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THEMA: Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse?

Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 20 02. 2020 09:51 #65509

(letzten Post ergänzt)

ra-raisch schrieb: [Während der Raum im Zentrum einer Masse flach ist (Minimum wie bei σ=1), ist die Zeit dort ein Extremwert (lokales Minimum σ<<1)
helmut-wk schrieb: Nun ja, mit der Aussage, dass der Raum im Mittelpunkt der Erde nicht gekrümmt ist, lag ich richtig. Das hatte ich aus Gravitationsbeschleunigung=0 gefolgert.

Worüber reden wir hier? Die Krümmung der Raum-Zeit
Spricht, die Krümmung der Raumkomponente(n) mag gegen 0 gehen, die Krümmung der Zeitkomponente tut das nicht.
Das passt (mindestens qualitativ) auch zur "Kugelhaube" der Schwarzschildmetrik - positive Krümmung

Vieleicht hilft auch scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011...it-krummt-teil-vi/3/ zum Verständnis
Oder scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011...mzeit-krummt-teil-v/

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 20 02. 2020 13:45 #65511

Merilix schrieb: Die Krümmung der Raumzeit für eine gegebene Masse ist unabhängig von den Eigenschaften eines Probekörpers der sich entlang einer Geodäten bewegt.
Die Geodäte des Probekörpers hängt jedoch sehr wesentlich auch von seiner Geschwindigkeit ab.

Somit haben Körper mit unterscjhiedlicher Geschwindigkeit auch unterschiedliche Geodäten. Und verschiedene Geodäten können unterschiedlich gekrümmt sein. Und wenn du die Geodäte anschaust und nicht deren Projektion in den Raum (unter Absehung der Zeit), die natürlich keine Geodäte ist, dann ist die Krümmung verschiedener Geodäten an einem (Schnitt-)Punkt ähnlicher als du offenbar denkst.

Geschwindigkeit ist eine Eigenschaft der Geodäte, genauso wie die Richtung, in die ein Körper sich fliegt. Bei unterschiedlich Richtung sind die Raumkoordinaten verschieden, bei unterschiedlicher Geschwindigkeit auch die Zeitkoordinaten. Wenn du die Geschwindigkeit zur "Eigenschaft des Probekörpers" erklärst, musst du das auch für die Richtung tun, in die der Körper sich bewegt.

Die Geodäte ist von Eigenschaften des Probekörpers unabhängig, genau das sagt ja die "Gleichheit von schwerer und träger Masse" in Newtonscher Mechanik aus.

Merilix schrieb: Die Geodäte gibt die Krümmung nicht ansatzweise wieder.


Also das ist mir jetzt zu viel Begriffsverwirrung (bis jetzt bin ich auf deine Ausdrucksweise eingegangen):

Wir haben zwei Theorien, Newton und ART.

In ART haben wir einen gekrümmten Raum und eine Geodäte. Der Raum ist gekrümmt, die Geodäte nicht (außer du bettest den gekrümmten Raum in einen höherdimensionalen euklidische Raum ein, dann kann man von einer Krümmung der Geodäte sprechen, die auch von der Art der Einbetung abhängt).

Bei Newton haben wir einen euklidischen Raum und eine gekrümmte Bahnkurve. Wobei, um das einigermaßen vergleichbar zu machen, die Krümmung natürlich in einem 4-Dimensionalen Raum-Zeit-Kontinuum gemessen werden muss.

Schon daraus folgt, dass die eine Krümmung nicht die andere abbildet, hab ich auch nicht behauptet. Aber zwischen der Stärke der beiden Krümmungen gibt es eine Zusammenhang, nämlich die "Stärke der Gravitation" an verschiedene Orten. Weil ART und Newtonsche Gravitation das gleiche Phänomen (Gravitation) beschreiben.

Merilix schrieb: "Ein Minimum kann auch vorliegen, wo keine Krümmung herrscht. Die Funktion
y=0 für x=0
y=exp(-1/x²) sonst"

Das Beispiel ist natürlich aus der mathematischen Trickkiste herbeigzauberter Unsinn.


Natürlich habe ich "getrickst". Aber wieso Unsinn? Wer oder was sagt dir, dass im Mittelpunkt der Erde nicht ein ähnlicher Fall (natürlich mit einer anderen Funktion) vorliegt: Minimum der Zeit (Maximum der Zeitdilatation), aber Zeit ungekrümmt?

Laut ra-raisch ist der Raum im Zentrum des Körpers nicht gekrümmt. Und daraus ergibt sich die Frage, wie die Zeit gekrümmt sein kann, wenn der Raum nicht gekrümmt ist?

Ein ebenes Blatt Papier wär ein Beispiel für eine ungekrümmte Fläche. Wenn ich jetzt nur eine Dimension dieser Fläche im Raum krümme, ist das Blatt Papier "Gewellt", z,B. indem ich es an den Rändern fasse und sie zusammenschiebe, so dass es sich (z.B. nach oben) krümmt. Aber damit ist es immer noch ein ungestauchtes Papier, die Winkelsumme eines auf dem Papier gezeichneten ist immer noch 180° etc. Die Krümmung ist nur eine Funktion der Einbettung, aber an sich ist das Papier eine ungekrümmte Ebene. und ich denke nicht, dass zwei zusätzliche ungekrümmte Dimensionen was daran ändern: nur eine gekrümmte Dimension (und alle anderen ungekrümmt) ist keine echte Krümmung.

Wie es in dem verlinkten Blog (in etwas anderem Zusammenhang) hieß:

Das ist natürlich gleich mehrfach unsinnig: Die dritte Dimension in diesem Gummituchbild hat ja keine physikalische Bedeutung.


Die Krümmung ergibt sich daraus, dass die gekrümmte Fläche eben nicht einfach eben gemacht werden kann, ohne die Fläche zu verzerren. Und damit muss mehr als eine Dimension gekrümmt sein.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 20 02. 2020 15:11 #65517

helmut-wk schrieb: Diese Aussage kommt mir vor wie "die x-Koordinate ist gekrümmt, die y-Koordinate nicht".

Tatsächlich ist es so, dass der Raum nur trichterförmig um ein Gravizentrum gekrümmt ist. Auf den Kreislinien ist der Raum nicht gekrümmt. Dazu muss man sich zwar kreisförmig bewegen, aber die resultierenden Kreisbewegungen sind dann exakt diese Kreise und eben nicht zusätzlich verkrümmt. Nur die radiale Komponente des Raumes ist gekrümmt. Das hängt übrigens damit zusammen, dass auf diesen Kreislinien jeweils die gleiche Zeit herrscht.

