1-rs/r). Die lin.Dichte Ts reicht eben aus, damit ein SL entsteht.

bro schrieb: Das Dilemma der modernen Rechnungen besteht darin, dass die neue Radialkoordinate R rein formal definiert wird, so dass der Umfang
immer 2πR ist

Das wird so gemacht, weil es so ist und nicht nur formal. Die gravitative Raumdehnung wirkt sich nur radial aus und nicht orbital. Alle Beobachter sind sich über den Umfang einig. Sie müssen nur ein Ereignis festlegen, das sie gemeinsam beobachten, um den selben Umfang in diesem Orbit zu beschreiben. Das ist so ähnlich wie bei der Lorentzkontraktion nur in Bewegungsrichtung und nicht orthogonal dazu.

Wie man das beweisen kann, weiß ich zwar nicht, und messen wird auch schwierig sein. Aber es ergibt sich wohl daraus, dass der Umfang 2L·π beträgt und eine Latte der Länge L (in diesem Orbit) eben von jedem Beobachter (egal in welchem Obit) in Relation zum Umfang auch gleich L=U/2π gesehen werden muss (jedenfalls unveränderte gleichmäßige Dehnung, falls überhaupt, da Rotationssymmetrie). Für den Koordinatenbeobachter ergibt sich damit: L=r, immer!!! "Beweis" würde ich es zwar nicht nennen sondern "zwingende logische Erklärung".

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Schwarzschildradius 28 Apr 2019 00:07 #51396

bro schrieb:

Nachtrag:
Also ich glaube, dass sich Ereignishorizonte, sofern es überhaupt welche gibt, nur an Grenzfläche zwischen Energie-Singularitäten
und Vakuum befinden können. Wenn Massenpunkte und schwarze Hohlkugeln von außen nicht unterscheidbar sind, muss man
letztlich sagen, dass es undefiniert ist, was sich hinter dem Horizont befindet. Und dann könnte man auch sagen, dass
Energie-Singularitäten einen Rand der Einsteinmannigfalt bilden. Die Frage was sich hinter dem Horizont befindet, bedeutet
dann soviel wie: Was ist außerhalb des Universums? "Horizontüberschreitende Mathematik" ist einfach nur Quatsch.


Dieser Nachtrag deckt sich fast genau mit dem, was ich so über die Versuche das Innere eines SL physikalisch zu beschreiben denke.
Existieren die Naturgesetze, mit denen wir das Univerum beschreiben überhaupt noch hinter dem Ereignishorizont?

Hatte dazu selbst mal einen Thread eröffnet. Wenig Mathematik, einfach mal logisch drüber nachdenken.

urknall-weltall-leben.de/urknall-weltall...zeit-stillsteht.html

Es ging zwar um rotierende SL ( daran konnte ich meine Problematik besser erklären), aber der Hintergrund ist derselbe.
Wenn für uns die Zeit ab Ereignishorizont stillsteht, was will man ab dort noch physikalisch berechnen? Jeder physikalische Vorgang braucht Zeit. Diese haben wir aber von unserer Warte aus gesehen ab dort nicht mehr.
Man kann viel rechnen, aber jeder Prozess welcher hinter dem EH ablaufen soll, und sei er noch so kurz, wäre für uns ein Postuniverseller.
Und da ist halt die Frage: Welche Physik ( Naturgesetze) will man nach unserem dann vergangenen Universum zu grunde legen?

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Schwarzschildradius 28 Apr 2019 09:11 #51398

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ra-raisch schrieb:

bro schrieb: Dass die Metrik nur dort divergent sein kann, wo die Energiedichte singulär ist, und ansonsten stetig sein muss,
ergibt sich aus der allgemeinen Theorie der Differentialgleichungen, das hat mit Willkür nichts zu tun.

Das dachte sich Schwarzschild wohl auch, jedoch ist die Energiedichte bei rs quasi singulär, es ist lineare Schwarzschilddichte Ts=c²/2G. Innerhalb rs ist die Dichte sogar "zu hoch", der Faktor wird ja imaginär σ=²(1-rs/r). Die dichte Ts reicht eben aus, damit ein SL entsteht.


