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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 12:45 #65728

Arrakai schrieb: Edit: Der flache dreidimensionale Torus sieht etwas seltsam aus... ;)
scienceblogs.de/mathlog/2016/05/27/ein-f...-dimensionalen-raum/

Das ist ein Torus, bei dem Innen- und Außenradius gleich groß sind. So einen "Torus" hatte ich nicht auf dem Schirm.
Arrakai schrieb: Natürlich ist die Oberfläche im dreidimensionalen Raum gekrümmt. Aber man kann ihn sehr wohl aufschneiden und die Oberfläche abwickeln, sodass ein Rechteck entsteht.

Wenn innen- und Außenradius identisch ist, ja. Ansomnsten hast du ein etwas deformiertes Viereck: zwei parallele Seiten, da wo du senkrecht zur Ringebene (in der der Innen- und Außenradius liegen) aufgeschnitten hast, und zwei Seiten, die jeweils um die Länge der jeweiligen "Breitenkreise" voneinander entfernt sind, und die schwankt zwischen dem Innen- und Außenradius.
Arrakai schrieb: Das ist konstrukrionsbedingt so, da beim Torus bei u = π/2 und u = 3π/2 (also auf den Breitenkreisen) die gaußche Krümmung gleich 0 ist. Hier sieht man, wie ein Torus über zwei Kreise konstruiert wird, siehe die lila Linie (wiki):

Das es Punkte bzw. Linien gibt, an deen die Krümmung Null ist, wolte ich nicht betreiten, aber woie gesgt: Wenn Innne- und Außenradius verschieden sind, gibt es Krümmungen im Torus. also "ist der gekrümmt".
Arrakai schrieb:

helmut-wk schrieb: Unterscheide zwischen äußerer Krümmung in einem höheren Raum (also z.B. die sichtbare Krümmung eines Flammschen "Gummituchs" in 3D) und der intrinsischen Krümmung (keine euklidische Geometrie, also gekrümmt). Ich hatte schon gesagt, dass es sein kann, dass eine Fläche so (intrinsisch) gekrümmt ist, dass es kein Bild in einem 3D-Raum geben kann, mit dem flachen Torus haben wir jetzt einen ähnlichen Fall (der kann nur als "Tapete" oder Zylindermantel eingebettet werden, nicht als 3D-Torus).


Was soll in diesem Zusammenhang denn ein "Bild" sein?

Die Darstellung eines n-dimensionalen gekrümmten Raums innerhalb ein es (n+1)-dimensionalen Raums , um so die Krümmung darzustellen. Aber wenn es um einen intrinsisch gekrümmten Raum geht, der in keinen höherdimensionalen Raum eingebettet ist, dann ist so eine Darstellung nicht mehr der gekrümmte Raum an sich, sondern eben ein Bild dieses Raums.
Arrakai schrieb: [Es gibt einen flachen 2-Torus, n-Torus.

Wenn flach heißt: Innenradius = Außenradius, dann stimmt das. Das ist aber schon arg getrickst. Für meine Begriffe ist das ein Zylindermantel, bei dem Innen- und Außenseite als zwei verschiedene Flächen interpretiert werden.
Arrakai schrieb:

helmut-wk schrieb:

Arrakai schrieb: Das kann m.E. überall der Fall sein. Zum Beispiel wirkt die gravitative Zeitdilatation ja auch im lokal flachen Raum z.B. auf der Erdoberfläche. Deshalb fällt der geworfene Ball zurück auf die Erde...

Moment: willst du wirklich sagen, dass der Raum an der Erdoberfläche flach ist?


Natürlich. Nicht nur der Raum, sondern die gesamte Raumzeit ist lokal flach. Du musst den Bereich nur klein genug wählen.

Wenn du mit "flach" meinst, dass man von der Krümmung umso weniger merkt, je kleiner der betrachtete bereich ist, ist trivial. Aber "flach" in diesem Sinn ist kein Gegensatz zu gekrümmt.

Am Besten erklär ich es anhand der Analogie mit der Ableitung einer Funktion.

Die Krümmung entspricht im Vergleich der Steigung.

Wenn du benachbarte Funktionswerte f(x1) und f(x2) betrachtest, dann ist die Differenz zwischen diesen Funktionswerten (f(x2)-f(x1)) umso kleiner, je geringer die Distanz (x2-x1) ist, und wird Null für X1=x2. Aber das heißt ja nicht dass die Steigung bei x1=x2 Null ist! Vielmehr bildest du den Grenzwert von
(f(x2)-f(x1))/(x2-x1) für den Grenzfall x1=x2. Differenzieren, bzw. Ableitung einer Funktion.

Und bei der Krümmung hast du die Abweichung der Winkelsumme eines Dreiecks von 180°, das Ausmaß der Abweichung vom euklidischen Raum. Und die geht für den Grenzwert eines Dreiecks mit allen Seitenlängen gleich Null auch gegen Null. Nur musst du das natürlich in Relation zur Größe des Dreiecks setzen. Ein Kugeldreieck hat immer eine Winkelsummer größer als 180°, die Differenz (d=alpha+beta+gamma-180°) ist proportional zur Fläche des Dreiecks. Bei d=720° wäre es die gesamte Kugeloberfläche. Also kannst du (bei positiver Krümmung) aus den Winkelmaßen eine Oberfläche einer Krümmungskugel ausrechnen und gemäß O=4*pi*r² einen Krümmungsradius; und entsprechend bei negativer Krümmung (bin nicht genug Mathematiker, um da ein Maß analog zum Krümmungsradius angeben zu können, aber so was gibt es auch). Das entspricht der Bildung des Differenzenquotienten. Wenn du dann die Größe des Dreiecks gegen Null gehen lässt, erhältst du eine Grenzwert, und der muss nicht Null sein, genauso wenig wie der Grenzwert des Differenzenquotienten nicht Null sein muss.

Jetzt sollte klar sein, was mit "Krümmung an einem Punkt" gemeint ist. Die hängt natürlich von der Orientierung der verkleinernden Dreiecke im Raum ab (also in welcher Ebene sie liegen).

Arrakai schrieb: Lediglich die gravitative Zeitdilatation wirkt sich selbst bei kleinsten Höhenunterschieden aus, da wegen des Faktors c die zeitlichen Unterschiede deutlich mehr zu Buche schlagen als die räumlichen (weshalb der Raum immer in einem deutlich größeren Bereich lokal flach ist, als die Raumzeit).

Wenn du Raum in Zeit "umrechnen" willst, musst du die Lichtgeschwindigkeit nehmen. Also eine Sekunde entspricht ca. 300.000 km. Oder 1 m ca. 0,33*10^-8 s.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 12:58 #65729

Arrakai schrieb: Wenn man dieses Konstrukt wie beschrieben auseinander schneidet, kommt zwangsläufig wieder das Rechteck raus. Wenn es dir leichter fällt, dann stell dir ein Gummituch statt des Papierblatts vor. Das lässt sich dehnen und stauchen, so kann man sich eher veranschaulichen, warum der Unterschied zwischen Innen- und Außenradius egal ist. Siehe auch hier, das ist ein anschauliches Video:

https://youtu.be/0H5_h-RB0T8

Mit "dehnen und stauchen" kann ich eine gekrümmter Fläche ungekrümmt machen oder eine ungekrümmte Fläche krümmen. Wenn sich die Krümmung nicht ändern soll, ist Dehnen und Stauchen nicht erlaubt.