Und im Schwerezentrum sind zwar alle drei Raumdimensionen radial, aber direkt im Zentrum ist der Raum nicht gekrümmt und die Krümmung steigt auch nur ganz langsam an, und zwar dann nur noch radial, je weiter man sich vom Zentrum entfernt.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 20 02. 2020 18:11 #65530

@helmut-wk

Ich zitiere mich:

Merilix schrieb: Worüber reden wir hier? Die Krümmung der Raum-Zeit

Den Unterschied zwischen Raum und Raum-Zeit wirst du kennen.

Das du ausgerechnet diesen einen Satz zum "Gummituchmodell" aus dem Blog zitierst wundert mich eigentlich nicht.
Aber bitte, nicht auf diesem Niveau argumentieren. Ich unterstelle dir auch den Rest des Blogs gelesen zu haben...

Martin Bäcker schrieb: Hier noch einmal ein Bild “von der Seite”, bei dem man den positiv (wie eine Kugel) gekrümmten Bereich im Zentrum besser sieht:


Deine bisherigen Äußerungen lassen sehr stark vermuten das du die Krümmung der Geodäten mit der Krümmung des Raumes gleichsetzt und dabei auch die Rolle der Zeitdimension übersiehst. Das dies so nicht der Fall ist versuche ich dir irgendwie näherzubringen.



Ergänzung
Karl Schwarzschild, 1916, "Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie"
de.wikisource.org/wiki/Gravitationsfeld_...ler_Fl%C3%BCssigkeit

Interessant für uns ist § 7.

...Im Innern unsrer Kugel herrscht also die Geometrie des sphärischen Raumes. Der Krümmungsradius des sphärischen Raumes wird \({\displaystyle {\sqrt {\frac {3}{\varkappa \rho _{0}}}}} \).
...
Für die Sonne würde der Krümmungsradius des sphärischen Raumes, der die Geometrie in ihrem Innern beherrscht, rund das 500fache des Sonnenradius.

Das heist auch: der Krümmungsradius hängt nur von der (konstanten) Dichte \(\rho_0\) ab?


@ra-raisch, Was heist denn hier "nur radial"? Das ist zwar nur eine Koordinate von Dreien aber das sind Polarkoordinaten.
@helmut-wk, bitte nicht aus Rainers richtige Bemerkung den Schluss ziehen es handelt sich nur um das Äquivalent eines gewellten aber intrinsisch flachen Stück Papiers. Das ist sicher so nicht richtig.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 21 02. 2020 06:57 #65551

Merilix schrieb: Deine bisherigen Äußerungen lassen sehr stark vermuten das du die Krümmung der Geodäten mit der Krümmung des Raumes gleichsetzt

Genau den Eindruck hatte ich zuletzt von euch. ;)

Das sind mir jetzt zu viele Missverständnisse, so wichtig ist mir die Sache nicht, ich lasse es auf sich beruhen.
Ich nehme an, die Missverständnisse kommen in erster Linie daher, dass ich mich nicht genug auskenne, um immer die richtigen Begriffe zu benutzen. Und 100%-ig richtig lag ich wohl auch nicht ...

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 21 02. 2020 12:08 #65556

Merilix schrieb: @ra-raisch, Was heist denn hier "nur radial"? Das ist zwar nur eine Koordinate von Dreien aber das sind Polarkoordinaten.

Das heißt, dass nur die radiale Richtung im Gravitationstrichter räumlich gedehnt wird. Tangentiale Längen (bzw Kreisbögen) sind hingegen überall (aus Sicht aller Beobachter) gleich.

Um das klarzustellen:
Aus Sicht eines lokalen Beobachters dehnt sich nichts und kontrahiert nichts. Allerdings stellt jeder Beobachter fest, dass aus seiner Sicht radiale Längen weiter innen (also im tieferen Potential) gegenüber seiner Messung gedehnt sind und weiter außen (im höheren Potential) kontrahiert sind. Dadurch werden weiter innen (Δr<0) befindliche Objekte kontrahiert und weiter außen (Δr>0) befindliche gedehnt gemessen.
d.r = ²(1-rs/(r+Δr))d.r'/²(1-rs/r)
\(d.r = d.r' \frac{\sqrt{1-\tfrac{rs}{r+Δr}}}{\sqrt{1-\tfrac{rs}{r}}}\)
d.r ist die aus der Ferne (von r aus) gemessene radiale Länge am Ort (r+Δr)
d.r' ist die lokal (von (r+Δr) aus) gemessene radiale Länge am Ort (r+Δr)

ℓ = ²(1-rs/(r+Δr))L/²(1-rs/r)
ℓ ist die aus der Ferne gemessene (radiale) Länge
L ist die (radiale) Eigenlänge

"radial" betrifft die Orientierung der beobachteten Länge und nicht die Beobachtungsrichtung. Alle Beobachter sind sich also einig, was länger und was kürzer ist.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 21 02. 2020 20:20 #65579

Rainer, Ich weis das in üblichen Schwarzschildkoordinaten sich Längen nur in radialer Richtung dehnen. Meine "Frage" war ja eher rhetorisch gemeint um darauf hinzuweisen das die Krümmung da nicht nur eindimensional wie bei einem gewellten Stück Papier ist. Mit Polarkoordinaten hat man es ja schonmal mit einen gekrümmten Koordinatensystem zu tun.

"Tangentiale Längen (bzw Kreisbögen) sind hingegen überall (aus Sicht aller Beobachter) gleich."
Wie gesagt, ich weis das. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher ob das nicht nur dem meist gewählten Koordinatensystem geschuldet, also Konvention ist.
Prinzipiell könnte man das Koordinatensystem auch so wählen das radiale Abstände konstant sind 1). Dann wären es -- bei gleicher Physik! -- die tangentialen Abstände nicht mehr; sie wären weiter Innen verkürzt. Ich denke das Entscheidende ist eigentlich nur das Umfang und Radius nicht mehr im Verhältnis 2π zueinander stehen.

Was die EInigkeit über die Längen angeht setzt das ja voraus das sie sich schon über Δr einig sind...

1) Wäre das vieleicht sogar aus Sicht eines auf der Oberfläche eines Himmelskörpers stehenden Beobachters sogar ein sinnvolles KS? Naja, müssen wir jetzt nicht unbedingt weiter vertiefen.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 21 02. 2020 21:32 #65583

Merilix schrieb: Ich weis

Der Hinweis war nicht an Dich adressiert, auch an niemand sonst direkt.

