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THEMA: Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse?

Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 05 03. 2020 09:32 #66219

Einen einzelnen Punkt isoliert von seiner Umgebung zu betrachten ergibt wenig Sinn.
Das letzte Video von Hartmut Zohm hast du gesehen?
Das geht auch in die Richtung...


PS:
Es geht da zwar um Druck aber letztlich auch darum das man die Verhältnisse an einen einzelnen Punkt nicht isoliert von der Umgebung betrachten kann.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 05 03. 2020 11:53 #66221

Merilix schrieb: Einen einzelnen Punkt isoliert von seiner Umgebung zu betrachten ergibt wenig Sinn.

Wie kommst du auf die Idee, dass ich einen Punkt isoliert betrachten will?

Natürlich muss man die Umgebung mit einbeziehen. Gerade die Methode des Paralleltransports (die ich explizit erwähnt habe) macht dies sogar nötig.

Ich erinnere an das Video, das ra-raisch in Beitrag #65788 gepostet hat. An 5:50 wird erklärt, wie die Krümmung an einem Punkt definiert ist: durch Grenzwertbildung.



Und das hatten wir doch schon mal, erinnerst du dich nicht daran, wie ich (mit einer leicht anderen Darstellung, wie man auf den Betrag der Krümmung einer Fläche kommt) diese Grenzwertbildung mit der Grenzwertbildung einer Ableitung verglichen habe?
  • Ein isolierter Punkt hat weder Krümmung noch Steigung.
  • Du kannst einer Strecke eine Steigung zuordnen, indem du aus den Koordinaten ihrer Endpunkte einen Differenzenquotienten bildest, und einer Fläche eine Steigung zuordnen, indem du eine Parallelverschiebung entlang ihres Rands vornimmst und den Drehwinkel durch die Größe der Fläche teilst, also ebenfalls einen Quotienten bildest.
  • Wenn du die Länge der Strecke bzw. die Größe der Fläche gegen Null gehen lässt, erhältst du einen Grenzwert (bzw. ggf. auch nicht).
  • Wenn der Grenzwert existiert, ist das die Steigung (Ableitung) bzw. Krümmung für den Punkt, der den Grenzwert der Strecke bzw. Fläche bildet.

Und so wie es Funktionen gibt, die an bestimmten Werten die Ableitung 0 (Punkt mit Steigung Null) besitzen, so kann es Flächen geben, obwohl in der Umgebung dieser Punkte die Ableitung von 0 verschieden ist, so kann es auch Flächen geben, die in einem Punkt die Krümmung Null besitzen, aber in der Umgebung dieses Punktes nicht. darauf bezog sich mein Satz:

Helmut schrieb: (Natürlich gibt es eine minimale Drehung, weil es etwas Gravitation gibt, sobald ich den Mittelpunkt verlasse, aber es geht ja um den Mittelpunkt).

Merilix schrieb: Das letzte Video von Hartmut Zohm hast du gesehen?
[...]
PS:
Es geht da zwar um Druck aber letztlich auch darum das man die Verhältnisse an einen einzelnen Punkt nicht isoliert von der Umgebung betrachten kann.


Ich gesteh, dass ich mir das Video nicht angeschaut hatte. Aber jetzt, wo ich es angeschaut habe: Es hilft nicht, denn gestanden verstehe ich nicht, inwiefern das eine Parallele sein soll. Das fängt schon damit an, dass ich erst überlegen musste, wieso das mit hohem Druck und Gravitation Null überhaupt ein Paradox sein sollte.

Die einzige Parallele könnte sein: Der Fragesteller hat das Wesen des Drucks nicht verstanden, und ich versteh das Wesen der Raumzeitkrümmung nicht.

Druck ist (vergröbert gesprochen) eine Kraft, die einzelne Regionen in einem Gas, einer Flüssigkeit o.ä. aufeinander ausüben. Wo keine (anderen) Kräfte herrschen, ist der Druck konstant im Raum.

Mein Beispiel mit dem Paralleltransport lief ja darauf hinaus, dass die Krümmung der Raumzeit im Einsteinschen Raum-Zeit-Kontinuum in erster Annäherung proportional zur Krümmung der Bilder der Geodäten in einem Newtonschen Raumzeitkontinuum (SRT) ist. Falls das nicht stimmt, hilft ein Verweis auf Druck jedenfalls nicht, um zu verstehen, warum das nicht so ist.

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Letzte Änderung: von helmut-wk. Begründung: kleinere Formulierungsfehler (Notfallmeldung) an den Administrator

Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 05 03. 2020 13:27 #66222

helmut-wk schrieb: Ich sage ja nicht, dass ich recht habe - aber ich hätte gerne eine Antwort, die mir einleuchtet, so dass ich was gelernt habe.

Gekrümmt oder nicht gekrümmt.....wie Arrakai schon sagte, ist jeder Punkt ungekrümmt. Was Du vielleicht meinst, ist, dass es sich um einen (lokalen) Extremwert handelt, die erste Ableitung also in alle Richtungen Null wird.

Jedenfalls gilt: die Längen sind im Zentrum unverzerrt und vor allem genauso lang wie im Nullpotential. Je weiter man von außen in die homogene Kugel eindringt, desto kürzer werden die radialen Abstände wieder.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 05 03. 2020 23:09 #66232

ra-raisch schrieb: Gekrümmt oder nicht gekrümmt.....wie Arrakai schon sagte, ist jeder Punkt ungekrümmt.

Wie bitte?
Ein Punkt ist weder gekrümmt noch ungekrümmt. Für eine Krümmung brauchst du mindestens drei Punkte, so wie du für eine Steigung mindestens zwei Punkte brauchst. Aber an einem Punkt kann es Steigung und Krümmung geben.
ra-raisch schrieb: Was Du vielleicht meinst, ist, dass es sich um einen (lokalen) Extremwert handelt, die erste Ableitung also in alle Richtungen Null wird.