Und jetzt schau dir mal genau an, was ohne Dehnen und Stauchen herauskommt. Es gibt immer zwei Schnittflächen. Eine ist "trivial", die andere verläuft im Video entlang des Außenradius. Du hast also ein "Viereck", dessen obere und untere Kante die Länge des Außenradius haben. In der Mitte des "Vierecks" sind die beiden Seiten aber nur den Innenradius voneinander entfernt.

Was immer das ist, ein Rechteck ist es jedenfalls nicht. Außer es wird gestaucht und gedehnt ...

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 13:38 #65731

helmut-wk schrieb:

Arrakai schrieb: Wenn man dieses Konstrukt wie beschrieben auseinander schneidet, kommt zwangsläufig wieder das Rechteck raus. Wenn es dir leichter fällt, dann stell dir ein Gummituch statt des Papierblatts vor. Das lässt sich dehnen und stauchen, so kann man sich eher veranschaulichen, warum der Unterschied zwischen Innen- und Außenradius egal ist. Siehe auch hier, das ist ein anschauliches Video:

https://youtu.be/0H5_h-RB0T8

Mit "dehnen und stauchen" kann ich eine gekrümmter Fläche ungekrümmt machen oder eine ungekrümmte Fläche krümmen. Wenn sich die Krümmung nicht ändern soll, ist Dehnen und Stauchen nicht erlaubt.

Und jetzt schau dir mal genau an, was ohne Dehnen und Stauchen herauskommt. Es gibt immer zwei Schnittflächen. Eine ist "trivial", die andere verläuft im Video entlang des Außenradius. Du hast also ein "Viereck", dessen obere und untere Kante die Länge des Außenradius haben. In der Mitte des "Vierecks" sind die beiden Seiten aber nur den Innenradius voneinander entfernt.

Was immer das ist, ein Rechteck ist es jedenfalls nicht. Außer es wird gestaucht und gedehnt ...


Das ist so, als würde jemand bestreiten, dass 1 eine natürliche Zahl ist. Wie sollte ich denjenigen vom Gegenteil überzeugen? Lies nach, was ein Torus ist und welche Eigenschaften er hat, dann können wir uns weiter unterhalten. Wikipedia ist ein guter Ausgangspunkt.

The truth is often what we make of it; you heard what you wanted to hear, believed what you wanted to believe.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 14:14 #65732

Arrakai schrieb: Das ist so, als würde jemand bestreiten, dass 1 eine natürliche Zahl ist. Wie sollte ich denjenigen vom Gegenteil überzeugen? Lies nach, was ein Torus ist und welche Eigenschaften er hat, dann können wir uns weiter unterhalten. Wikipedia ist ein guter Ausgangspunkt.

Also ich weiß, was ein Torus ist, aber dir zuliebe hab ich jetzt in Wiki reingeschaut.

Da finde ich mein "Tapeten"-Beispiel:

Ein Torus kann auch durch Identifizieren der Seiten eines Parallelogramms konstruiert werden. Dabei wird die rechte Kante des Parallelogramms mit seiner linken Kante und die obere mit der unteren Kante verheftet. Diese Topologie benutzen auch viele Computerspiele: Verlässt ein Spielobjekt auf einer Seite das Spielfeld, so taucht es auf der gegenüberliegenden Seite wieder auf.

gut, da wird keine Tapete, sondern ein Computerspiel zum Vergleich herangezogen, und das Rechteck zu Parallelogramm verallgemeinert. Aber das sind keine wichtigen Unterschiede.

Das taucht nahezu wörtlich weiter unten wieder auf, und bei der Grafik daneben steht "Verkleben" statt "verheften", vielleicht kommt dein Missverständnis daher.

Was ich (natürlich ;)) nicht finde, ist deine Behauptung, dass man ein Rechteck in einen Torus verwandeln kann, ohne die Krümmung zu ändern. Die Aussage

Im Gegensatz zur Oberfläche einer Kugel kann der Torus ohne Singularitäten auf einer ebenen, rechteckigen Fläche abgebildet werden.

besagt ja nicht, dass keine Verzerrungen auftreten, sondern nur, dass Singularitäten (z.B. der Nordpol als gerade Linie beim Schnittzylinderentwurf) nicht vorkommen.

Wie gesagt: ein Rechteck kommt ohne "Dehnen und Stauchen" nur heraus, wenn Innenradius und Außenradius gleich groß sind. Und dann ist die "Oberfläche" eines Volltorus mit Volumen Null auch eben (ungekrümmt).

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 15:54 #65737

Arrakai schrieb: Natürlich geht es. Du musst halt berücksichtigen, wie ein Torus mathematisch konstruiert wird.

Wenn Du ein Blatt Papier nimmst, geht es nicht.
Topologisch geht es schon. Es gibt aber auch andere mathematische Gesichtspunkte als nur die Topologie. Topologisch ist auch die Kugeloberfläche und ein Blatt Papier gleich, wenn man die Kanten geeignet miteinander verbindet, zuerst die Röhre bilden und dann jede der beiden verbliebenen Öffnungen zu einem Punkt zusammenziehen, mit anderen Worten: es geht "ordentlich" weder bei der Kugel noch beim Torus.

Diese Diskussion hattest Du doch schon mit Yukterez? Nein, das war vor Deiner Zeit.
www.uwudl.de/forum/4-spezielle-relativit....html?start=30#47781

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 25 02. 2020 18:24 #65738

ra-raisch schrieb:
Arrakai schrieb: Natürlich geht es. Du musst halt berücksichtigen, wie ein Torus mathematisch konstruiert wird.

Wenn Du ein Blatt Papier nimmst, geht es nicht.
Topologisch geht es schon. Es gibt aber auch andere mathematische Gesichtspunkte als nur die Topologie. Topologisch ist auch die Kugeloberfläche und ein Blatt Papier gleich, wenn man die Kanten geeignet miteinander verbindet, zuerst die Röhre bilden und dann jede der beiden verbliebenen Öffnungen zu einem Punkt zusammenziehen, mit anderen Worten: es geht "ordentlich" weder bei der Kugel noch beim Torus.


Ok, ja, die Topologie einer Henkeltasse entspricht ebenfalls der eines 2-Torus, also nicht sehr aussagekräftig...
ra-raisch schrieb: Diese Diskussion hattest Du doch schon mit Yukterez? Nein, das war vor Deiner Zeit.
www.uwudl.de/forum/4-spezielle-relativit....html?start=30#47781


Ok, also beim 2-Torus nur topologisch. Bzw. mit dem verrückten fraktalen 2-Torus, der mittlerweile konstruiert wurde, und den ich oben verlinkt habe. Aber das ist ja kein gängiger 2-Torus... Oder eben näherungsweise. Ich denke, das ist für die Veranschaulichung immer noch ganz nützlich. Meinen ursprünglichen Absatz würde ich dann wie folgt neu formulieren:

Man sollte ggf. noch ergänzen, dass in diesem Sinne auch ein „gekrümmter“ Raum flach sein kann (liest sich irgendwie strange...;)). Das gilt z.B. für einen flachen n-Torus. Das kann man näherungsweise nachvollziehen, wenn man bspw. einen Donut aufschneidet, einmal „gerade“ durch beide Ringe. Die Oberfläche kann man dann so aufwickeln, dass annähernd ein Rechteck dabei heraus kommt. Wenn unser Universum ein flacher Hypertorus wäre, dann wäre die Geometrie also euklidisch. (Es wäre aber nicht isotrop.)

helmut-wk schrieb:

Arrakai schrieb: Edit: Der flache dreidimensionale Torus sieht etwas seltsam aus... ;)
scienceblogs.de/mathlog/2016/05/27/ein-f...-dimensionalen-raum/

Das ist ein Torus, bei dem Innen- und Außenradius gleich groß sind. So einen "Torus" hatte ich nicht auf dem Schirm.