Mit Energiedichte meinte ich eigentlich die vorgegebene Massendichte, und mit Singularität etwas, das durch eine Deltadistribution beschrieben wird,
das ist ja schon was anderes als eine 1/r-Divergenz. Und die Massendichte für einen Punkt ist bei r=rs wegen ρ(r) ~ δ(r) gleich Null.
Mit der Trafo R=(r³+rs³)1/3, ergibt sich ρ(R) ~ δ((R³-rs³)1/3), das heißt durch diese Trafo wird der Punkt scheinbar zu einer Kugel aufgeblasen.
Das ist aber nur eine passive Koordinatentransformation, wenn man sie als eine aktive Transformation auffasst, dann beschreibt man
keinen Massenpunkt mehr, sondern eine Hohlkugel, und in beiden Fällen liegt der Horizont auf der Oberfläche der Massenverteilung!

Wenn Deine Anmerkung bedeuten soll, dass das Gravitationsfeld selbst Singularitäten bilden kann, die wiederum Gravitation verursachen,
dann gäbe es aber für jede Massenverteilung beliebig viele Lösungen, mit beliebig vielen Extra-Singularitäten.
Die Schwarzschild-Lösung von 1916, bei der die Divergenz der Metrik auf dem Massenpunkt sitzt,
ist halt die einfachste Lösung ohne irgendwelche Extra-Singularitäten.

ra-raisch schrieb:
Das wird so gemacht, weil es so ist und nicht nur formal. Die gravitative Raumdehnung wirkt sich nur radial aus und nicht orbital. Alle Beobachter sind sich über den Umfang einig.

Ich habe nicht behauptet, dass es ein Fehler ist, die Radialkoordinate R durch einen umfang zu definieren. Als formal habe ich die Definition bezeichnet,
weil sie ohne irgendeinen Bezug auf etwas anderes erfolgt. In gekrümmten Räumen ist das Verhältnis von Umfang und Radius nicht 2π, also R ist also
kein physikalischer Radius, aber er auch von der r-Koordinate verschieden, durch die die Massenverteilung beschrieben wird.
Wenn man r als eigentlichen Koordinatenradius betrachtet, dann ist der "Umfangradius" nur eine Hilfsgröße.
Aber das entscheidende ist, dass der Zusammenhang zwischen r und R, von der konkreten Massenverteilung abhängig ist.

Allerdings ist es auch so, dass es kein Fehler ist, das, was in der Umgebung der Masse passiert, konsequent in R-Koordinaten zu beschreiben;
und dafür muss auch nichts über den Zusammenhang zwischen r und R wissen. Wenn es aber um die Frage geht, wo die Koordinatendivergenz der
Metrik relativ zur Massenverteilung liegt, dann ist dieser Zusammenhang aber oberwichtig. Bei einem Massenpunkt erscheint der Ereignishorizont
bei R=rs, weil durch die Trafo R=(r³+rs³)1/3, die Dichte ρ(r) ~ δ(r) zu einer Kugel ρ(R) ~ δ((R³-rs³)1/3) (passiv) aufgebläht wird.
Horizont und Oberfläche der Massenverteilung sind die selben Flächen!!!
Das heißt, wenn etwas den Horizont erreicht, dann knallt es auf dichte Materie, und Ende.

Brooder schrieb:
Jeder physikalische Vorgang braucht Zeit. Diese haben wir aber von unserer Warte aus gesehen ab dort nicht mehr.
Man kann viel rechnen, aber jeder Prozess welcher hinter dem EH ablaufen soll, und sei er noch so kurz, wäre für uns ein Postuniverseller.

Sehe ich ganz ähnlich. Und wenn man bedenkt, dass nach unser Zeitrechnung das Alter des Universums endlich ist, kann es nicht sein,
dass schon mal irgendetwas durch einen Horizont geflogen ist. Vermutlich dauert schon die Ausbildung eines Horizonts unendlich lange,
so dass es faktisch gar keine echten Horizonte gibt.

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Schwarzschildradius 28 Apr 2019 18:16 #51402

ra-raisch schrieb: Da sehe ich eine Ungenauigkeit auf Seite 116:
Der Gravitationsradius rG=M und rs=2M ist nicht dasselbe, wie es dort dargestellt wird.

wiki.en:
rs (sometimes historically referred to as the gravitational radius)
Mehrere Autoren verwenden es so, so auch MTW.