Nö. Das Krümmung erste Ableitung wär, so einen Unsinn hab ich nie behauptet.
ra-raisch schrieb: Jedenfalls gilt: die Längen sind im Zentrum unverzerrt und vor allem genauso lang wie im Nullpotential. Je weiter man von außen in die homogene Kugel eindringt, desto kürzer werden die radialen Abstände wieder.

Verzerrung und Krümmung sind zwei verschiedene Sachen.

Wenn an jedem Punkt eines (n-dimensionalem) Raums exakt die gleiche Verzerrung herrscht, ist der Raum (intrinsisch) ungekrümmt. Ok, bei radialen Koordinaten ist das nicht unbedingt gleichmäßig (in zwei Dimensionen haben wir dann einen "Kegel", da gibt es dann im Zentrum eine Singularität, aber ansonsten ist er ungekrümmt).

EDIT: Natürlich gibt es einen Zusammenhang zwischen Krümmung und Verzerrung. Ohne Verzerrung keine Krümmung (weil "nirgendwo Verzerrung" ein Spezialfall von "überall die gleiche Verzerrung" ist).

Und ich wundere mich. Ich dachte, es wäre geklärt, dass Krümmung über Parallelverschiebung (bzw. was mathematisch auf das Gleiche hinausläuft, über Winkelsummen im Dreieck) und Quotientenbildung (gibts für den "Krümmungsquotienten" einen Fachausdruck?) definiert ist. Und jetzt geht die "Sprachenverwirrung" bezüglich Krümmung von vorne los?

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 06 03. 2020 00:52 #66233

helmut-wk schrieb: Und jetzt geht die "Sprachenverwirrung" bezüglich Krümmung von vorne los?

Die wurde nie geklärt.

Es gibt den Krümmungsradius und der Reziprokwert ist die Krümmung, üblich meint man aber die Flächenkrümmung, wenn man von der Krümmung redet:
K = 1/R² bzw K = 1/(rmax·rmin)
Wie man da die Krümmung der Zeit berücksichtigen könnte, ist mir allerdings jetzt nicht klar. (außer auf Riemann oder Ricci zurückzugreifen)

Und bezüglich der räumlichen Krümmung ist das Zentrum im Grenzwert flach, eben weil der Gradient in alle Richtungen Null ist. Das ist aber bei jedem Extremwert so.

Achso ja klar die Raumzeitkrümmung ist natürlich (so ähnlich in www.physik.uni-regensburg.de/forschung/g...-RZ/Feldgl.Eiber.pdf )
Kμλ = Rμλ - R·gμλ/2 = κ·Tμλ = κ·gμλ ·dia.{c²ρ,p,p,p}μλ
Was muss man da nun für das Zentrum einsetzen?
Ist das Ergebnis dann der Kretschmann-Skalar?

Der metrische Tensor der inneren Lösung ergibt im Zentrum (r=0), wenn ich mich nicht irre:
gμλ = dia.{(²(1-rs/R)3-1)c/2,1,0,0}μλ

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 06 03. 2020 04:10 #66236

ra-raisch schrieb:

helmut-wk schrieb: Und jetzt geht die "Sprachenverwirrung" bezüglich Krümmung von vorne los?

Die wurde nie geklärt.

Es gibt den Krümmungsradius und der Reziprokwert ist die Krümmung, üblich meint man aber die Flächenkrümmung, wenn man von der Krümmung redet:
K = 1/R² bzw K = 1/(rmax·rmin)
Wie man da die Krümmung der Zeit berücksichtigen könnte, ist mir allerdings jetzt nicht klar. (außer auf Riemann oder Ricci zurückzugreifen)

K = 1/R² bzw K = 1/(rmax·rmin)
ergibt Einheiten 1/m². Riemannsche Krümmung (Drehwinkel durch Größe der Umfahrenen Fläche) ebenfalls, Und so wie ich das Video verstanden habe, führen beide in externer Krümmung zum gleichen Ergebnis. Und wie die Zeit einzubeziehen wäre, war mir auch unklar, bis ich das Video gesehen habe und das Konzept der Parallelverschiebung und Drehwinkelmessung verstanden habe.
ra-raisch schrieb: Und bezüglich der räumlichen Krümmung ist das Zentrum im Grenzwert flach, eben weil der Gradient in alle Richtungen Null ist. Das ist aber bei jedem Extremwert so.

Flachheit, so wie du sie benutzt, heißt Steigung Null, und klar, die gibts bei jedem Extremwert. Nur Krümmung ist was anderes. Wenn wir eine Kugel im dreidimensionalen Raum betrachten: Da ist die Krümmung überall gleich (1/r² != 0, denn der Radius der Kugel ist natürlich auch Krümmungsradius), aber am obersten Punkt (Maximum) und untersten Punkt (Minimum) ist die Kugelfläche natürlich flach.
ra-raisch schrieb: Achso ja klar die Raumzeitkrümmung ist natürlich (so ähnlich in www.physik.uni-regensburg.de/forschung/g...-RZ/Feldgl.Eiber.pdf )

Um das zu verstehen, muss man wohl Physik studiert haben, mit ist das zu hoch. Mal sehen, ob ich morgen genug Ruhe habe, um mich in "Terminologie" (was bedeutet welcher Buchstabe in den Formeln) und Formalismus einzuarbeiten ...
ra-raisch schrieb: Der metrische Tensor der inneren Lösung ergibt im Zentrum (r=0), wenn ich mich nicht irre:
gμλ = dia.{(²(1-rs/R)3-1)c/2,1,0,0}μλ

Ist das jetzt die Verzerrung oder die Krümmung? Falls Letzteres: geht es da um vier Normalen zu entsprechenden (intrinsisch gekrümmten) Ebenen von Geodäten (wobei 0 dann bedeutet, dass die entsprechende Ebene nicht gekrümmt ist)? Oder bin ich jetzt total auf dem Holzweg?

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 06 03. 2020 10:04 #66237

g ist der metrische Tensor, das ist die Verzerrung, die sich aus der Krümmung ergibt....