Die Anführungszeichen kannst du beruhigt weglassen, es handelt sich einfach um einen flachen Torus. Ab T³ gibt es "natürlichere" Varianten. Haben wir also beide was zum Torus gelernt. ;)

helmut-wk schrieb:

Arrakai schrieb: Natürlich. Nicht nur der Raum, sondern die gesamte Raumzeit ist lokal flach. Du musst den Bereich nur klein genug wählen.

Wenn du mit "flach" meinst, dass man von der Krümmung umso weniger merkt, je kleiner der betrachtete bereich ist, ist trivial. Aber "flach" in diesem Sinn ist kein Gegensatz zu gekrümmt.


Ich meine, dass der Raum lokal flach ist. Sozusagen flach wie flach, nicht "wie flach in diesem Sinne". An einem infinitesimal kleinen Punkt gilt das immer und uneingeschränkt, und das genügt für die Theorie. Aber es gilt eben auch dann, wenn die Krümmung nicht mehr gemessen werden kann. Oder würdest du sagen, dass eine Krümmung vorhanden ist, auch wenn alle Messergebnisse dir etwas anderes sagen? Wenn es anders wäre, dann hätten Inertialsysteme und Äquivalenzprinzip keine praktische Bedeutung mehr. Du hast Martin Bäker verlinkt, ich empfehle dir auch zu dieser Frage seinen Blog (oder am besten sein Buch).

helmut-wk schrieb: Jetzt sollte klar sein, was mit "Krümmung an einem Punkt" gemeint ist. Die hängt natürlich von der Orientierung der verkleinernden Dreiecke im Raum ab (also in welcher Ebene sie liegen).


Ich weiß jetzt nicht so genau, weshalb du das alles ausgeführt hast. Was willst du mir im Zusammenhang mit lokal flachen Raumzeiten sagen?!

Edit: Ich glaube, ich verstehe jetzt das Problem. Daher nachfolgende Ergänzung als Erläuterung von lokaler Flachheit:

Die lokale Flachheit der Raumzeit folgt aus der ART selbst.

Anschaulich muss die Raumzeit immer lokal flach sein, sonst könnte ein FFO einen Unterschied zwischen einem freien Fall entlang seiner Geodäten und einer unbeschleunigten Bewegung aufgrund der Trägheit feststellen. Und das wäre eine Verletzung des starken Äquivalenzprinzips. Daraus folgt: Lokal müssen für den FFO die Gesetze der SRT gelten, und deshalb muss die Raumzeit natürlich lokal divergenzfrei sein. Wegen der Divergenzfreiheit gilt \( \nabla T = 0 \). Weil das eine kovariante Ableitung ist, lässt sich grundsätzlich immer auch ein Riemann’scher Krümmungstensor herleiten. D.h. die Raumzeit kann gekrümmt sein, auch wenn sie lokal flach ist.

Dass eine Raumzeit überall lokal flach ist, heißt also nicht, dass sie überall flach ist - dann könntest du dir das lokal ja sparen. Es heißt nur, dass sie für beliebige Punkte lokal flach ist. Eine rein geometrische Argumentation läuft daher ins Leere.

helmut-wk schrieb:

Arrakai schrieb: Lediglich die gravitative Zeitdilatation wirkt sich selbst bei kleinsten Höhenunterschieden aus, da wegen des Faktors c die zeitlichen Unterschiede deutlich mehr zu Buche schlagen als die räumlichen (weshalb der Raum immer in einem deutlich größeren Bereich lokal flach ist, als die Raumzeit).

Wenn du Raum in Zeit "umrechnen" willst, musst du die Lichtgeschwindigkeit nehmen. Also eine Sekunde entspricht ca. 300.000 km. Oder 1 m ca. 0,33*10^-8 s.


Das ist klar, daher schreibe ich vom Faktor c. Zur Beantwortung deiner ursprünglichen Frage siehe die restlichen Ausführungen. Die Raumzeit kann gekrümmt sein, auch wenn der Raum flach ist.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 00:08 #65753

Ich wollte bezüglich flach und gekrümmt zwar nicht mehr herumfabulieren, aber ich denke, ich habe die Antwort:

Von "flach" spricht man, wenn wie in der Minkowskimetrik gilt
ds² = dr² = dx²+dy²+dz² und dτ² = dt²

In diesem Sinne ist das Gravizentrum eben teilweise und zwar räumlich flach, weil zwar gilt
ds² = dr² = dx²+dy²+dz² aber nicht gleich ist dτ² ≠ dt²

Und ebenso ist die Metrik im Trichter (noch) teilweise(r) flach, weil zwar gilt
ds² = r²dΩ² = r²dφ²+r²dθ² aber weder gilt Gleichheit für dτ² ≠ dt² noch für ds² ≠ dr²
wohlgemerkt ist dabei r=U/2π.

Aber letztlich ist "flach" natürlich streng nach dem Transport eines Vektors in einer Fläche zu bestimmen und nicht vom Nullpotential abhängig. Allerdings ist die Zeit nur im Nullpotential flach. Insoweit wäre meine Definition aber wohl noch ergänzungsbedürftig.

wiki: Die ART betrachtet dabei die räumlichen und zeitlichen Koordinaten als gleichberechtigt und behandelt alle zeitlichen Änderungen als geometrisches Problem.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 07:22 #65755

Arrakai schrieb: Man sollte ggf. noch ergänzen, dass in diesem Sinne auch ein „gekrümmter“ Raum flach sein kann (liest sich irgendwie strange...;)).

Man muss zwischen innerer (intrinsischer) und äußerer Krümmung unterscheiden: Ein äußerlich gekrümmter Raum kann intrinsisch flach sein.
Arrakai schrieb:

helmut-wk schrieb: Das ist ein Torus, bei dem Innen- und Außenradius gleich groß sind. So einen "Torus" hatte ich nicht auf dem Schirm.

Die Anführungszeichen kannst du beruhigt weglassen, es handelt sich einfach um einen flachen Torus. Ab T³ gibt es "natürlichere" Varianten. Haben wir also beide was zum Torus gelernt. ;)

Na ja, ein Torus, dessen Volltorus ein Volumen von Null hat, ist für mich kein "richtiger" Torus, auch wenn er mathematisch einer ist. Das ist wie ein Dreieck, dessen Punkte aller auf einer Geraden liegen ;)
Arrakai schrieb: Ich meine, dass der Raum lokal flach ist. Sozusagen flach wie flach, nicht "wie flach in diesem Sinne". An einem infinitesimal kleinen Punkt gilt das immer und uneingeschränkt, und das genügt für die Theorie.