Merilix schrieb: "Tangentiale Längen (bzw Kreisbögen) sind hingegen überall (aus Sicht aller Beobachter) gleich."
Wie gesagt, ich weis das. Allerdings bin ich mir nicht ganz sicher ob das nicht nur dem meist gewählten Koordinatensystem geschuldet, also Konvention ist.

Oh nein. Wenn Du radial Deine Position veränderst und Deine Maßstäbe dabei hast, wirst Du überall den Umfang gleich messen, aus der Ferne den selben Wert wie vor Ort.
Das "r" in der Schwarzschildmetrik ist dieser Wert U/2π. Das erkennt man sofort aus dem Term für die Sphäre r²d.Ω²

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 22 02. 2020 09:03 #65591

ra-raisch schrieb: Das "r" in der Schwarzschildmetrik ist dieser Wert U/2π.

Das denke ich ist die Konvention. Aus mehreren Gründen ist sie sehr praktisch.

Der Umfang (in Winkelgrad) ist erstmal nur 2π. Das ergibt sich einfach aus der Kugelsymmetrie.
Ob man für die tatsächliche Längen ein gemessenes r einsetzt und ein U ausrechnet oder ein gemessenes U einsetzt und ein r ausrechnen will bestimmt letztlich die Richtung der Transformation.
...
Frage: erscheinen Orbits um massive Objekte aus der Ferne betrachtet irgendwie gegenüber ihrer Eigenlänge verengt oder erweitert (Stichwort Gravitationslinse)?

Anderer Aspekt: Wer verbietet mir für Δr die (Eigen)Länge des Seils eines Weltraumlifts einzusetzen? Damit müsste man die Transformation umdrehen um den Umfang zu bekommen.

(Als Erklärung: Ich versuche mich mit solchen Überlegungen vom Denken in fixen Koordinatensystemen zu lösen und das ist nicht immer einfach ;)

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 22 02. 2020 15:54 #65603

Merilix schrieb: Wer verbietet mir für Δr die (Eigen)Länge des Seils eines Weltraumlifts einzusetzen?

Die Symbole sind frei benennbar und ebenso ist das Bezugssystem frei wählbar.

Es wird sich aber nichts daran ändern, dass jeder Beobachter den gleichen Umfang misst.

Wie gesagt ergibt sich dies aus der Schwarzschildmetrik. Die Sphäre Ω ist nicht verzerrt, egal welches r man einsetzt. Natürlich könnte dies an einem verzerrten r liegen. Doch ist es eben für alle r und alle dr gleich.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 22 02. 2020 20:46 #65611

Rainer, ich denke wir reden ein wenig aneinander vorbei.
ra-raisch schrieb: Die Sphäre Ω ist nicht verzerrt, egal welches r man einsetzt.

Wie sollte sie auch verrzerrt im Sinne von verzerrt also nicht mehr streng sphärisch sein? Das ist trivial.

r = 2π/U ist eine sinnvolle Konvention, DAS war meine Aussage. Kein Wort von Verzerrung.
Das das hier verwendete r streng an ein ganz bestimmtes Koordinatensystem geknüpft ist sollte auch unstrittig sein. Allgemein müsste da etwas wie r'=2πf/U stehen mit f als Transformationsfunktion.
ra-raisch schrieb: Es wird sich aber nichts daran ändern, dass jeder Beobachter den gleichen Umfang misst.

Wirklich? Ich fragte unter anderem nach Gravitationslinseneffekt. Spielt der nun eine Rolle bei einer (indirekten) Messung aus der Ferne oder nicht? Falls ich das übersehen habe entschuldige ich mich. Entspricht der so "gemessene" Umfang dem den ein Beobachter im fraglichen Orbit misst wenn er ein Maßband auslegt?
Wenn das zutrift unterstreicht das die Sinnhaftigkeit der Konvention.

Zusatz: das Wort "Konvention" soll keineswegs irgendwie abwertend verstanden werden. Das in der Schwarzschildmetrik verwendete KS selbst ist in dem Sinne eine Konvention. Konvention soll nicht mit Vereinfachung verwechselt werden.

Im wesentlichen will ich eigentlich darauf hinaus das keine der vier Dimensionen isoliert von den anderen betrachtet werden kann. Selbst eine Trennung zwischen Spatial-Dimensionen und Zeit halte ich für würdig hinterfragt zu werden (dort liegen oft auch die meisten Schwirigkeiten der Imagination begraben).
Die Aussage "Die Krümmung ist nur radial, tangential ist der Raum nicht gekrümmt" erscheint mir irgendwie sinnlos. Nicht zuletzt weil die Sphäre selbst intrinsisch gekrümmt ist.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 22 02. 2020 20:55 #65612

Merilix schrieb: Rainer, ich denke wir reden ein wenig aneinander vorbei.

ra-raisch schrieb: Die Sphäre Ω ist nicht verzerrt, egal welches r man einsetzt.

Wie sollte sie auch verrzerrt im Sinne von verzerrt also nicht mehr streng sphärisch sein? Das ist trivial.

r = 2π/U ist eine sinnvolle Konvention, DAS war meine Aussage. Kein Wort von Verzerrung.

Nein, so habe ich das nicht gemeint. Sondern alle Sphären sind bei allen r gleich skaliert, also nicht gegeneinander verzerrt.

"r" ist zunächst nur irgend ein Parameter. Aber in Verbindung mit den Sphären ist es r=U/2π also der übliche Radius, wenn nicht ausgerechnet der Radius verzerrt wäre. Somit ist es der Koordinatenradius für den Beobachter, bei dem der Radius nicht verzerrt ist (dr²/σ²) also bei σ=1 also bei r→∞. Aber selbst wenn r keine sinnvolle physikalische Größe wäre, ist es wegen des Terms r²dΩ² auf jeden Fall r=U/2π, und zwar für alle Beobachter jeweils das gleiche r, egal welches r betrachtet wird.

Davon abgesehen ist natürlich die gesamte Metrik verzerrt, weil sie eben radial gekrümmt ist, aber, darum ging es gerade, nur radial verzerrt. Das ist ähnlich wie bei der SRT, wo die Verzerrung auch nur in Bewegungsrichtung stattfindet, hier bei der ART ist es jetzt die Beschleunigungsrichtung.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 22 02. 2020 22:12 #65613

... Ist es wegen des Terms r²dΩ² auf jeden Fall r=U/2π, und zwar für alle Beobachter jeweils das gleiche r, egal welches r betrachtet wird.