Die Grundzüge der Tensor-Mathematik hatten wir schon ein paarmal hier im Forum.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 06 03. 2020 13:25 #66246

ra-raisch schrieb: g ist der metrische Tensor, das ist die Verzerrung, die sich aus der Krümmung ergibt....

Aber daraus die Krümmung abzulesen dürfte schwierig sein. Das wär ja schon bei zwei Dimensionen eine Aufgabe, die mich überfordern würde.

Also die Krümmung müsste man noch ausrechnen ...
ra-raisch schrieb: Die Grundzüge der Tensor-Mathematik hatten wir schon ein paarmal hier im Forum.

Nur einen Beitrag zu finden, der nicht nur das Wort "Tensor" enthält, sondern auch den Begriff erklärt, ist nicht so einfach.

Aber das hat sich gewissermaßen erledigt. Einerseits habe ich in einem Video von Gaßner den Tensor-Begriff im verstanden: Ne Matrix der Koeffizienten einer Gleichung über Vektorprodukte - äh nee, irgendwie steckt da noch ein Formulierungsfehler drin, aber den krieg ich heute abend (KST) nicht ausgebügelt ;)

Vor allen aber: Groschen gefallen. Aus einem unwichtigen Grund (weiß selber nicht mehr genau wieso) hab ich mir das Video davor, also "Allgemeine Relativitätstheorie • Äquivalenzprinzip • Krümmung • AzS (17)" angeschaut - bzw. überflogen (immer wieder mal auf "10 Sekunden überspringen" gedrückt), weil ich das doch schon alles wusste. Bis dann ab Minute 6 erklärt wurde, worin die Krümmung besteht. Die ist nicht, wie ich bisher dachte, direkt an den Bildern der Geodäten im newtonschen bzw. SRT-Raum ablesbar, denn jene Krümmung ist sozusagen das Ergebnis der "Newtonschen Metrik", und mit einer anderen Metrik (beschleunigte Bewegung nach Newton) kann diese Krümmung (lokal) beseitigt werden. Klar, das Äquivalenzprinzip war mir schon geläufig, aber dass die Krümmung der Raumzeit nur an den Effekten "messbar" ist, die sich auch durch "Fahrstuhl-Experimente" o.ä. nicht beseitigen lassen, das habe ich erst jetzt kapiert.

Und dann wirds einfach: In erster Annäherung ergibt sich für die "innere Lösung" eine Krümmung proportional zu r/r, also ein konstanter Term. Und da die Annäherung umso besser ist, je kleiner der Bereich gewählt wird, in dem der Effekt "gemessen" wird (bei nem Gedankenexperiment gibts da ja keine Genauigkeitsgrenzen), ist das der Grenzwert, also ist die Krümmung im Bereich der "inneren Lösung" konstant.

Denkfehler gefunden, innere Lösung verstanden. Die einzige Frage wär noch, ob die Krümmung auch in allen Raumzeitrichtungen gleich ist, ob also in einer Metrik, in der sich die Kugel bewegt, der Raum synchron genauso gekrümmt ist wie bei einer ruhenden Kugel. Das ist zu kompliziert, um das anhand der obigen Überlegungen zu entscheiden, wenn einer was drüber weiß, wüsste ich die Antwort gerne, aber wenn das hier auch niemand sonst beantworten kann, kann ich die Sache auch auf sich beruhen lassen.

Wie man konkret von metrischen Tensor auf das Ausmaß der Krümmung kommt oder wie man in gekrümmter Raumzeit eine Parallelverschiebung durchführt, um dann eine Krümmung zu berechnen, das weiß ich nicht (muss es auch nicht wissen), und wie mir scheint weiß das hier auch sonst niemand. Prof. Dr. Flamm wird es gewusst haben ...

Ob das, was ich über Tensoren gelernt habe (ist ja noch nicht allzu viel) wirklich auf Dauer bei mir hängen bleibt oder ob ich das in drei Jahren wieder vergessen habe, das weiß ich leider nicht ;)

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 06 03. 2020 17:48 #66260

helmut-wk schrieb: ob also in einer Metrik, in der sich die Kugel bewegt, der Raum synchron genauso gekrümmt ist wie bei einer ruhenden Kugel.

Die Krümmung ändert sich nicht durch einen bewegten Beobachter. Natürlich (?) kann die Metrik aus Sicht des bewegten Beobachter gekrümmt sein, aber solange diese Krümmung durch Wahl eines geeigneten Beobachters beseitigt werden kann, liegt keine Krümmung vor.
(das läßt sich sicherlich besser formulieren)

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 07 03. 2020 00:13 #66287

ra-raisch schrieb:

helmut-wk schrieb: ob also in einer Metrik, in der sich die Kugel bewegt, der Raum synchron genauso gekrümmt ist wie bei einer ruhenden Kugel.

Die Krümmung ändert sich nicht durch einen bewegten Beobachter. Natürlich (?) kann die Metrik aus Sicht des bewegten Beobachter gekrümmt sein, aber solange diese Krümmung durch Wahl eines geeigneten Beobachters beseitigt werden kann, liegt keine Krümmung vor.
(das läßt sich sicherlich besser formulieren)

Mit der besseren Formulierung hast du vermutlich Recht, aber ich habe verstanden was du meinst.

Aber ich merke gerade, dass ich die Frage falsch gestellt habe. Die Flammsche innere Lösung ist erst mal eine Lösung für den Raum, also einen synchronen Querschnitt durch die Kugel. Und wenn man also echte Parallelverschiebungen synchron durchführt ("mit unendlicher Geschwindigkeit", wenn ich Verschiebung als Bewegung deute), dann wird die konstante Krümmung herauskommen. Aber wenn nun eine asynchrone Verschiebung betrachtet wird (wie das von mir früher genannte Beispiel des Hochsprungs), also die Kurve in einer Raumzeitebene liegt, die einer Geschwindigkeit entspricht : Ist das immer noch der gleiche Kümmungswert?