Du hast es immer noch nicht verstanden. "Flach" in diesem Sinn ist nicht das gleiche wie Krümmung.

Nimm die Oberfläche einer Kugel, die ist gleichmäßig gekrümmt, so dass die Krümmung durch einen einzigen Wert (Krümmungsradius = Radius der Kugel) beschrieben werden kann. Den Krümmungsradius kannst du, wie von mir beschrieben, anhand der Differenz der Winkelsumme eines Dreiecks zu π (180°) und der Größe des Dreiecks ausrechnen. Und der Krümmungsradius bleibt stets gleich, egal wie klein das Dreieck wird. Soweit die Theorie.
Arrakai schrieb: Aber es gilt eben auch dann, wenn die Krümmung nicht mehr gemessen werden kann. Oder würdest du sagen, dass eine Krümmung vorhanden ist, auch wenn alle Messergebnisse dir etwas anderes sagen?

In der Praxis kommt es natürlich (ich bin immer noch beim Beispiel mit der Kugel) irgendwann, wenn das Dreieck klein genug wird, dazu, dass die Differenz zwischen der Winkelsumme und π kleiner ist als die Messgenauigkeit. Dann kann ich die Krümmung nicht mehr messen, aber der Krümmungsradius bleibt der gleiche - wenn ich genauer messen könnte, würde ich immer noch den gleichen Krümmungsradius ausrechnen (siehe Theorie oben).

Ich hatte ja die Ermittlung des Krümmungsradius mit einer Ableitung verglichen, bei der es ja auch um einen Grenzwert bei "Null durch Null" geht (beim Ermitteln des Kümmungsradius muss nach der Division noch die Wurzel gezogen werden). Ich wandle das Beispiel mal ein wenig ab:

Stell dir vor, du stehst auf einem Hang, und hast ein Barometer, mit dem du deine Höhe bestimmen kannst (Luftdruckschwankungen etc. lassen wir mal außen vor). Wenn du jetzt den Hang zwei Schritt hoch gehst, wird die das Barometer immer noch den gleichen Luftdruck anzeigen, weil der Unterschied zu klein ist, um registriert zu werden. Aber du wirst natürlich sagen, dass der Hang geneigt ist, "obwohl dir deine Messwerte etwas anderes sagen".

Der Unterschied zur Krümmungsmessung besteht nur darin, dass es keinen unmittelbaren Wert oder Sinneseindruck wie beim Hang gibt, dessen Neigung du ja sehen kannst. Bei der Krümmung hast du nur ein "Barometer", also die von 180° abweichende Winkelsumme oder eine andere Abweichung von der euklidischen Geometrie bzw. der SRT.

Also: bei entsprechend klein gewählten Bereichen wird jeder gekrümmte Raum flach, außer natürlich Räume mit "Knicks" (die sviw in der Natur nicht vorkommen und somit außer Acht gelassen werden können). Aber das ändert nichts daran, dass die Krümmung nicht verschwindet, wenn der Bereich kleiner wird. Denn die Krümmung K ist der Grenzwert eine Funktion K=√(F/δ), F→0, δ→0 (F: Fläche des Dreiecks, δ: Differenz der Winkelsumme zu π). Flachheit bedeutet δ=0, und für δ≈0 hast du natürlich das Äquivalenzprinzip und alles andere, was du mit Flachheit verbindest.

EDIT: Die Krümmung ist anders definiert als mein K, die Wurzel muss aus der Formel weg. Genaueres im Video von ra-raisch (# 65788 ).

Mir geht es aber nicht um Flachheit (dass die lokal herrscht, ist trivial), sondern um Krümmung. War das jetzt deutlich genug?

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 07:42 #65756

ra-raisch schrieb: Ich wollte bezüglich flach und gekrümmt zwar nicht mehr herumfabulieren, aber ich denke, ich habe die Antwort:

Von "flach" spricht man, wenn wie in der Minkowskimetrik gilt
ds² = dr² = dx²+dy²+dz² und dτ² = dt²

In diesem Sinne ist das Gravizentrum eben teilweise und zwar räumlich flach, weil zwar gilt
ds² = dr² = dx²+dy²+dz² aber nicht gleich ist dτ² ≠ dt²

Also entweder steh ich jetzt voll auf dem Schlauch, oder das ist eine Definition von "flach", die weder was damit zu tun hat, was Arrakai meint (und ich denn auch in meiner Antwort an ihn benutzt habe), noch ist dieses flach ein Gegensatz zu gekrümmt. ist dieses "flach" nicht ein Gegensatz zu "steil"?

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 09:40 #65757

helmut-wk schrieb: ist dieses "flach" nicht ein Gegensatz zu "steil"?

Ja fast richtig, wie das gespannte Gummituch. "eben" könnte man auch sagen, aber das ist ja das Gleiche wie "flach".
Aber zusätzlich kommt hinzu, dass es nicht nur irgendwie eben ist sondern genauso wie im Nullpotential.

Ich ging und gehe zumindest davon aus, dass die Frage (Thomas #65440) auf diesen Punkt zielte. Ansonsten ist jeder Punkt "flach".
Du hattest das zuerst genau so wie ich eingeschätzt:

helmut-wk schrieb: Was du vielleicht meinst: die Kumulative Wirkung der gesamten Krümmung von "außen" bis "hier" ist im Mittelpunkt maximal. Also z.B. die gravitative Zeitdilatation.

Aber die Krümmung im Mittelpunkt ist Null. Wird dann umso stärker, je weiter du dich von Ihm entfernst. Und irgendwann wieder schwächer, wo genau hängt von der Dichteverteilung im Himmelskörper ab. Bei einer Kugel mit gleichförmiger Dichte in allen Schichten ist die Krümmung an der Oberfläche maximal, aber normalerweise (immer?) und insbesondere bei der Erde ist der Kern dichter als die äußeren Hüllen, und da wirds kompliziert ...

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 10:28 #65759

helmut-wk schrieb:

Arrakai schrieb: Ich meine, dass der Raum lokal flach ist. Sozusagen flach wie flach, nicht "wie flach in diesem Sinne". An einem infinitesimal kleinen Punkt gilt das immer und uneingeschränkt, und das genügt für die Theorie.

Du hast es immer noch nicht verstanden. "Flach" in diesem Sinn ist nicht das gleiche wie Krümmung.


Nochmal: Deine ursprüngliche Frage war, ob ich "wirklich sagen [will], dass der Raum an der Erdoberfläche flach ist". Meine Antwort ist: Ja, aber eben nur lokal. Und auf etwas anderes kommt es beim Wurf des Balles nun einmal nicht. Dabei ist es vollkommen egal, ob der Raum an der Erdoberfläche global betrachtet gekrümmt ist oder nicht.

Aus diesem Grund trägt deine Argumentation m.E. einfach nichts zur Sache bei bzw. hat auf jeden Fall überhaupt nichts mit meiner ursprünglichen Aussage zu tun. Du vermischst einfach die Ebenen. Daher meine Frage, was du mir damit sagen willst. Nicht etwa, weil irgendetwas an deinen Ausführungen unklar war. (Die Krümmung einer Kugel ist genauso trivial wie die lokale Flachheit der Erdoberfläche.)

helmut-wk schrieb: Stell dir vor, du stehst auf einem Hang, und hast ein Barometer, mit dem du deine Höhe bestimmen kannst (Luftdruckschwankungen etc. lassen wir mal außen vor). Wenn du jetzt den Hang zwei Schritt hoch gehst, wird die das Barometer immer noch den gleichen Luftdruck anzeigen, weil der Unterschied zu klein ist, um registriert zu werden. Aber du wirst natürlich sagen, dass der Hang geneigt ist, "obwohl dir deine Messwerte etwas anderes sagen".