Meine Definition stützte sich auf wiki, die sich auf Müller berufen ( www.spektrum.de/astrowissen/lexdt_g04.html#grrad ) naja ...., Cosmos schreibt von wiki ab, mal sehen ob ich noch eine zuverlässige Quelle finde.
Hier ist es auch so rs=2rG
astrophysicsformulas.com/astronomy-formu...ravitational-radius/
aber sonst wird beides meist gleich verwendet

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Schwarzschildradius 30 Apr 2019 23:52 #51441

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@rai-raisch:

Bisher war ich der Meinung, dass Schwarzschilds Stetigkeitsargument durch die Einstein-Gleichung begründet wären.
Aber es ist wohl so, dass der Einsteintensor zur Scharzschildmetrik identisch gleich Null ist, insbesondere auch an den divergenten
Stellen der Metrik. Insofern stehen Schwarzschilds Stetigkeitsargumente ja schon auf wackeligen Beinen.
Aber ich denke, dass die ART als solche überhaupt zu allgemein ist; ein Gödel-Universum, in dem Zeitreisen möglich wären, ist ja auch eine Lösung der
Einstein-Gleichung, obwohl das tatsächliche Universum völlig anders ist. Letztlich, sind nur solche Raumzeiten physikalisch sinnvoll,
die aus dem Minkowski-Raum durch "Verbiegen" entstehen, und somit bleibe ich bei meiner Meinung.

Mir gefällt die Vorstellung, dass kleine schwere Objekte aufgrund der Raumkrümmung relativ groß erscheinen,
so dass sich der Ereignishorizont, sofern überhaupt einer vorhanden ist, an der Oberfläche der Materie befindet, und das "Loch"
nur ein Artefakt der umfangtreuen Koordinaten ist.

An transzendente Horizonte, die mitten im Vakuum schweben, glaube ich genauso wenig wie an Gespenster.

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Schwarzschildradius 01 Mai 2019 00:38 #51444

bro schrieb: Mir gefällt die Vorstellung, dass kleine schwere Objekte aufgrund der Raumkrümmung relativ groß erscheinen,

Es ist genau anders herum:
Die Kontraktion ist das, was nach außen wirkt, die (radialen) Eigenlängen sind viel länger. s=σ·L
Von Innen gesehen sind aber Objekte weiter draußen größer als ihre Eigenmaße.

bro schrieb: Aber ich denke, dass die ART als solche überhaupt zu allgemein ist; ein Gödel-Universum, in dem Zeitreisen möglich wären, ist ja auch eine Lösung der
Einstein-Gleichung, obwohl das tatsächliche Universum völlig anders ist.

Für die korrekten Randbedingungen ist immer noch der Physiker verantwortlich. Mit den üblichen Gleichungen zB t=s/v könnte man auch die Zeit rückwärts laufen lassen. Für unsinnige Anwendungen sind die Gleichungen nicht verantwortlich. Sie geben dann die korrekte Antwort auf die falsche Frage.

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Schwarzschildradius 01 Mai 2019 13:42 #51464

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ra-raisch schrieb:

bro schrieb: Aber ich denke, dass die ART als solche überhaupt zu allgemein ist; ein Gödel-Universum, in dem Zeitreisen möglich wären,
ist ja auch eine Lösung der Einstein-Gleichung, obwohl das tatsächliche Universum völlig anders ist.

Für die korrekten Randbedingungen ist immer noch der Physiker verantwortlich. Mit den üblichen Gleichungen zB t=s/v könnte man auch die Zeit rückwärts laufen lassen. Für unsinnige Anwendungen sind die Gleichungen nicht verantwortlich. Sie geben dann die korrekte Antwort auf die falsche Frage.

Wikki zum Gödel-Universum:
"Es beschreibt ein rotierendes, geschlossenes, stationäres, homogenes Universum mit negativer kosmologischer Konstante und zeichnet sich dadurch aus, dass in ihm Zeitreisen möglich sind, das heißt es gibt geschlossene zeitartige Geodätische zu jedem Ereignispunkt. Da damit auch Zeitreiseparadoxien verbunden sind, zeigt das Modell, dass für deren Vermeidung weitere Prinzipien über die ART hinaus notwendig sind]."

Ich kenne auch eine falsche Frage: Was ist bei R<rs?

ra-raisch schrieb: Es ist genau anders herum:
Die Kontraktion ist das, was nach außen wirkt, die (radialen) Eigenlängen sind viel länger. s=σ·L
Von Innen gesehen sind aber Objekte weiter draußen größer als ihre Eigenmaße.