Als (hoffentlich richtige) Teil-Antwort fällt mir die Ebene ein, die durch einen Großkreis auf einer Kugelschale (mit Körpermittelpunkt im Zentrum) und die Zeitachse gebildet wird (Geschwindigkeit Null). Die bildet einen Zylinder mit konstanten Querschnitt, denn die Metrik ändert sich ja nicht mit der Zeit. Also ist diese Ebene intrinsisch ungekrümmt. War das mit "der Raum ist gekrümmt, die Zeit nicht" gemeint?

Demnach wäre die Krümmung in Bezug auf Raumzeitrichtungen (Geschwindigkeiten) nicht isotrop. Und da das, was für einen mit v bewegten Beobachter gleichzeitig ist, laut SRT für den unbewegten Beobachter eine Bewegung mit c²/v entspricht, würde ein bewegter Beobachter im Inneren der Kugel für ihn synchron eine andere Krümmung messen. Aber natürlich die Flammsche Krümmung für eine Bewegung, die (für ihn) der Gleichzeitigkeit des unbewegten Beobachter entspricht (-c²/v).

Das ist natürlich keine andere Raumzeitkrümmung. Geschwindigkeitsänderung im Minkowski-Raum entspricht Richtungsänderung (Drehung) im euklidischen Raum. Und so wie jemand an einem Punkt auf einer Oberfläche, an dem die Krümmung je nach Richtung verschieden ist die stärkste Krümmung (kleinster Krümmungsradius) in Richtung rechts-links misst und nach einer Drehung um 90° die stärkste Krümmung in Richtung vorne-hinten (und bei Drehung um andere Winkel in noch anderen Richtungen), so misst auch der bewegte Beobachter die flammsche Kümmung in der Geschwindigkeit, die für ihn der Gleichzeitigkeit der bewegten Kugel entspricht.

Ich denke, ich habe mich klar genug ausgedrückt, und jetzt frag ich, ob das so wie oben beschrieben richtig ist. Mir kommt das jedenfalls alles logisch vor.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 07 03. 2020 01:41 #66291

Tut mir Leid, dass ich nicht ganz folgen kann, der Anfang klang jedenfalls recht gut.

c²/v > c klingt nicht nach etwas Bekanntem.
-c²/v klingt ein bisschen nach dem Potential zB Φs = -c²/2

Ich denke, dass wir bei der Krümmung nicht ohne Formeln weiter kommen. Zuallererst steht (für mich) immer die Vorstellung des gekrümmten Raumes ohne Zeit. Und selbst räumich gibt es eben viele verschiedene Krümmungen. Ein Graf ist gekrümmt, wenn sich die Steigung verändert, was aber (eindimensional) intrinsisch gar nicht messbar ist sondern nur in der Fläche. Und die Krümmung der Zeit kann ich mir gar nicht mehr vorstellen außer eben die radiale Veränderung des Zeitflusses im Gravitationstrichter τ=²(1-rs/r)t.

Aber mal sehen, ob ich morgen mehr verstehe. Gute Nacht.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 07 03. 2020 04:01 #66294

ra-raisch schrieb: c²/v > c klingt nicht nach etwas Bekanntem.
-c²/v klingt ein bisschen nach dem Potential zB Φs = -c²/2

Das ist doch SRT (und die kann ich ziemlich gut). Also:

Nimm zwei Raumzeitpunkte (x1, t1,y,z) und (x2, t2,y,z), die für den Beobachter A gleichzeitig sind (t1 = t2). Für den Beobachter B mit Geschwindigkeit v gegenüber A (Bewegung in x-Richtung) sind sie nicht mehr gleichzeitig, also t1 != t2. Nun kannst du
(x1-x2)/(t1-t2)
bilden, und das ist eine Geschwindigkeit, nur eben nicht die eines materiellen Objekts. Mit Hilfe der Lorentz-Transformation ergibt sie sich als c²/v. Das ist die Geschwindigkeit der Gleichzeitigkeit von A im Koordinatensystem von B. Und da sich die beiden Raumzeitpunkte zueinander im absoluten Anderswo befinden, ist diese Geschwindigkeit natürlich größer als c.

Dies kannst du die auch an einem physikalischen Beispiel verdeutlichen: Die einer Materie zugeordneten Wellenzüge haben für das Teilchen, zu dem sie gehören (das natürlich zu sich selbst in Ruhe ist ;)) unendliche Geschwindigkeit (Raumpunkte der gleichen Phase sind gleichzeitig relativ zum Teilchen). Bei einem bewegten Teilchen mit Geschwindigkeit v ist die Phasengeschwindigkeit (Wellenlänge mal Frequenz) denn auch c²/v.

Die Ähnlichkeit zum Potential ist wohl Zufall.

Genau genommen hab ich mit meinen Überlegungen SRT und ART gemischt, und möglicherweise ist die "Geschwindigkeit der Gleichzeitigkeit eines anderen Beobachter" im gekrümmten Raum nicht überall konstant. Das wär aber jetzt ein Detail, das natürlich die real messbare Krümmung verändert. Aber das "qualitative" Bild, das ich skizziert habe, würde damit nicht verändert.
ra-raisch schrieb: Ich denke, dass wir bei der Krümmung nicht ohne Formeln weiter kommen.

Um die Krümmung für den bewegten Beobachter exakt auszurechnen: ja. Aber mir reicht die "qualitative" Betrachtung.
ra-raisch schrieb: IZuallererst steht (für mich) immer die Vorstellung des gekrümmten Raumes ohne Zeit.

Das ist ja schon in drei Dimensionen unanschaulich. Man muss sich eine geeignete Ebene aussuchen, und deren intrinsische Krümmung berechnen. Wobei dann noch zu beachten ist, dass eine extrinsisch gekrümmte Ebene (z.B. die Erdoberfläche) natürlich eine intrinsische Krümmung besitzt, die mit der Raumzeitkrümmung nichts zu tun hat (bzw. sich zu der "addiert", nach welchen "Additionstheorem" auch immer).