Deine Messwerte sagen dir in diesem Fall eindeutig, dass der Hang geneigt ist. Das kannst du ja kaum trivialer feststellen, als dass du es mit deinen eigenen Augen siehst. Es geht darum, dass du einen Effekt mit keinem dir zur Verfügung stehenden Mittel lokal messen/feststellen kannst. (Lokal heißt bspw. im Falle des Äquivalenzprinzips, dass der FFO nur Experimente in seiner Box durchführen darf.)

helmut-wk schrieb: Der Unterschied zur Krümmungsmessung besteht nur darin, dass es keinen unmittelbaren Wert oder Sinneseindruck wie beim Hang gibt, dessen Neigung du ja sehen kannst. Bei der Krümmung hast du nur ein "Barometer", also die von 180° abweichende Winkelsumme oder eine andere Abweichung von der euklidischen Geometrie bzw. der SRT.


Sobald du die Krümmung über dein "Barometer" erkennst, bist du nicht mehr in einem lokal flachen Bereich. Soweit trivial. Ich sehe allerdings auch hier keinen tieferen Zusammenhang zu meiner Argumentation.

helmut-wk schrieb: Flachheit bedeutet δ=0, und für δ≈0 hast du natürlich das Äquivalenzprinzip und alles andere, was du mit Flachheit verbindest.


Meine Rede... Zumindest, falls δ≈0 bei all deinen Messungen wie δ=0 aussieht. ;)

helmut-wk schrieb: Mir geht es aber nicht um Flachheit (dass die lokal herrscht, ist trivial), sondern um Krümmung. War das jetzt deutlich genug?


Siehe oben... (Dass sich das alles auch direkt aus der ART ableiten lässt hatte ich erwähnt... Eigentlich sogar erklärt...)

Edit: Einen Absatz entfernt, da er inhaltlich nichts zur Diskussion beigetragen hat.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 12:25 #65763

Ich hatte ja relativ am Anfang gesagt, dass der die Raumzeit im Erdmittelpunkt nicht gekrümmt sei, und mir wurde widersprochen. Ich bin davon ausgegangen, dass in der Diskussion danach mit "flach" gemeint ist, dass keine Krümmung vorliegt. Und nun stell ich fest, dass flach so, wie es Arrakai benutzt, und "flach" wie es ra-raisch benutzt, nicht keine Krümmung bedeutet, sondern jeweils was ganz Anderes.

So wie Arrakai es benutzt, ist die Raumzeit an jeder Stelle flach, egal wie gekrümmt sie an dieser Stelle ist. Und an einem Punkt kann sie (oder nur der Raum) flach im Sinne ra-raischs und gleichzeitig gekrümmt sein.

Kein Wunder, dass wir da aneinander vorbei reden. Der Antwort auf die Frage, ob die Raumzeit im Erdmittelpunkt gekrümmt ist, und wenn nicht, wie das sein kann, wo da doch keine Gravitation herrscht, dieser Antwort bin ich offenbar keinen Deut näher gekommen.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 13:09 #65764

helmut-wk schrieb: So wie Arrakai es benutzt, ist die Raumzeit an jeder Stelle flach, egal wie gekrümmt sie an dieser Stelle ist.


Das spricht jetzt nicht gerade dafür, dass du meine Ausführungen (oder die ART) verstanden hast... Das soll jetzt keine Spitze sein (auch wenn wir in den letzten Posts beide die ein oder andere verteilt haben), es ist wirklich nur eine Feststellung. Solltest du artikulieren können, wie bzw. weshalb du zu diesem falschen Schluss gekommen bist, dann kann ich gerne nochmal versuchen, das besser zu erklären. Wäre doch gelacht, Rainer und du haben mich am Ende ja auch davon überzeugen können, dass man einen 2-Torus nicht zu einem Rechteck machen kann. ;)

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 14:00 #65768

Arrakai schrieb:

helmut-wk schrieb: So wie Arrakai es benutzt, ist die Raumzeit an jeder Stelle flach, egal wie gekrümmt sie an dieser Stelle ist.


Das spricht jetzt nicht gerade dafür, dass du meine Ausführungen (oder die ART) verstanden hast...

Ich denke eher, dass du mich nicht verstanden hast. ich habe den Begriff Krümmung erläutert. Das hat was mit Geometrie (genauer: Nichteuklidischer Geometrie) zu tun. Die ART kommt nur insoweit ins Spiel, als da auch nichteuklidische Geometrie eine Rolle spielt. Aber solange es nicht um den Erdmittelpunkt oder so geht, sondern allgemein um Krümmung, ist das schlicht Geometrie.

Im einfachsten Fall (positive Krümmung) kannst du die Stärke der Krümmung mit Hilfe von Krümmungsradien angeben. Und du kannst für einen Punkt angeben, wie stark die Krümmung ist (in der Theorie). Also für den kleinsten denkbaren Bereich.

Was du in Zusammenhang mit "flach"meinst, ist die Abweichung von der euklidischen Geometrie bedeutet, die die Krümmung für einen Bereich bedeutet bzw. "verursacht" (wenn dir der Ausdruck lieber ist). Die geht natürlich gegen Null, wenn die Größe des Bereichs gegen Null geht. Das ist aber nicht die Krümmung.

Um das zu erklären, hab ich ja den Vergleich mit der Ableitung einer Funktion gebracht: wenn x1 gegen x2 geht, geht auch die Differenz f(x2)-f(x1) gegen Null, Das heiß aber doch nicht, dass die Steigung gegen Null geht! Oder nimm meinetwegen die zweite Ableitung, also die Ableitung von f'(x): wenn x1 gegen x2 geht, geht auch die Differenz f'(x2)-f'(x1) gegen Null. Heißt das, dass die Krümmung gegen Null geht, also jede Funktion überall lokal ungekrümmt ist? Du sagst sicher "Nein!". Wieso soll also die Krümmung der Raumzeit gegen Null gehen, wenn die Abweichung von der euklidischen Geometrie nur deswegen gegen Null geht, weil die Größe des betrachteten Bereichs gegen Null geht?

Wenn das nicht hilft, weiß ich auch nicht mehr weiter.

PS: Jetzt bitte nicht auf den Unterschied zwischen reinem Euklid und Minkowski hinweisen, der hat mit dieser Frage nichts zu tun. Könnte aber natürlich wichtig werden, wenn es um konkrete Krümmungen der Raumzeit geht.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 15:01 #65770

helmut-wk schrieb:

Arrakai schrieb:

helmut-wk schrieb: So wie Arrakai es benutzt, ist die Raumzeit an jeder Stelle flach, egal wie gekrümmt sie an dieser Stelle ist.


Das spricht jetzt nicht gerade dafür, dass du meine Ausführungen (oder die ART) verstanden hast...