Das mag so sein, aber ich habe ja etwas ganz anderes gemeint:

Bei Schwarzschild gibt es neben den umfanggetreuen Radius(R), noch den kartesischen Radius(r). Ein Punkt mit
kartesischem Radius~0 bekommt physikalischen Umfang 2πrs.
Das folgt aus R³=(r³+rs³) ( wenn Du willst, dann schreibe ich die Formel noch tausendmal).
Bei Schwarzschild ist der umfanggetreue Radius R immer größer rs, so dass scheinbare Löcher (in umfanggetreuen,
aber nicht in kartesischen Koordinaten) entstehen, wenn Objekte gleichzeitig klein(kartesischer Radius) und schwer sind.
Wendet man auf die Schwarzschildmetrik eine Koordinatentransformation
r->(R³-rs³)1/3 an, so wird der Ereignishorizont punktförmig (in kartesischen Koordinaten). Und im Rahmen
kovarianter Formalismen sind ja beliebige Koordinatentransformationen erlaubt.

Ich denke, dass Schwarzschild die Dinge deutlich anders gesehen hat, als moderne Relativisten.
Er scheint davon ausgegangen zu sein, dass der Raum im wesentlichen ein euklidischer Raum ist, der durch Gravitation
eine zusätzliche Metrik bekommt; zumindest beginnt er mit Koordinaten x,y,z, und definiert r mit r² = x² + y² + z².

Letztendlich gibt es für ein und denselben mathematischen Formalismus verschiedene Interpretationen;
für die ART gibt es z.B. auch eine Äther-Interpretation, die wohl gut funktioniert, sofern die Verhältnisse nicht pathologisch sind,
und in der es auch euklidische Koordinaten gibt. (siehe Ilja Schmelzer, der hat auch für dieses Forum Beiträge verfasst).
Ich will jetzt zwar nicht behaupten, dass es einen Äther gibt. Aber von experimenteller Seite sieht es nun mal so aus, dass das Universum flach ist,
und man keine Wurmlöcher oder ähnliches entdeckt hat. Insofern kann man die Äther-Interpretation auch nicht ausschließen.
Letztendlich ist es so, dass das Äquivalenz-Prinzip, die Möglichkeiten wie die Raumzeit aussehen kann, einschränkt, aber bei weitem nicht
eindeutig festlegt. Die Ansicht, dass alles, was die Einstein'schen Feldgleichung erfüllt, auch real sein kann, entbehrt jeglicher Grundlage.

Zitate:
Einstein: "Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr."
Einstein: "Die Mathematik handelt ausschließlich von den Beziehungen der Begriffe zueinander ohne Rücksicht auf deren Bezug zur Erfahrung."
Unbekannt: "Je mehr Käse, desto mehr Löcher. Je mehr Löcher, desto weniger Käse. Ergo: Je mehr Käse, desto weniger Käse."

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Schwarzschildradius 02 Mai 2019 01:03 #51497

bro schrieb: Ein Punkt mit kartesischem Radius~0 bekommt physikalischen Umfang 2πrs.

Die Projektion in den kartesischen Raum ist in der Schwarzschildmetrik normalerweise umfanggetreu, der kartesische Radius ist dann gleich dem Koordinatenradius r=U/2/π (in Schwarzschilds Papier wird statt einem kleinen r ein großes R verwendet, dort ist der Umfang U=2πR, siehe Formel 14). Dass er den Horizont im System des Koordinatenbuchhalters künstlich auf das bei ihm kleingeschriebene r=0 verschoben hat kam von seiner falschen Annahme dass dieser nur im Nullpunkt liegen könne, was sich im weiteren Verlauf aber als falsch herausgestellt hat, weshalb heute niemand mehr die erste Version seiner Koordinaten verwendet. Die drei wichtigsten Koordinatensysteme die man heute verwendet sind die aus Beitrag #51358, die Koordinaten aus dem von dir zitierten PDF können nix. Das was er aufgrund seiner Falschannahme als Hilfsgröße R bezeichnet hat ist heute der kartesische Koordinatenradius r, und das was bei ihm das kleine r war war die eigentliche Hilfsgröße die er nur dazu brauchte trotz seiner Falschannahme zu einer Lösung zu kommen, diesen Parameter braucht man heute gar nicht mehr (außer vielleicht als anschauliches historisches Beispiel dafür wie man sich emporirren kann). Wenn man diese Koordinaten und seine Notation verwendet befindet sich die eigentliche Singularität bei der die Weltlinie eines Hineinfallenden endet bei R=0, also einem negativen r auf r=-rs. Der Umfang dort ist ebenfalls 0.