Ich hatte eine geeignete Fläche (Großkreis einer Schale und Zeit) herausgegriffen und aus der Form (Zylinder) geschlossen, dass sie Krümmung Null hat. Eine Fläche durch den synchronen Raum, die einen ausgewählten Raumzeitpunkt mit diesem Zylinder gemeinsam hat, hat natürlich die Flammsche Krümmung. Also ist die Krümmung an einem Punkt nicht isotrop in Bezug auf Geschwindigkeiten (=raumzeitliche Richtungen).
ra-raisch schrieb: Und selbst räumich gibt es eben viele verschiedene Krümmungen. Ein Graf ist gekrümmt, wenn sich die Steigung verändert, was aber (eindimensional) intrinsisch gar nicht messbar ist sondern nur in der Fläche.

Für Krümmung brauchst du mindestens zwei Dimensionen, deshalb hat eine Linie auch keine intrinsische Krümmung. Für mehr als zwei Dimensionen ist die intrinsische Krümmung des Raums die Krümmung einer Fläche im Raum, die im Raum selber (also extrinsisch) nicht gekrümmt ist. Und da es durch einen Punkt in einem drei- (oder mehr-)dimensionalen Raum Flächen mit verschiedener Orientierung gibt, muss die Krümmung an einem Punkt eben für alle Richtungen angegeben werden. Am besten als Normale über der jeweiligen Fläche (hat den mathematischen Vorteil, dass es dann nur eine Normale in zwei Dimensionen gibt, so dass die intrinsische Krümmung dann auch als Skalar betrachtet werden kann).
ra-raisch schrieb: Und die Krümmung der Zeit kann ich mir gar nicht mehr vorstellen außer eben die radiale Veränderung des Zeitflusses im Gravitationstrichter τ=²(1-rs/r)t.

Für die Krümmung brauchst du eine zweite Dimension, also zu der Zeit noch eine Raumdimension. Und dann geht es um die intrinsische Krümmung dieser Fläche. Und weil Pythagoras in der Minkowski-Geometrie nicht gilt (negatives Vorzeichen von c²dt in der zu Pythagoras analogen Formel), wird das wohl auch unanschaulich bleiben, außer du findest einen geeigneten Spezialfall.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 07 03. 2020 10:36 #66306

helmut-wk schrieb: ergibt sie sich als c²/v. Das ist die Geschwindigkeit der Gleichzeitigkeit von A im Koordinatensystem von B.

Interessant, gibt es dazu eine Interpretation? Mit "Geschwindigkeit der Gleichzeitigkeit" kann ich vorerst nichts anfangen. Gibt es eine Formel, in der der Wert Sinn ergibt?

helmut-wk schrieb: Für die Krümmung brauchst du eine zweite Dimension, also zu der Zeit noch eine Raumdimension.

So hatte ich es mir auch vorgestellt, das hatte ich ja schon vorgestellt.

helmut-wk schrieb: Und dann geht es um die intrinsische Krümmung dieser Fläche.

Die gekrümmten Parallelen im Raum ergeben dann einen Unterschied im Zeitlauf, hatte ich vorgeschlagen.

helmut-wk schrieb: Und weil Pythagoras in der Minkowski-Geometrie nicht gilt (negatives Vorzeichen von c²dt in der zu Pythagoras analogen Formel), wird das wohl auch unanschaulich bleiben, außer du findest einen geeigneten Spezialfall.

Da wird es interessant. Wie sieht die Rechnung aus?
Bei Parallelen kann man den seitlichen Abstand messen, bei der Zeit die Uhrzeit.
Aber wenn man diagonal misst?
Hm...seitlicher Abstand setzt ja ein Lot voraus, das scheitert bereits am Winkel, aber das wäre ja auch schon ganz gut.
Und wenn ich an Formeln denke, ist es einfacher v¹×u¹ = 0 sind Parallelen. Das geht auch mit der Zeit, in der Ebene haben wir keine Signatur (?) ...zumindest für das Vektorprodukt wäre dies egal?

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Naja in der Raumzeit haben wir ja das Linienelement für den Abstand, also haben wir Parallelen wenn gilt
0 = Δs²

Allerdings kann v von Zeit und Ort abhängen. Dann geht auch die Gleichzeitigkeit verloren. hm...achso egal, es genügt ja die Beschreibung aus einem IS heraus, s² ist ja dann invariant.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 08 03. 2020 02:00 #66362

ra-raisch schrieb:

helmut-wk schrieb: ergibt sie sich als c²/v. Das ist die Geschwindigkeit der Gleichzeitigkeit von A im Koordinatensystem von B.

Interessant, gibt es dazu eine Interpretation? Mit "Geschwindigkeit der Gleichzeitigkeit" kann ich vorerst nichts anfangen. Gibt es eine Formel, in der der Wert Sinn ergibt?

Wenn dir ein besserer Ausdruck einfällt, schlag ihn vor. Der Ausdruck ist so "hybrid" wie die Eigengeschwindigkeit, und besagt eben, dass Ereignisse, die für A gleichzeitig sind, für B nicht gleichzeitig sind, die Ebene aller für A gleichzeitigen Ereignisse ist für B also nicht rein räumlich, sondern eine Linie, die sich mit einer Geschwindigkeit durch den Raum bewegt.

Interpretieren: Ich wüsste nicht, was es dazu zu interpretieren gibt, das ist doch schon eine Interpretation. Für zwei Punkte kannst du der Strecke zwischen ihnen eine Geschwindigkeit gemäß Δx/Δt ausrechnen. Und das ist beispielsweise bei den Materiewellen sinnvoll (Phasengeschwindigkeit), hab ich ja schon gesagt.

Was Formeln angeht, so haben wir die Lorentztransformation: t'= (t-v/c²x)/√(1-v²/c²), das ist die populärwissenschaftliche Form für eine Bewegung in x-Richtung, da kommt der Kehrwert vor.
ra-raisch schrieb: Die gekrümmten Parallelen im Raum ergeben dann einen Unterschied im Zeitlauf, hatte ich vorgeschlagen.