Ich denke eher, dass du mich nicht verstanden hast. ich habe den Begriff Krümmung erläutert. Das hat was mit Geometrie (genauer: Nichteuklidischer Geometrie) zu tun. Die ART kommt nur insoweit ins Spiel, als da auch nichteuklidische Geometrie eine Rolle spielt. Aber solange es nicht um den Erdmittelpunkt oder so geht, sondern allgemein um Krümmung, ist das schlicht Geometrie.


** Gelöscht **

Lass es mich anders formulieren, als es vorher hier stand. Die rein geometrische Sicht wird nicht ausreichen, um zu verstehen, was ich meine. Du kannst die ART nicht außen vorlassen. Ich muss aber in mich gehen, um das sinnvoll zu formulieren.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 17:48 #65781

Ich habe gestern nochmal bei MTW nachgesehen:
Die Raumzeit ist gekrümmt, wenn zwei Parallelen nicht parallel weiterlaufen.
Dies entspricht der Definition über den Parallelentransport oder die Winkelsumme im Dreieck.

Ob oder wie man Zeit und Raum gesondert betrachten kann oder muss, habe ich nirgends gefunden, aber Parallelen sind dann nicht mehr parallel, wenn sich ihr Abstand verändert.

Und genauso kann sich der Zeitfluss von einem Ort zum anderen verändern. Eine zeitliche Parallele existiert dann, wenn die Uhren die gleiche Uhrzeit anzeigen. Die Zeit ist gekrümmt, wenn die Uhren verschiedene Zeiten anzeigen. ...würde ich sagen.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 19:09 #65787

ra-raisch schrieb: Ich habe gestern nochmal bei MTW nachgesehen:
Die Raumzeit ist gekrümmt, wenn zwei Parallelen nicht parallel weiterlaufen.
Dies entspricht der Definition über den Parallelentransport oder die Winkelsumme im Dreieck.

Ob oder wie man Zeit und Raum gesondert betrachten kann oder muss, habe ich nirgends gefunden, aber Parallelen sind dann nicht mehr parallel, wenn sich ihr Abstand verändert.

Und genauso kann sich der Zeitfluss von einem Ort zum anderen verändern. Eine zeitliche Parallele existiert dann, wenn die Uhren die gleiche Uhrzeit anzeigen. Die Zeit ist gekrümmt, wenn die Uhren verschiedene Zeiten anzeigen. ...würde ich sagen.


Paralleltransport, würde ich mal vorschlagen. Leider keine Zeit momentan....

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 26 02. 2020 19:45 #65788

Arrakai schrieb: Paralleltransport, würde ich mal vorschlagen.

vor allem ab 3min : 45s
Folgende Benutzer bedankten sich: helmut-wk, Arrakai

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 27 02. 2020 05:41 #65799

ra-raisch schrieb:
Arrakai schrieb: Paralleltransport, würde ich mal vorschlagen.

vor allem ab 3min : 45s

Danke für das Video. Ist interessant, ich hab auch was gelernt.

Jetzt ein paar kurze Kommentare:
  • Wer das Video nicht ganz anschaut, kann leicht einen falschen Eindruck bekommen: Zwar geht es letztlich im intrinsische Krümmung, aber die meisten Beispiele handeln von Oberflächen mit externer Krümmung (im 3D-raum gekrümmte Fläche). Erst am Ende wird deutlich, was intrinsisch ist. Wobei dann auch noch sein kann, dass jemand meint, jede intrinsische Krümmung wär das Ergebnis einer extrinsischen Krümmung, die die "Flachländer" nur nicht bemerken (und analog in höheren Dimensionen). Aber die ART beschreibt ja eine gekrümmte Raumzeit ohne externe Krümmung, d.h. es gibt keine fünfte Dimension, in der die (3+1)-dimensionale Raumzeit gekrümmt ist.
  • Die (externe) Krümmung ist definiert als das Produkt zweier inverser Krümmungsradien, also für gleichmäßige Krümmung (Kugel!) als inverse Quadrat des Krümmungsradius dieser Kugel. Meine bisherigen Ausführungen muss ich also dahin korrigieren, dass es um das Quadrat des entsprechenden Krümmungsradius geht.
  • Die Definition über Paralleltransport und Winkeländerung nach Durchlaufen einer geschlossenen Kurve (Video) und meine Beschreibung per Winkelsumme im Dreieck sind äquivalent. Ist vielleicht nicht auf den ersten Blick zu sehen, für unsere Diskussion reicht der Hinweis, dass ein Dreieck als Weg ein Spezialfall der Methode im Video ist ...
  • Und am Ende geht es natürlich um den Krümmungsradius (ab 10:10).
  • Was ich bezüglich Grenzwert sagte, ist (analog für Paralleltransport) im Video ab 5:51 zu sehen.
  • Das Konzept "Paralleltransport" beseitigt auch die konzeptuellen Schwierigkeiten, die ich mit Dreiecken im Minkowski-Raum hatte, wobei ich jetzt nicht weiß, ob das echte Schwierigkeiten sind oder nur mangelndes Vorstellungsvermögen meinerseits, aber die Frage brauchen wir natürlich nicht zu beantworten.

Ich hoffe, das überzeugt jetzt Arrakai ...

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Letzte Änderung: von helmut-wk. Begründung: Tippfehler ... (Notfallmeldung) an den Administrator

Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 27 02. 2020 06:58 #65800

helmut-wk schrieb: Ich hoffe, das überzeugt jetzt Arrakai ...


Der Paralleltransport ist jetzt nichts wirklich Neues... Ich selbst hatte darauf hingewiesen, dass ich ihn allen anderen Verfahren vorziehe. Aus dem Paralleltransport eines Vierervektors resultiert der Riemann‘sche Krümmungstensor, was dir einen Hinweis darauf geben könnte, weshalb die Zeit die Raumzeit krümmt. Unabhängig davon resultiert die lokale Flachheit aus der Energieerhaltung, wie bereits kurz erläutert. Also schon rein aus der Theorie, nicht aus geometrischen Überlegungen heraus.

Aber wie gesagt, ich habe momentan wenig bis gar keine Zeit.

PS.: Von was genau sollte mich das Video eigentlich überzeugen?

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 27 02. 2020 08:35 #65805

Arrakai schrieb: PS.: Von was genau sollte mich das Video eigentlich überzeugen?

Bisher hatte ich den Eindruck, dass du darauf bestehst, dass (lokal) flach ein Gegensatz wäre zu (lokal) gekrümmt. Weil du ja z.B. auf meinen Hinweis, dass beides miteinander vereinbar ist, behauptet hast, ich hätte die ART nicht verstanden.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 27 02. 2020 11:01 #65811

Ich kenne das Video, halte jedoch das zur inneren Krümmung gezeigte schlicht für falsch oder zumindest höchst irreführed.

Es ist auch völlig kontraintuitiv eine abwickelbare (also flache) Fläche intrinsisch krumm zu nennen.
Ich nehme an mit Innerer Krümmung ist die Gaußsche Krümmung gemeint, die sich nur um die Innere Geometrie ungeachtet einer Einbettung in einen höherdimensionalen Raum kümmert.

Wikipedia schreibt dazu:

  • Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius r {\displaystyle r} r ist die gaußsche Krümmung gegeben durch K = 1 / r2.
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders ist die gaußsche Krümmung gleich 0.
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiskegels ist die gaußsche Krümmung gleich 0.