Dagegen,

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Schwarzschildradius 02 Mai 2019 09:27 #51499

bro schrieb: Ein Punkt mit
kartesischem Radius~0 bekommt physikalischen Umfang 2πrs.
...
zumindest beginnt er mit Koordinaten x,y,z, und definiert r mit r² = x² + y² + z².

"kartesisch" bedeutet nur "rechtwinklig". In einer gekrümmten Welt ist dies aber nicht eindeutig definiert. Es gibt keine lokalen kartesischen Koordinaten, wie sie Schwarzschild postulieren wollte. Nur für den Koordinatenbeobachter in der flachen Raumzeit gibt es kartesische Koordinaten.

Wenn Du von "kartesischem Radius" sprichst, setzt dies kartesische Koordinaten x,y,z voraus. Diese gibt es nur aus Sicht des Koordinatenbeobachters. Dann ist r=U/2π, das SL hat einen Durchmesser d=2r.

Allein mit diesen Angaben kann man nicht feststellen, wie sich die Krümmung verhält. Schwarzschild hat aber korrekt berechnet, dass sich mit diesem r (sein "R") ein Faktor σ=²(1-rs/r) ergibt. Sein "r" ist hingegen zu nichts nutze. Was im Inneren von rs passiert, ist vorerst völlig ungeklärt. Der Faktor σ wird imaginär. Es gibt jedoch ganz andere Parametrisierungen, die zu realen Lösungen führen. Schwarzschilds "r" ist dazu ungeeignet, da dies auf einer falschen Annahme beruht.

Man könnte natürlich aus dem imaginären Faktor schließen, dass es in eine andere Dimension geht. Dies gilt für die Zeit und für die radiale Richtung. Ob sie nun Platz tauschen oder insgesamt zwei neue Dimensionen angenommen werden, oder eben mit ²(rs/r-1) oder gar mit -²(rs/r-1) zu rechnen ist, oder ²(1-r/rs), es im Inneren gar nicht weitergeht, oder ganz anders, werden wir wohl nie feststellen.

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Schwarzschildradius 04 Mai 2019 02:15 #51559

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Yukterez schrieb: Dass er den Horizont im System des Koordinatenbuchhalters künstlich auf das bei ihm kleingeschriebene r=0 verschoben hat kam von seiner falschen Annahme dass dieser nur im Nullpunkt liegen könne

Ich war ja auch von Anfang an der Ansicht, dass Schwarzschilds Werk nicht zu modernen Darstellungen passt.
Es freut mich, dass jetzt zumindest in dieser Hinsicht Einigkeit herrscht.

Es ist nicht so, dass Schwarzschild künstlich irgendwas verschoben hat, er wählte seine
Integrationskonstanten so, dass eine stetige Metrik herauskam. Und seine Koordinaten x,y,z, bzw. r
sind auch nicht unnütz; die hat er dazu verwendet um erstmal seine "Materieverteilung" im Raum zu beschreiben.
Seine Lösung hängt letztlich von R=(r³+ρ)1/3 (ρ ist Integrationskonstante) ab, ρ=rs³ ergibt eine für r>0 stetige Metrik, und
ρ=0 ergibt das, was Euch so gut gefällt: R=r.

ρ=0, R=r würde mich überzeugen, wenn die 00-Komponente des Einsteintensor bei R=0 so etwas wie eine Deltadistribution wäre.

Irgendwie habe ich jetzt aber den Verdacht, dass das Problem noch viel tiefgreifender ist.
Denn der Einsteintensor für die Schwarzschildmetrik scheint identisch gleich Null zu sein, insbesondere auch bei R=0.
Und das würde ja bedeuten, dass diese Metrik gar nicht zu einer Massen-Singularität gehört, sondern zu einem Kugel-symmetrischen
Universum, das ganz ohne Materie auskommt. Insofern frage ich mich, ob es im Rahmen der ART überhaupt singuläre Energiedichten geben
darf.

Und dann gibt es ja noch die Metrik für die ideale Flüssigkeit, und da gibt es schon wieder so eine Formel R=(r³+ρ)1/3.

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