So wie du Parallelen definierst (konstanter Abstand) gibt es sie nur im Euklidischen Raum. Mit "kreuzen sich nie" gibt es sie auch bei negativer Krümmung, aber dann ist "Paralelle zu Geodäte g durch Punkt P" nicht eindeutig definiert. bei unregelmäßiger Krümmung (mal positiv, mal negativ) wirds haarig.

Im ungekrümmten Minkowski-Raum würde der Test, ob zwei Geraden g und h parallel sind, so aussehen:
  • Wähle in g einen Punkt P.
  • bestimme den minimalen Absrand zwischen P und den Punkten auf h (also den Abstand von P zu h)-
  • Wiederhole das für einen zweiten Punkt Q auf g.
  • Vergleiche die beiden gemessenen Abstände.
Geht wohl eleganter, aber wie ist das beispielsweise mit dem Kreuzprodukt? Reicht es da aus, ein Vorzeichen zu ändern bzw. i (i²=-1) mit einzubringen, oder muss eine ganz andere Formel her (und heißt das dann noch Kreuzprodukt?)? Das sind Fragen, die ich mir noch nie gestellt habe.
ra-raisch schrieb: Da wird es interessant. Wie sieht die Rechnung aus?


Als das mit der Parallelverschiebung erwähnt wurde, dachte ich dass (euch) klar wär, wie die in gekrümmter Raumzeit aussieht. Wenn das jetzt auch ein Problem ist, dann weiß ich jetzt auch nicht weiter. Du kennst dich mit ART (und Tensorrechnung) besser aus als ich, verlange also bitte nicht, dass ich dir was vorrechne ;)

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 08 03. 2020 12:29 #66368

helmut-wk schrieb: Als das mit der Parallelverschiebung erwähnt wurde, dachte ich dass (euch) klar wär, wie die in gekrümmter Raumzeit aussieht. Wenn das jetzt auch ein Problem ist, dann weiß ich jetzt auch nicht weiter. Du kennst dich mit ART (und Tensorrechnung) besser aus als ich, verlange also bitte nicht, dass ich dir was vorrechne ;)

Naja ich hatte meine Frage wohl schon selbst beantwortet:
das Linienelement sagt uns den Abstand in der Raumzeit. Damit können wir beantworten, ob die Raumzeit gekrümmt ist.

Die Krümmung des Raumes allein können wir mit Parallelen berechnen. Ergibt sich nun, dass der Raum ungekrümmt ist, die Raumzeit aber gekrümmt, dann liegt es an der Zeit. Aber ich denke dass die Zeit nur gekrümmt sein kann, wenn wenigstens auch eine Raumdimension gekrümmt ist.

Nehmen wir den Gravitationstrichter und nennen "parallel" (besser: winkeltreu), wenn sich der Winkel nicht ändert. Dann sind zwei radiale Strahlen winkeltreu und bleiben es auch. Die Geodäten bleiben also räumlich "gerade" (ungekrümmt). Das heißt, dass der Raum quer dazu, also orbital, nicht gekrümmt ist, und zwar in jeder orbitalen Richtung, also sphärisch. Gut, das stimmt ja auch mit der Schwarzschildlösung (und der zwangsläufigen Symmetrie, auf der die Schwarzschildlösung ja beruht) überein.

Die Raumzeitkrümmung beschränkt sich daher auf die Zeit und die radiale Richtung, wie man unschwer aus dem Linienelement ablesen kann.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 08 03. 2020 12:55 #66372

helmut-wk schrieb:

Merilix schrieb: Einen einzelnen Punkt isoliert von seiner Umgebung zu betrachten ergibt wenig Sinn.

Wie kommst du auf die Idee, dass ich einen Punkt isoliert betrachten will?

Ganz Einfach:

helmut-wk schrieb: Natürlich gibt es eine minimale Drehung, weil es etwas Gravitation gibt, sobald ich den Mittelpunkt verlasse, aber es geht ja um den Mittelpunkt).

Ich erinnere an das Video, das ra-raisch in Beitrag #65788 gepostet hat. An 5:50 wird erklärt, wie die Krümmung an einem Punkt definiert ist: durch Grenzwertbildung.

Ist schon witzig das du mich jetzt mit meinen eigenen Argumenten versuchst von dem zu überzeugen was ich eh schon weis und hier versucht hatte zu erklären.
Aber egal...

Merilix schrieb: Das letzte Video von Hartmut Zohm hast du gesehen?
[...]
PS:
Es geht da zwar um Druck aber letztlich auch darum das man die Verhältnisse an einen einzelnen Punkt nicht isoliert von der Umgebung betrachten kann.


Die einzige Parallele könnte sein: Der Fragesteller hat das Wesen des Drucks nicht verstanden, und ich versteh das Wesen der Raumzeitkrümmung nicht.
[/quote]
Eine weitere Paralele sehe ich in der Lösung über die Veränderung im Potential und deshalb erwähnte ich das Video. Das Potential ist am Mittelpunk am niedrigsten (neg. Vorzeichen). Die Tangente hat am Mittelpunkt die Steigung 0 (logisch) was aber nicht bedeutet das auch die Krümmung der Raum-Zeit dort 0 sein muss.

Wir hatten allerdings auch schon herausgearbeitet das die reine Raumkrümmung wohl tatsächlich gegen 0 geht. Raum und Raumzeit sind jedoch verschiedene Objekte.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 08 03. 2020 13:32 #66374

Merilix schrieb:

helmut-wk schrieb: Wie kommst du auf die Idee, dass ich einen Punkt isoliert betrachten will?

Ganz Einfach:

helmut-wk schrieb: Natürlich gibt es eine minimale Drehung, weil es etwas Gravitation gibt, sobald ich den Mittelpunkt verlasse, aber es geht ja um den Mittelpunkt).

Dass es um den Mittelpunkt geht, heißt ja nicht, dass ich den losgelöst von seiner Umgebung betrachte. Die Frage war: Ist die Raumzeit im Mittelpunkt gekrümmt? Also geht es um den Mittelpunkt, darauf hatte ich hingewiesen.