Die englische Wikipedia schreibt:

An intrinsic definition of the Gaussian curvature at a point P is the following: imagine an ant which is tied to P with a short thread of length r. It runs around P while the thread is completely stretched and measures the length C(r) of one complete trip around P. If the surface were flat, the ant would find C(r) = 2πr. On curved surfaces, the formula for C(r) will be different, and the Gaussian curvature K at the point P can be computed by the Bertrand–Diguet–Puiseux theorem as ...


Das einzige Problem beim Kegel stellt die Singularität an der Spitze dar. Dann und nur dann wenn die Singularität innerhalb der Figur zur Bestimmung der Krümmung liegt zeigt sich eine Abweichung. Die Winkelsummen in Dreiecken auf der Mantelfläche betragen 180°, Durchmesser und Umfang von Kreisen verhalten sich wie U=2πr.
Eine Fläche die über die Singularität geht ist jedoch nicht integrierbar. (Die Figur entlang die Vektoren einmal herum verschoben werden schließt die Singularität mit ein)

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 27 02. 2020 11:43 #65816

Merilix schrieb: Ich kenne das Video, halte jedoch das zur inneren Krümmung gezeigte schlicht für falsch oder zumindest höchst irreführed.

Könnte es sein, dass du es nicht ganz gesehen hast?

Ich hab mir es jetzt nicht noch mal angeschaut, aber:

Merilix schrieb: Es ist auch völlig kontraintuitiv eine abwickelbare (also flache) Fläche intrinsisch krumm zu nennen.

Du beziehst dich vermutlich auf den Kegel, Da wird die Krümmung einem Gebiet zugeschrieben. Und ausdrücklich gesagt, dass das Gebiet flach ist, wenn die Kegelspitze nicht umfahren wird. Und am Ende noch mal deutlich gemacht, dass die Krümmung nur in einem Punkt liegt, in der Singularität an der Kegelspitze. Alles andere ist flach.

Merilix schrieb: Ich nehme an mit Innerer Krümmung ist die Gaußsche Krümmung gemeint, die sich nur um die Innere Geometrie ungeachtet einer Einbettung in einen höherdimensionalen Raum kümmert.

Jepp.

Merilix schrieb: IWikipedia schreibt dazu:

Kam (wenn mich mein Gedächtnis nicht täuscht) alles im Video vor. Siehe die Anmerkungen oben (die hatte ich formuliert, bevor ich die Wiki-Zitate gelesen habe).

Merilix schrieb: Eine Fläche die über die Singularität geht ist jedoch nicht integrierbar. (Die Figur entlang die Vektoren einmal herum verschoben werden schließt die Singularität mit ein)

Ich bin jetzt nicht sicher, was du genau mit "integrierbar" meinst. Die Größe der vom geschlossenen Weg umschlossenen Fläche lässt sich auch berechnen, wenn die Kegelspitze eingeschlossen ist. Die Krümmung in der Kegelspitze (der Singularität) ist natürlich unendlich, aber das hast du wohl nicht gemeint ...

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 27 02. 2020 19:01 #65842

helmut-wk schrieb:

Arrakai schrieb: PS.: Von was genau sollte mich das Video eigentlich überzeugen?

Bisher hatte ich den Eindruck, dass du darauf bestehst, dass (lokal) flach ein Gegensatz wäre zu (lokal) gekrümmt. Weil du ja z.B. auf meinen Hinweis, dass beides miteinander vereinbar ist, behauptet hast, ich hätte die ART nicht verstanden.


Hmmmm... Mein Hinweis bzgl. ART hat sich nach meiner Erinnerung nur darauf bezogen, dass ein rein geometrischer Erklärungsversuch zu kurz greift. Ich versuche nochmal, das ganze zusammenhängend darzustellen, um die Gefahr des klassischen Sender-/Empfänger-Problems zu minimieren... ;)

Bei der Raumzeitkrümmung handelt es sich um eine intrinsische Krümmung, da die Raumzeit nicht in einen Raum höherer Dimension eingebettet ist. Diese Krümmung kann vollständig mithilfe des Riemann'schen Krümmungstensors beschrieben werden. Da dieser auf dem Paralleltransport basiert, und der Paralleltransport und deine Beschreibung per Winkelsumme im Dreieck äquivalent sind, kann ich deinen Ausführungen zur Geometrie im Wesentlichen zustimmen (im Wesentlichen deshalb, weil ich jetzt nicht mehr alle Details im Kopf habe). Ich kann mich jetzt ehrlich gesagt auch nicht daran erinnern, das (bewusst) anders dargestellt zu haben.

Die Diskussion hat sich nach meinem Eindruck an der Aussage entzündet, dass die Raumzeit überall lokal flach ist. Lokal flach heißt wie gesagt einfach, dass die Krümmung in einem hinreichend kleinen Bereich nicht mehr messbar ist. Als Beispiel für solche Messungen habe ich den Freifaller in seiner Box angeführt. Sobald er Gravitations- und Trägheitskräfte mit keinem Experiment (innerhalb seiner Box) unterscheiden kann, gilt für ihn das Äquivalenzprinzip.

Die Notwendigkeit, dass die Raumzeit lokal flach sein muss, folgt direkt aus der ART. Damit die Energieerhaltung gewährleistet ist, muss die Raumzeit divergenzfrei sein. Da der Energie-Impuls-Tensor T die Quelle der Raumzeitkrümmung ist, muss also \( \nabla T = 0 \) gelten. Und wegen (vereinfacht) G = T muss natürlich auch die Divergenz des Einsteintensors G verschwinden. Die Raumzeit ist dadurch lokal flach, es gilt die SRT als Grenzfall der ART. Da der Riemann’sche Krümmungstensor nicht zwingend identisch 0 sein muss, kann die Raumzeit trotzdem intrinsisch gekrümmt sein.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 27 02. 2020 19:04 #65843

helmut-wk schrieb:

Merilix schrieb: Ich kenne das Video, halte jedoch das zur inneren Krümmung gezeigte schlicht für falsch oder zumindest höchst irreführed.

Könnte es sein, dass du es nicht ganz gesehen hast?

nein.




Ich habe die meisten Videos von Eugene Khutoryansky mittlerweile mehrfach gesehen. Auch dieses.
Im Grunde stimmst du mir ja zu und ich dir. Du hattest ja selbst geschrieben das es irreführend ist.

Die Flachheit des Kegels erwähnt Eugene nur kurz ganz am Anfang. Im weiteren Verlauf entsteht der Eindruck das der Kegelmantel selbst intrinsisch gekrümmt sei. Das ist jedoch nicht der Fall wie du auch richtig erwähnt hast.

helmut-wk schrieb: Ich bin jetzt nicht sicher, was du genau mit "integrierbar" meinst.

Du hast recht, ich hätte "differenzierbar" schreiben sollen. Mein Fehler.

helmut-wk schrieb: Die Krümmung in der Kegelspitze (der Singularität) ist natürlich unendlich, aber das hast du wohl nicht gemeint ...