Irgendwie erscheint mir das wie ein Zirkelschluss.
Das wäre ja seltsam und Hinweis auf einen fatalen Rechenfehler wenn etwas anderes herauskommen würde. So sind die Schwarzschildkoordinaten ja definiert.
Das "für jeden Beobachter" muss ich dennoch noch einmal explizit hinterfragen.

Ich mache also mit einem Teleskop ein hoch aufgelöstes Bild von einem Neutronenstern mit einem Begleiter in einem engen Orbit.
Ich kann auf dem Bild mit dem Lineal einen Radius und den Umfang des Orbits messen.
Ich kenne die Entfernung genau und kann mit einfacher Trigonometrie die Länge des Umfangs berechnen.

Ist die so berechnete Länge gleich der die ein Beobachter auf dem Begleiter vor Ort messen würde?


Davon abgesehen ist natürlich die gesamte Metrik verzerrt, weil sie eben radial gekrümmt ist, aber, darum ging es gerade, nur radial verzerrt.

Die Raumzeit ist natürlich in alle Richtungen gekrümmt. Das ergibt sich aus der Metrik bzw. dem Flammschen Parabolid das diese veranschaulicht. Die Krümmung ist negativ. Das heist, sie geht radial in eine andere Richtung als tangential. Sie kann tangential nicht 0 sein, sonst hätten wir ein intrinsisch flaches Gebilde bei dem sich die Krümmung einfach wegtransformieren liese.
Die Krümmung ist ganz analog der Innenseite eines Torus. Der hat genau zwei Breitenkreise wo die Krümmung K=0 wird, Oben bei π/2 und Unten bei π3/2 (vom erzeugenden Kreis). Außen ist die Krümmung positiv ähnlich wie bei einem Ellipsoid, Innen negativ wie bei einem Sattel.
In der Schwarzschildmetrik läge die Entsprechung der K=0 Breitenkreise im unendlichen. (natürlich nur wenn das das einzige Objekt im Universum wäre)

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 23 02. 2020 00:21 #65616

Jetzt habt ihr den Helmut-wk gänzlich abgehängt, und aufgefallen scheint euch das auch nicht zu sein.

Und verstehen kann ich euere Konversation und deren Inhalte langsam auch nicht mehr.

Es ging doch um die raumzeitliche Krümmung im Zentrum eines massebehafteten Himmelskörpers, und um den Vergleich zwischen der newtonschen Beschreibung und der einsteinschen Beschreibung.

Also zurück zum Kern der Fragestellung!

Thomas

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 23 02. 2020 01:46 #65617

Thomas schrieb: Jetzt habt ihr den Helmut-wk gänzlich abgehängt, und aufgefallen scheint euch das auch nicht zu sein.


Na, nach meinem letzten Beitrag hier werden sie es schon bemerkt haben ;)

Aber ich lese noch mit, völlig abgehängt bin ich nicht. Und den Satz von Merilix...

Im wesentlichen will ich eigentlich darauf hinaus das keine der vier Dimensionen isoliert von den anderen betrachtet werden kann.

... kann ich auch nur unterstreichen, meine Frage, wie der Raum flach und die Zeit gekrümmt sein kann, bezog sich ja genau darauf.

Im Übrigen habe ich jetzt andere Sorgen. Hat nix mit UWL zu tun.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 23 02. 2020 13:44 #65635

Merilix schrieb: Ist die so berechnete Länge gleich der die ein Beobachter auf dem Begleiter vor Ort messen würde?

Korrekt.

Merilix schrieb: Sie kann tangential nicht 0 sein, sonst hätten wir ein intrinsisch flaches Gebilde bei dem sich die Krümmung einfach wegtransformieren liese.

Irgendwo muss sie immer "flach" sein, wenn sie auf einer Seite nach oben und auf der anderen Seite nach unten geht, wie an einem Berghang.
Nur an einem Extrempunkt kann sie in allen Richtungen gekrümmt sein.

helmut-wk schrieb:

Im wesentlichen will ich eigentlich darauf hinaus das keine der vier Dimensionen isoliert von den anderen betrachtet werden kann.

... kann ich auch nur unterstreichen, meine Frage, wie der Raum flach und die Zeit gekrümmt sein kann, bezog sich ja genau darauf.

Natürlich kann man jede Dimension isoliert betrachten. Das Linienelement (ds²=c²dt²σ²-dr²/σ²-r²dΩ²) ist ein Beispiel dafür, es berechnet die Entfernung zwischen zwei Koordinaten, also eindimensional. Wenn diese beiden Punkte nun in 3 Dimensionen der Metrik übereinstimmen (dt=0 und dΩ=0), wird eben auch nur eine der Dimensionen der Metrik für die Berechnung der Länge benötigt.

Thomas schrieb: Also zurück zum Kern der Fragestellung!

Ich denke, dass sich nun ein Denkfehler (oder Intuition) bei Merilix herauskristallisiert hat, der Exkurs war also nötig.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 23 02. 2020 21:21 #65659

ra-raisch schrieb: Irgendwo muss sie immer "flach" sein, wenn sie auf einer Seite nach oben und auf der anderen Seite nach unten geht, wie an einem Berghang.
Nur an einem Extrempunkt kann sie in allen Richtungen gekrümmt sein.

Der erste Satz trifft auf den Übergang zwischen Innerer Lösung und äußerer Lösung zu, da wo das Flammsche Parabolid in die Kugelhaube übergeht. Bei welchen Radius genau das ist weis ich jetzt nicht mit Sicherheit. (die Kugel hat ja bekanntlich eine konstante Krümmung die vom Krümmungsradius abhängt)

Den zweiten Satz meinst du jetzt nicht ernst oder?
Ich verweise mal auf Seite 7-8 dieser Arbeit über die Krümmungseigenschaften des Torus: www.uni-math.gwdg.de/schick/teach/Kurven...laechen/GaussAbb.pdf
Rainer, du glaubst doch nicht ernsthaft das man die Krümmung entlang der Breitenkreise einfach dadurch wegbekommt das man Polarkoordinaten einführt.
ra-raisch schrieb: Ich denke, dass sich nun ein Denkfehler (oder Intuition) bei Merilix herauskristallisiert hat, der Exkurs war also nötig.

Das denke ich nicht. Ich denk wir reden beide von verschiedenen Dingen und aneinander vorbei.

PS: Eigentlich behandeln wir sogar zwei verschiedne Themen paralel: a) r=U/2π Konvention Ja/Nein und b) Raum und Zeit Krümmung in der Schwarzschildmetrik und die Interpretation was Krümmung ist.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 23 02. 2020 21:40 #65660

Merilix schrieb: Der erste Satz trifft auf den Übergang zwischen Innerer Lösung und äußerer Lösung zu, da wo das Flammsche Parabolid in die Kugelhaube übergeht.