Aber nachdem ich meinen Denkfehler eingesehen habe, und verstanden habe, dass die Raumzeit auch im Mittelpunkt gekrümmt ist, müssen wir das nicht alles aufarbeiten.

Merilix schrieb: Wir hatten allerdings auch schon herausgearbeitet das die reine Raumkrümmung wohl tatsächlich gegen 0 geht. Raum und Raumzeit sind jedoch verschiedene Objekte.

Herausgearbeitet? Wo?

"Reine Raumkrümmung", das wär also die intrinsische Krümmung von Ebenen, deren Punkte alle synchron (gleichzeitig) sind (was denn sonst?). Aber nun ist ja Gleichzeitigkeit relativ, in Abhängigkeit von Bewegung. Für zwei Beobachter, die sich relativ zueinander mit vbewegen, sind unterschiedliche Räume gleichzeitig, was für den eine der reinen Raum ohne Zeit ist, ist für den anderen eine bewegte Ebene mit Geschwindigkeit c²/v (in gekrümmter Raumzeit evtl. etwas anders, aber in der SRT ist das der Wert). Wenn alle entsprechenden Ebenen ungekrümmt sind, wüsste ich nicht, wie die Raumzeit überhaupt gekrümmt sein kann.

Ich nehme also an, dass du mit "reiner Raumkrümmung" die Krümmung des Raums meinst, der jeweils gleichzeitig im Koordinatensystem ist, in dem sich die Kugel nicht bewegt. Aber sagt nicht die Flammsche Lösung, dass diese Krümmung stets gleich ist, für das gesamte Innere der Kugel, also auch für den Mittelpunkt?

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 08 03. 2020 13:59 #66376

ra-raisch schrieb: Nehmen wir den Gravitationstrichter und nennen "parallel" (besser: winkeltreu), wenn sich der Winkel nicht ändert. Dann sind zwei radiale Strahlen winkeltreu und bleiben es auch.

"Parallel" wär wirklich der falsche Ausdruck, den Parallelen schneiden sich nicht. Bei "winkeltreu" hab ich begriffliche Schwierigkeiten: was heißt "wenn sich der Winkel (nicht) ändert"? Ein Winkel ist eine von zwei Geraden (in gekrümmten Räumen also: zwei Geodäten) begrenzte Fläche (in der Ebene, die durch die Geodäten definiert ist). Um zu einem anderen Winkel zu kommen, müsste der Schnittpunkt der Geodäten geändert werden ...
ra-raisch schrieb: Die Geodäten bleiben also räumlich "gerade" (ungekrümmt).

Ich frag mich gerade, ob du da eine Schlussfolgerung ziehst, die voraussetzt, dass der Raum ungekrümmt ist. Aber vielleicht hab ich einfach nur nicht verstanden, was du sagen willst.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 08 03. 2020 14:39 #66378

helmut-wk schrieb: Aber nachdem ich meinen Denkfehler eingesehen habe, und verstanden habe, dass die Raumzeit auch im Mittelpunkt gekrümmt ist, müssen wir das nicht alles aufarbeiten.

Merilix schrieb: Wir hatten allerdings auch schon herausgearbeitet das die reine Raumkrümmung wohl tatsächlich gegen 0 geht. Raum und Raumzeit sind jedoch verschiedene Objekte.

Herausgearbeitet? Wo?

Noch relativ am Anfang nachdem Martin Bäckers Blog ins Spiel kam.
Vorher dachte ich auch noch das das auch für reine Raumkrümmung gelten würde.

"Die Metrik im Innern der Erde sieht also anders aus – der “Überschussradius” aus dem zweiten Teil wird im Innern der Erde wieder kleiner, weil immer weniger Masse in den gezeichneten Kreis eingeschlossen wird, die den Raum krümmt. Der “Überschussradius” ist also im Zentrum der Erde Null, nimmt dann stetig zu, bis er an der Erdoberfläche einen Maximalwert erreicht. "
Und die Grafik zur illustration hat mich eines besseren belehrt.

Aber schau dir das am besten selbst nochmal an:
scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011...rummt-teil-vi/?all=1
besonders die beiden Grafiken unter "Die Raumkrümmung im Erdinnern"
und weiter unten "Die Raumzeitmetrik"
mit besonderem Augenmerk auf die Einheiten an den senkrechten Achsen.
...

helmut-wk schrieb: "Reine Raumkrümmung", das wär also die intrinsische Krümmung von Ebenen, deren Punkte alle synchron (gleichzeitig) sind (was denn sonst?).

Muss man das so kompliziert ausdrücken? Raum ist R3, da kommt kein t oder tau vor und deshalb auch keine Relativität der Gleichzeitigkeit oder irgendwas mit Zeit. Ist alles rein statisch. Mehr hat das nicht zu bedeuten^^

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 08 03. 2020 14:46 #66379

helmut-wk schrieb: Aber sagt nicht die Flammsche Lösung, dass diese Krümmung stets gleich ist, für das gesamte Innere der Kugel, also auch für den Mittelpunkt?

Nein, das gilt nur für eine Hohlkugel.

Vielleicht sollten wir überhaupt vom "Zentrum" zur Hohlkugel wechseln, dann wird vieles einfacher und klarer.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 08 03. 2020 16:03 #66384

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Nein, das gilt nur für eine Hohlkugel.
Vielleicht sollten wir überhaupt vom "Zentrum" zur Hohlkugel wechseln, dann wird vieles einfacher und klarer.


Bestimmt allg. hilfreich:
books.google.pt/books?id=WfLbCwAAQBAJ&pg...K%C3%BCmmung&f=false

GZ.