Es gibt dort eigentlich garkeine Krümmung, sie ist für diesen Punkt nicht definiert. Allenfalls aus einer Grenzwertbetrachtung könnte man dort K=unendlich definieren.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 28 02. 2020 07:33 #65872

Arrakai schrieb: Hmmmm... Mein Hinweis bzgl. ART hat sich nach meiner Erinnerung nur darauf bezogen, dass ein rein geometrischer Erklärungsversuch zu kurz greift. Ich versuche nochmal, das ganze zusammenhängend darzustellen, um die Gefahr des klassischen Sender-/Empfänger-Problems zu minimieren... ;)

Wenns um die ART geht, reicht natürlich irgendwann die Geometrie nicht aus. Aber wir hatten über Flachheit und intrinsische Krümmung diskutiert, das ist eine geometrische Frage, und dafür reicht die Geometrie. cool)
Arrakai schrieb: Die Diskussion hat sich nach meinem Eindruck an der Aussage entzündet, dass die Raumzeit überall lokal flach ist.

Und ich habe "flach" als Gegensatz zu "gekrümmt" verstanden, also als "lokal euklidisch (bzw. SRT)". Weshalb du dann "gekrümmt" offenbar als "nicht flach" verstanden hast. Und so haben wir aneinander vorbei geredet ...
Arrakai schrieb: Die Notwendigkeit, dass die Raumzeit lokal flach sein muss, folgt direkt aus der ART.

Häufig gibt es für einen Sachverhalt mehrere Beweise. Du hast einen geometriefreien aus der ART, ich habe einen ART-freien aus der Geometrie. Das ist ja kein Widerspruch.
Arrakai schrieb: Da der Riemann’sche Krümmungstensor nicht zwingend identisch 0 sein muss, kann die Raumzeit trotzdem intrinsisch gekrümmt sein.

Darin haben wir beide übereingestimmt, wir haben es nur nicht gewusst ;)

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 28 02. 2020 07:56 #65873

Merilix schrieb: Ich habe die meisten Videos von Eugene Khutoryansky mittlerweile mehrfach gesehen. Auch dieses.
Im Grunde stimmst du mir ja zu und ich dir. Du hattest ja selbst geschrieben das es irreführend ist.

Ich hatte eine anderen Punkt gemeint als du, also hatte ich die nicht zugestimmt. Aber ich werd dir jetzt auch nicht weiter widersprechen.

Merilix schrieb: Die Flachheit des Kegels erwähnt Eugene nur kurz ganz am Anfang. Im weiteren Verlauf entsteht der Eindruck das der Kegelmantel selbst intrinsisch gekrümmt sei. Das ist jedoch nicht der Fall wie du auch richtig erwähnt hast.

So gegen Ende wird das auch noch mal kurz erwähnt. Aber du hast recht: die Info kann schnell untergehen.

Merilix schrieb:

helmut-wk schrieb: Die Krümmung in der Kegelspitze (der Singularität) ist natürlich unendlich, aber das hast du wohl nicht gemeint ...

Es gibt dort eigentlich garkeine Krümmung, sie ist für diesen Punkt nicht definiert. Allenfalls aus einer Grenzwertbetrachtung könnte man dort K=unendlich definieren.

Genau diese Definition macht das Video auch. Aber natürlich kann man auch "undefiniert" sagen.

Und noch eine Anmerkung zu einem echten Fehler im Video:

Gegen Ende kommt ja die Grenzwertbildung für die Singularität mit Hilfe einer Kugel. Im Englischen wird korrekt gesagt, dass sie sich in den Kegel einschmiegt, also am Breitenkreis, der dem Öffnungswinkel des Kegels entspricht, den Kegel berührt. In der deutschen Übersetzung ist dagegen von einer "Halbkugel" die Rede. Das ist aber erkennbar nicht das, was gemeint ist, auch wenn es natürlich ebenfalls zum Grenzwert unendlich führt. Aber wenn das Verfahren analog in einem Fall benutzt wird, in dem der Grenzwert nicht unendlich ist, könnte das zu einem falschen Grenzwert führen.

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Letzte Änderung: von helmut-wk. Begründung: Typos (Notfallmeldung) an den Administrator

Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 28 02. 2020 09:24 #65874

helmut-wk schrieb: Und noch eine Anmerkung zu einem echten Fehler im Video:
...

Du wirst lachen, das wollte ich auch erwähnen hab es aber dann gelassen um den Post nicht weiter aufzublähen.
"Halbkugel" hätte dasProblem das dort die Krümmung von 0 auf einen konstanten Wert springt. Das müsste schon eine andere Fläche sein, Ob die einen speziellen Namen hat weis ich gerade nicht. (+das könnten bikubische C² Splines sein...)

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 28 02. 2020 12:12 #65882

Merilix schrieb: Du wirst lachen, das wollte ich auch erwähnen hab es aber dann gelassen um den Post nicht weiter aufzublähen.

Den "Witz" kann ich noch steigern: Ich hätte das schon einen Beitrag eher schreiben können, es dann aber erst mal gelassen ...

Merilix schrieb: "Halbkugel" hätte dasProblem das dort die Krümmung von 0 auf einen konstanten Wert springt.

Das gilt aber genauso für die Methode im Video, schließlich bleibt die Krümmung gleich, egal wie groß der jeweilige Ausschnitt von der Kugeloberfläche ist.

Das ist aber nicht schlimm, das ist ja nur ne Hilfskonstruktion, um bei der Singularität zum Grenzwert unendlich zu gelangen.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 05 03. 2020 08:12 #66218

So, nachdem die Missverständnisse geklärt sind, sich alle (falls notwendig) beruhigt haben und ich jetzt was Zeit übrig habe ... ;)

würde ich gerne auf die Frage zurückkommen, um die es mir ging:

Ich hatte ja gesagt, dass die Raumzeit am Mittelpunkt der Erde nicht gekrümmt ist, und dem wurde widersprochen. Da mir das nicht einleuchtete, habe ich nachgefragt, ich versuche zu verstehen wie das sein kann. Und dann kam das Durcheinander mit flach oder gekrümmt, wo wir zum Teil erheblich aneinander vorbei geredet haben.

Wenn es um die Krümmung der Raumzeit beispielsweise an der Erdoberfläche geht, leuchtet mir das ein:
Wenn jemand hochspringt und am selben Punkt der Erdoberfläche landet, hat er eine andere Geschwindigkeit (erst nach oben, bei der Landung nach unten). Aber da er sich an einer Geodäte bewegt hat, ist das ein Paralleltransport. Ergänze ich das um einen "Transport" durch die Zeit (aber immer am selben Punkt) zum Zeitpunkt des Absprungs, um eine geschlossene Kurve zu erhalten, ist der Vierervektor gedreht. Ich könnte das jetzt nicht korrekt beschreiben, wie die Drehung aussieht (lasse es mir aber gerne erläutern), aber das leuchtet mir intuitiv ein.

Aber wie ist das am Erdmittelpunkt? Da heben sich die Anziehungskräfte der umgebenden Erdmassen auf, also gibt es keine Gravitation. Wo soll da eine Drehung des Vierervektors herkommen, wenn ich da einen Vektor in einer geschlossene Kurve parallel transportiere? (Natürlich gibt es eine minimale Drehung, weil es etwas Gravitation gibt, sobald ich den Mittelpunkt verlasse, aber es geht ja um den Mittelpunkt).

Ich sage ja nicht, dass ich recht habe - aber ich hätte gerne eine Antwort, die mir einleuchtet, so dass ich was gelernt habe.

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