Das Flammsche Paraboloid betrifft ein SL, die Kugelhaube im Inneren von rs ist eher symbolisch. Man kann es natürlich weiter oben abschneiden und die innere Lösung einfügen.

Merilix schrieb: Rainer, du glaubst doch nicht ernsthaft das man die Krümmung entlang der Breitenkreise einfach dadurch wegbekommt das man Polarkoordinaten einführt.

Absolut nicht.
Eine Kugeloberfläche ist überall gekrümmt, das Potential ist dort an allen Punkten gleich ∇Φ=0. Die Krümmung ist aber (auch) extrinsisch. Das kannst Du aber doch nicht ernsthaft mit dem Gravitationstrichter vergleichen wollen? Dieser ist in die flache Raumzeit eingebettet.

Ich denke, dass es nun zu weit führt, dies hier weiter zu diskutieren. Wie Thomas schon sagte, ist das nicht das Threadthema. Wir können bei Gelegenheit gerne darauf zurückkommen.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 23 02. 2020 23:19 #65666

Sorry Rainer das ich das fortsetze.

Du liegst mit deinem letzten Post leider ziemlich daneben.
a) was den Anwndungsbereich des Flammschen Parabolids angeht,
b) was die Kugelhaube der Inneren Lösung angeht und
c) was deine Interpretation des von mir verwendeten Wortes "Breitenkreis" als Kugel angeht.

zu a) und b) hatte ich die Arbeit von Karl Schwarzschild verlinkt. Unter anderem hätte er nicht von 500 Sonnenradien für den Krümmungsradius der Kugelhaube im Fall der Sonne geschrieben wenn die Lösung dafür nicht zutreffen würde.
Und selbstverständlich beschreibt das Flammsche Parabolid nicht nur Schwarze Löcher sondern die Äußere Schwarzschildmetrik, nur entsprechend flacher.

zu c): Ich meinte selbstverständlich Breitenkreise auf dem Torus. Es ist mir unverständlich wieso du glaubst ich hätte eine Kugel mit dem Gravitationstrichter verglichen.

Vieles von dem was ich schreibe mag zunächst Intuition sein. Aber ich recherchiere recht viel nach um selbst zu überprüfen ob die Substanz hat. Das ist nicht alles aus der Luft gegriffen.

Als Moderator hättest du ggf. die Möglichkeit den Thread ab Post #65583 zu splitten falls Bedarf am weiterdiskutieren besteht.
Dort beginnen mMn die Mißverständnisse und unsere Ansichten auseinanderzulaufen.

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Folgende Benutzer bedankten sich: Thomas

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 24 02. 2020 06:03 #65675

Vielleicht sollte ich doch noch was grundsätzliches zu Krümmungen etc. sagen, in der Hoffnung, dass das mehr klärt als Verwirrung stiftet. Auch wenn jetzt manches was ich schreibe allen klar ist (und noch mehr mindestens einem von euch).

Krümmung im "alltäglichen" Sprachgebrauch bezieht sich darauf, dass ein n-dimensionaler Raum in einem höher-dimensionalen eingebettet ist, und darin gekrümmt ist. also insbesondere ne Fläche in einem 3D-Raum. Nur bei Raumkrümmung etc. in der ART geht es nicht darum, dass ein gekrümmtes 4D-kontinuum in 5 (oder mehr) Dimensionen eingebettet wär, sondern es geht darum, dass die euklidische Geometrie nicht mehr gilt. Wobei statt dem Parallelenaxiom besser die Winkelsumme im Dreieich genommen wird, um die Abweichung von Euklid, also die "innere Krümmung", zu "messen".

Daraus folgt schon mal, dass eindimensionale Gebilde (z.B. Geodäten) nicht in diesem Sinn gekrümmt sein können, denn da gibt es keine Dreiecke, so dass es keinen Unterschied euklidisch/nichteuklidisch geben kann. Ich ärger mich jetzt noch, dass ich mich auf den Ausdruck "Krümmung der Geodäten" eingelassen habe, ohne ihn immer sofort zu korrigieren. Eine Geodäte hat keine innere Krümmung und per Definition auch keine äußere.

Wie das mit der Krümmung im alltäglichen Sprachgebrauch zusammenhängt, erklärt ja
http://scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011/02/18/wie-man-die-raumzeit-krummt-teil-vi/3/ :
Wenn man eine gekrümmte Fläche mit Hilfe eines geeigneten Koordinatengitters mit variabler Stäbchenlänge (verlängert oder verkürzt je nach Metrik) baut, krümmt sich die so entstandene Fläche automatisch. Und wenn wir jetzt einen 5D-Raum zur Verfügung hätten, könnten wir das auch für einen gekrümmten 4D-Raum machen ;)

Für den allgemeinen Fall ist aber nicht garantiert, dass sich immer eine geeignete Krümmung in einem n+1-dimensionmalen Raum finden lässt. Wenn ich das richtig sehe, gilt das schon für einen gleichmäßig (an allen Orten und in alle Richtungen) negativ gekrümmten Raum, die "Sattelbilder" sind nur gute Approximationen.

Aus der Differenz der Winkelsumme eines Dreiecks zu 180° lässt sich ein Krümmungsradius berechnen, und der Grenzwert dieses Radius, wenn die Größe des Dreiecks gegen Null (Alle Seitenlängen 0) geht, ist dann der Krümmungsradius an der entsprechenden Stelle. Der kann natürlich je nach Orientierung des sich verkleiernden Dreieicks unterschiedlich sein, also nicht in allen Richtungen gleich groß.

Daraus ergibt sich, dass zu einer Krümmung immer (mindestens) zwei Dimensionen gehören. Bei einem höherdimensionalen Raum kann es natürlich sein, dass der nicht in allen Dimensionen gekrümmt ist - aber es müssen schon mindestens zwei sein.

Und damit bin ich wieder bei der Frage, die hier noch niemand beantwortet hat: Kann es überhaupt sein, dass im Erdmittelunkt die drei Raumdimensionen flach und die Zeitdimension gekrümmt ist?
Folgende Benutzer bedankten sich: ra-raisch

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 24 02. 2020 10:45 #65677

helmut-wk schrieb:
... Daraus folgt schon mal, dass eindimensionale Gebilde (z.B. Geodäten) nicht in diesem Sinn gekrümmt sein können, ...
...
... Daraus ergibt sich, dass zu einer Krümmung immer (mindestens) zwei Dimensionen gehören.


Eindimensionale Gebilde sind Punkte. Eine Geodäte ist eine Linie, die zwei Punkte miteinander verbindet. Linien sind zweidimensionale Gebilde, mithin ist eine Geodäte nicht ein- , sondern zweidimensional.

Nach dieser Richtigstellung ergibt sich aus den beiden hier zitierten Kommentarausschnitten ein Widerspruch in der Aussage.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 24 02. 2020 12:08 #65682

gaston schrieb: Eindimensionale Gebilde sind Punkte.

Nein. Punkte haben Null Dimensionen. Eine Dimension sind Linien, zwei Flächen etc. Das kannst du dir auch schnell klar machen, wenn du mal schaust, was ein "3D-Drucker" ist ;)
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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 24 02. 2020 12:44 #65683

@ helmut-wk

ich fürchte, Du hast mich überzeugt, auch ohne 3D-Drucker :-)
Danke

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 24 02. 2020 15:16 #65687

helmut-wk schrieb: Und damit bin ich wieder bei der Frage, die hier noch niemand beantwortet hat: Kann es überhaupt sein, dass im Erdmittelunkt die drei Raumdimensionen flach und die Zeitdimension gekrümmt ist?

Wie Du selbst schön ausgeführt hast, benötigt eine Krümmung mehr als einen Punkt.
Daher ist die Frage (für mich) nur so zu verstehen und zu beantworten, wie ich es bereits getan habe, dass die Längenmaße "ungekrümmt" also gleich lang wie in flacher Raumzeit sind. Die Zeit vergeht dort hingegen verlangsamt also "gekrümmt" gegenüber der flachen Raumzeit.

Für die Zeit nimmt diese "Krümmung" also die Zeitverzögerung von dort in alle Richtungen ab, während die Längenkontraktion/Raumdehnung von dort in alle Richtungen zunimmt.

Aber das hatte ich alles schon längst ausgeführt....wir hatten vor längerer Zeit einen ähnlichen Thread.
www.uwudl.de/forum/aktuell/naturwissensc...chwaecher.html#57454
Und wie ich gerade sehe, war Merilix damals auch aktiv vertreten.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 24 02. 2020 23:37 #65717

helmut-wk schrieb: Krümmung im "alltäglichen" Sprachgebrauch bezieht sich darauf, dass ein n-dimensionaler Raum in einem höher-dimensionalen eingebettet ist, und darin gekrümmt ist. also insbesondere ne Fläche in einem 3D-Raum. Nur bei Raumkrümmung etc. in der ART geht es nicht darum, dass ein gekrümmtes 4D-kontinuum in 5 (oder mehr) Dimensionen eingebettet wär, sondern es geht darum, dass die euklidische Geometrie nicht mehr gilt. Wobei statt dem Parallelenaxiom besser die Winkelsumme im Dreieich genommen wird, um die Abweichung von Euklid, also die "innere Krümmung", zu "messen".


Man sollte ggf. noch ergänzen, dass in diesem Sinne auch ein „gekrümmter“ Raum flach sein kann (liest sich irgendwie strange...;)). Das gilt z.B. für die Oberfläche (3-Spähre) eines 4D-Hypertorus. Das kann man nachvollziehen. wenn man bspw. einen Donut aufschneidet, einmal „gerade“ durch beide Ringe. Die Oberfläche kann man dann so aufwickeln, dass ein Rechteck dabei heraus kommt. Wenn unser Universum ein Hypertorus wäre, dann wäre die Geometrie also euklidisch. (Es wäre aber nicht isotrop.)

Daraus folgt schon mal, dass eindimensionale Gebilde (z.B. Geodäten) nicht in diesem Sinn gekrümmt sein können, denn da gibt es keine Dreiecke, so dass es keinen Unterschied euklidisch/nichteuklidisch geben kann.


Hmmm... Die Oberfläche eines flachen 2-Torus ist eine 1-Spähre, und die sollte doch laut Definition ebenfalls flach (ungekrümmt) sein? Und da der flache 2-Torus in einen euklidischen Raum eingebettet ist, müsste doch auch die 1-Sphäre euklidisch sein? Lesen hier Mathematiker mit...?

Ich ärger mich jetzt noch, dass ich mich auf den Ausdruck "Krümmung der Geodäten" eingelassen habe, ohne ihn immer sofort zu korrigieren. Eine Geodäte hat keine innere Krümmung und per Definition auch keine äußere.


Ich würde mich nicht zu sehr ärgern... ;)

Nach meinem Verständnis ist eine gekrümmte Geodäte im Sinne der ART einfach eine gekrümmte Linie im (dreidimensionalen) Raum, z.B. die Umlaufbahn der Erde um die Sonne. (In der Raumzeit ist sie natürlich per Definition nicht gekrümmt.)

Und damit bin ich wieder bei der Frage, die hier noch niemand beantwortet hat: Kann es überhaupt sein, dass im Erdmittelunkt die drei Raumdimensionen flach und die Zeitdimension gekrümmt ist?


Das kann m.E. überall der Fall sein. Zum Beispiel wirkt die gravitative Zeitdilatation ja auch im lokal flachen Raum z.B. auf der Erdoberfläche. Deshalb fällt der geworfene Ball zurück auf die Erde...

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 01:01 #65718

ra-raisch schrieb: Wie Du selbst schön ausgeführt hast, benötigt eine Krümmung mehr als einen Punkt.

Sogar mehr als zwei ;) Allerdings lässt sich die Krümmung auch für einen Punkt bestimmen, indem man den Grenzwert bildet der Krümmung eines Dreiecks, dessen Seitenlängen gegen Null gehen. Dies entspricht einer Ableitung ...
ra-raisch schrieb: Daher ist die Frage (für mich) nur so zu verstehen und zu beantworten, wie ich es bereits getan habe, dass die Längenmaße "ungekrümmt" also gleich lang wie in flacher Raumzeit sind. Die Zeit vergeht dort hingegen verlangsamt also "gekrümmt" gegenüber der flachen Raumzeit.

Genau da liegt der Denkfehler: Zeitdilatation allein ist noch keine Krümmung. Sollte eigentlich klar sein, denn die gibt es auch in der SRT, wo von Krümmung keine Rede sein kann. Außerdem:

Stell dir ein völlig ungekrümmtes Universum vor. Und nun eins, das wie das erste ist, nur die Zeit vergeht halb so schnell, also Zeitdilatation mit Faktor 2. Das ist natürlich auch ungekrümmt. Also kann im Erdmittelpunkt auch zwar Zeitdilatation sein, aber ohne Krümmung. Wobei natürlich sich sofort eine Krümmung ergibt, sobald man sich vom Erdmittelpunkt entfernt ...

Oder noch anders: Der Erdmittelpunkt ist ein Raum-Punkt, also mit Zeitdimension eine Weltlinie, die im erdbezogenen Koordinatensystem eine Geschwindigkeit Null hat (ruht). Wenn sich entlang einer Weltlinie die Zeitdilatation ändert, wär das ein Hinweis auf Krümmung (möglicherweise kann man mit entsprechenden Gehirnschmalz einen Fall konstruieren, in dem auch dann keine Krümmung herrscht, aber das können wir auf sich beruhen lassen). Aber wenn wir Gravitationswirkungen von Sonne, Mond, Jupiter etc. vernachlässigen, dann ist die Zeitdilatation im Erdmittelpunkt konstant über die Zeit. Also wo soll da eine (lokale!) Krümmung sein, wo ja die Raumdimensionen dort auch nicht gekrümmt sind?

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 03:17 #65721

Arrakai schrieb: Man sollte ggf. noch ergänzen, dass in diesem Sinne auch ein „gekrümmter“ Raum flach sein kann (liest sich irgendwie strange...;)). Das gilt z.B. für die Oberfläche (3-Spähre) eines 4D-Hypertorus. Das kann man nachvollziehen. wenn man bspw. einen Donut aufschneidet, einmal „gerade“ durch beide Ringe. Die Oberfläche kann man dann so aufwickeln, dass ein Rechteck dabei heraus kommt. Wenn unser Universum ein Hypertorus wäre, dann wäre die Geometrie also euklidisch. (Es wäre aber nicht isotrop.)

Ich fürchte, du schmeißt gerade zwei Dinge durcheinander. Ein echter Torus, eingebettet in einen 3D-Raum ergibt gerade kein Rechteck, wenn er aufgeschnitten und die Oberfläche abgewickelt wird, weil ja der Innenradius kleiner als der Außenradius ist. Die Oberfläche ist meines Wissens auch gekrümmt (auch wenn ich außerstande bin, sie korrekt zu beschreiben).

Aber wenn du den Torus nur als Hilfsbild nimmst, um die Topologie zu beschreiben, und der 3D-raum nicht real: Dann gibt es den flachen Torus. Das ist so wie die Tapete an der Wand, in der sich das Muster waagerecht und senkrecht in regelmäßigen Abständen wiederholt, wobei die Wiederholung hier bedeutet, dass es sich um den gleichen Ort handelt. Das ist dann ungekrümmt und euklidisch.

Wenn man jetzt von der Tapete ein Stück herausschneidet, in dem jedes Element des Musters genau einmal vorkommt, hat man also die ganze Fläche in einem Rechteck. Das kann man in einem ersten Schritt zu einem Zylindermantel krümmen. Das ist aber keine intrinsische Krümmung, sondern nur eine Krümmung im einbettenden Raum. Wenn der keine physikalische Realität darstellt, ist der Zylindermantel also ungekrümmt. Um daraus eine Torushülle zu machen, muss die Fläche aber verzerrt werden, und daraus entsteht dann eine Krümmung.

Unterscheide zwischen äußerer Krümmung in einem höheren Raum (also z.B. die sichtbare Krümmung eines Flammschen "Gummituchs" in 3D) und der intrinsischen Krümmung (keine euklidische Geometrie, also gekrümmt). Ich hatte schon gesagt, dass es sein kann, dass eine Fläche so (intrinsisch) gekrümmt ist, dass es kein Bild in einem 3D-Raum geben kann, mit dem flachen Torus haben wir jetzt einen ähnlichen Fall (der kann nur als "Tapete" oder Zylindermantel eingebettet werden, nicht als 3D-Torus).
Arrakai schrieb: Hmmm... Die Oberfläche eines flachen 2-Torus ist eine 1-Spähre

??? Die Oberfläche eines Torus ist eine Fläche, also zweidimensional. Oder soll ein "flacher Torus" ein zweidimensionaler Torus sein (wie soll ich mir den vorstellen?)?
Arrakai schrieb:

Ich ärger mich jetzt noch, dass ich mich auf den Ausdruck "Krümmung der Geodäten" eingelassen habe, ohne ihn immer sofort zu korrigieren. Eine Geodäte hat keine innere Krümmung und per Definition auch keine äußere.


Ich würde mich nicht zu sehr ärgern... ;)

Keine Angst, das war jetzt nicht so dramatisch gemeint wie du es anscheinend interpretierst ...
Arrakai schrieb: Nach meinem Verständnis ist eine gekrümmte Geodäte im Sinne der ART einfach eine gekrümmte Linie im (dreidimensionalen) Raum, z.B. die Umlaufbahn der Erde um die Sonne. (In der Raumzeit ist sie natürlich per Definition nicht gekrümmt.)

Genauer gesagt: Gekrümmt ist nicht die Geodäte im gekrümmten ART-Raum, sondern ihr Bild in einem ungekrümmten Raum (Newton bzw. nur SRT).
Arrakai schrieb: Das kann m.E. überall der Fall sein. Zum Beispiel wirkt die gravitative Zeitdilatation ja auch im lokal flachen Raum z.B. auf der Erdoberfläche. Deshalb fällt der geworfene Ball zurück auf die Erde...

Moment: willst du wirklich sagen, dass der Raum an der Erdoberfläche flach ist?

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 10:52 #65723

helmut-wk schrieb: Ich fürchte, du schmeißt gerade zwei Dinge durcheinander. Ein echter Torus, eingebettet in einen 3D-Raum ergibt gerade kein Rechteck, wenn er aufgeschnitten und die Oberfläche abgewickelt wird, weil ja der Innenradius kleiner als der Außenradius ist. Die Oberfläche ist meines Wissens auch gekrümmt (auch wenn ich außerstande bin, sie korrekt zu beschreiben).


Natürlich ist die Oberfläche im dreidimensionalen Raum gekrümmt. Aber man kann ihn sehr wohl aufschneiden und die Oberfläche abwickeln, sodass ein Rechteck entsteht. Das ist konstrukrionsbedingt so, da beim Torus bei u = π/2 und u = 3π/2 (also auf den Breitenkreisen) die gaußche Krümmung gleich 0 ist. Hier sieht man, wie ein Torus über zwei Kreise konstruiert wird, siehe die lila Linie (wiki):

2-Torus


Hier eine Animation (wiki):


helmut-wk schrieb: Wenn man jetzt von der Tapete ein Stück herausschneidet, in dem jedes Element des Musters genau einmal vorkommt, hat man also die ganze Fläche in einem Rechteck. Das kann man in einem ersten Schritt zu einem Zylindermantel krümmen. Das ist aber keine intrinsische Krümmung, sondern nur eine Krümmung im einbettenden Raum. Wenn der keine physikalische Realität darstellt, ist der Zylindermantel also ungekrümmt. Um daraus eine Torushülle zu machen, muss die Fläche aber verzerrt werden, und daraus entsteht dann eine Krümmung.

Unterscheide zwischen äußerer Krümmung in einem höheren Raum (also z.B. die sichtbare Krümmung eines Flammschen "Gummituchs" in 3D) und der intrinsischen Krümmung (keine euklidische Geometrie, also gekrümmt). Ich hatte schon gesagt, dass es sein kann, dass eine Fläche so (intrinsisch) gekrümmt ist, dass es kein Bild in einem 3D-Raum geben kann, mit dem flachen Torus haben wir jetzt einen ähnlichen Fall (der kann nur als "Tapete" oder Zylindermantel eingebettet werden, nicht als 3D-Torus).


Was soll in diesem Zusammenhang denn ein "Bild" sein? Es gibt einen flachen 2-Torus, n-Torus. Und natürlich gibt es für den flachen n-Torus ein Modell im n+1-dimensionalen Raum, siehe dazu z.B. Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Torus#Flache_Tori.

Edit: Der flache dreidimensionale Torus sieht etwas seltsam aus... ;)
scienceblogs.de/mathlog/2016/05/27/ein-f...-dimensionalen-raum/

Zum Rest siehe meine Ausführungen weiter oben zur gaußschen Krümmung eines Torus.

helmut-wk schrieb:

Arrakai schrieb: Hmmm... Die Oberfläche eines flachen 2-Torus ist eine 1-Spähre

??? Die Oberfläche eines Torus ist eine Fläche, also zweidimensional. Oder soll ein "flacher Torus" ein zweidimensionaler Torus sein (wie soll ich mir den vorstellen?)?


Die 1-Spähre ist ein Kreis, und ein Kreis ist eine geschlossene Linie. Aber leider gekrümmt. Also das war in der Tat kein sinnvolles Beispiel, da hätte ich gleich drauf kommen können... ;)

helmut-wk schrieb: Genauer gesagt: Gekrümmt ist nicht die Geodäte im gekrümmten ART-Raum, sondern ihr Bild in einem ungekrümmten Raum (Newton bzw. nur SRT).


Ja, das scheint mir eine gute Beschreibung zu sein.

helmut-wk schrieb:

Arrakai schrieb: Das kann m.E. überall der Fall sein. Zum Beispiel wirkt die gravitative Zeitdilatation ja auch im lokal flachen Raum z.B. auf der Erdoberfläche. Deshalb fällt der geworfene Ball zurück auf die Erde...

Moment: willst du wirklich sagen, dass der Raum an der Erdoberfläche flach ist?


Natürlich. Nicht nur der Raum, sondern die gesamte Raumzeit ist lokal flach. Du musst den Bereich nur klein genug wählen. Im Allgemeinen definiert man "klein genug" als "die Abweichung ist nicht mehr messbar". Solange du noch eine Abweichung misst, kannst du die Fläche einfach immer weiter halbieren. Notfalls betrachtest du einen infinitesimal kleinen Punkt, aber das wird bei der Erdoberfläche sicher nicht nötig sein. Lediglich die gravitative Zeitdilatation wirkt sich selbst bei kleinsten Höhenunterschieden aus, da wegen des Faktors c die zeitlichen Unterschiede deutlich mehr zu Buche schlagen als die räumlichen (weshalb der Raum immer in einem deutlich größeren Bereich lokal flach ist, als die Raumzeit).

(Dieselbe Vorgehensweise wendet man übrigens auch beim Freifaller in einer geschlossenen Box an. Sobald er die Gezeitenkräfte nicht mehr messen kann, gilt das Äquivalenzprinzip. Sonst wäre das Äquivalenzprinzip in der Natur ja nirgendwo realisiert.)

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 11:09 #65725

Arrakai schrieb: Natürlich ist die Oberfläche im dreidimensionalen Raum gekrümmt. Aber man kann ihn sehr wohl aufschneiden und die Oberfläche abwickeln, sodass ein Rechteck entsteht. Das ist konstrukrionsbedingt so, da beim Torus bei u = π/2 und u = 3π/2 (also auf den Breitenkreisen) die gaußche Krümmung gleich 0 ist. Hier sieht man, wie ein Torus über zwei Kreise konstruiert wird, siehe die lila Linie (wiki):

Hier eine Animation (wiki):

Bei einem normalen Torus geht das natürlich nicht, da der Innenradius (R-r) kleiner als der Außenradius (R+r) ist.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 11:36 #65727

ra-raisch schrieb:
Arrakai schrieb: Natürlich ist die Oberfläche im dreidimensionalen Raum gekrümmt. Aber man kann ihn sehr wohl aufschneiden und die Oberfläche abwickeln, sodass ein Rechteck entsteht. Das ist konstrukrionsbedingt so, da beim Torus bei u = π/2 und u = 3π/2 (also auf den Breitenkreisen) die gaußche Krümmung gleich 0 ist. Hier sieht man, wie ein Torus über zwei Kreise konstruiert wird, siehe die lila Linie (wiki):

Hier eine Animation (wiki):

Bei einem normalen Torus geht das natürlich nicht, da der Innenradius (R-r) kleiner als der Außenradius (R+r) ist.


Natürlich geht es. Du musst halt berücksichtigen, wie ein Torus mathematisch konstruiert wird. Bereits in meinem letzten Post hatte ich versucht, das zu erklären. Nochmal anders: Ein Torus ist ein Rechteck, bei dem die beiden gegenüberliegenden Seiten nahtlos miteinander verbunden (identifiziert) sind. Wenn man dieses Konstrukt wie beschrieben auseinander schneidet, kommt zwangsläufig wieder das Rechteck raus. Wenn es dir leichter fällt, dann stell dir ein Gummituch statt des Papierblatts vor. Das lässt sich dehnen und stauchen, so kann man sich eher veranschaulichen, warum der Unterschied zwischen Innen- und Außenradius egal ist. Siehe auch hier, das ist ein anschauliches Video:

https://youtu.be/0H5_h-RB0T8

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