"Die reinste Form des Wahnsinns ist es, alles beim Alten zu lassen und gleichzeitig zu hoffen, dass sich etwas ändert". Albert Einstein

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 09 03. 2020 08:19 #66397

Merilix schrieb: "Die Metrik im Innern der Erde sieht also anders aus – der “Überschussradius” aus dem zweiten Teil wird im Innern der Erde wieder kleiner, weil immer weniger Masse in den gezeichneten Kreis eingeschlossen wird, die den Raum krümmt. Der “Überschussradius” ist also im Zentrum der Erde Null, nimmt dann stetig zu, bis er an der Erdoberfläche einen Maximalwert erreicht. "

Ja und? Eine Kugeloberfläche ist gleichmäßig gekrümmt, aber wenn du jetzt Breitenkreise um den Nordpol betrachtet, nimmt da auch der Überschussradius ab, je näher man dem Nordpol kommt. Das liegt daran, dass eine hinreichend kleine Fläche annähernd ungekrümmt ist,. je kleiner, desto besser ist diese Näherung. Und das gilt für so ziemlich jede Krümmung (Ausnahmen gibts bei Singularitäten). Also gilt das auch für den Erdmittelpunkt. Über die Krümmung ist damit noch nichts ausgesagt.

Merilix schrieb: Aber schau dir das am besten selbst nochmal an:
scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011...rummt-teil-vi/?all=1
besonders die beiden Grafiken unter "Die Raumkrümmung im Erdinnern"

Nun, die ist mit konstanter Krümmung (wie bei einer Kugel) vereinbar, da wäre für das Innere 1/cos(s) (s: Entfernung zum "Pol", in Einheiten des Krümmungsradius) zu erwarten, und so nach Augenmaß könnte das hinkommen. Aber natürlich ist die weiter oben im Blog gemachte explizite Aussage eindeutiger:

Martin Bäcker schrieb: Hier noch einmal ein Bild “von der Seite”, bei dem man den positiv (wie eine Kugel) gekrümmten Bereich im Zentrum besser sieht

Wie eine Kugel - d.h. die Krümmung ist konstant.

Merilix schrieb: und weiter unten "Die Raumzeitmetrik"
mit besonderem Augenmerk auf die Einheiten an den senkrechten Achsen.
...

Aus einer Metrix die Krümmung abzulesen, ist keine triviale Aufgabe. Wenn du dich darin üben willst, nimm dir Kartenprojektionen vor, berechne die Metrik (also wie da Längen verzerrt werden), und dann versuch zu verstehen, woran man sieht, ob eine Metrik nun zu einer konstanten Krümmung (Kugeloberfläche) führt oder nicht. ;)

Ich bin kein Experte für Kartenprojektionen, hab mich damit immerhin so weit beschäftigt, dass ich die Beziehung cos(s) herleiten konnte (von der Bäcker dann den Kehrwert nimmt). Und ich hab auch mal (vor Jahrzehnten) nur für mich aus Spaß "die Welt aus Sicht eines konstant beschleunigten Beobachters" (in der SRT) ausgerechnet, daraus ließe sich auch eine Metrik bilden, die weder für x-Achse (Richtung der Beschleunigung) noch für die Zeitachse konstant ist - in einem ungekrümmten Raum!

Merilix schrieb: Muss man das so kompliziert ausdrücken?

Ich ja ;) Meine erste Reaktion war "Was soll das, Raum uns Zeit lassen sich doch nicht strikt trennen!" und was ich dann formuliert habe, beschreibt gewissermaßen den Denkprozess, bis ich verstanden habe, was du meinst.

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 09 03. 2020 08:45 #66398

ra-raisch schrieb:

helmut-wk schrieb: Aber sagt nicht die Flammsche Lösung, dass diese Krümmung stets gleich ist, für das gesamte Innere der Kugel, also auch für den Mittelpunkt?

Nein, das gilt nur für eine Hohlkugel.

In einer Hohlkugel ist keine Gravitation, absolut Null, und zwar in der ganzen Hohlkugel. Das heißt, du kannst eine Fläche umschreiben, feststellen, dass die ungekrümmt ist, und erhältst somit für jeden Punkt im Inneren der Hohlkugel die Krümmung Null.

Alles andere würde bedeuten, dass ein Physiker in einem isolierten Raum, in dem keine Gravitation herrscht, trotzdem anhand einer Krümmung berechnen kann, ob sich der Raum im schwerefreien Weltraum oder im schwerefreien Inneren einer Hohlkugel befindet. Womit sich die Frage ergibt: welche physikalischen Eigenschaften erlauben es, zwischen Abwesenheit von Gravitation im Weltraum und Abwesenheit von Gravitation im Inneren der Hohlkugel zu unterscheiden, so dass eine unterschiedliche Krümmung gemessen wird?

Natürlich ist überall "Krümmung Null" ein Spezialfall von "überall die gleiche Krümmung", und zwar der Grenzfall der Flammschen Lösung für Dichte Null.

EDIT: Flammschen innnere Lösung

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 09 03. 2020 09:16 #66399

Z. schrieb: Bestimmt allg. hilfreich:
books.google.pt/books?id=WfLbCwAAQBAJ&pg...K%C3%BCmmung&f=false

GZ.

Das war jetzt allerdings über die äußere Lösung (flammsches Paraboloid), nicht über die innere Lösung.

Evtl. hilft Wiki:

https://de.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild-Metrik#Geometrische_Deutung_2 schrieb: Dadurch wird ersichtlich, dass der Raumteil der Metrik das Linienelement auf einer dreidimensionalen Kugelhaube im vierdimensionalen ebenen Raum mit dem Radius und mit dem Öffnungswinkel ηg ist.


Die dabei angegebene Formel ist leider nicht so leicht lesbar zu machen:

d s 2 = R 2 d η 2 + R 2 sin 2 ⁡ ( η ) d θ 2 + R 2 sin 2 ⁡ ( η ) sin 2 ⁡ ( θ ) d ϕ 2 + ( 3 R cos ⁡ η g − R cos ⁡ η ) 2 d ψ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\mathcal {R}}^{2}\mathrm {d} \eta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}(\eta )\,\mathrm {d} \theta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}(\eta )\,\sin ^{2}(\theta )\,\mathrm {d} \phi ^{2}+\left(3{\mathcal {R}}\cos \eta _{\mathrm {g} }-{\mathcal {R}}\cos \eta \right)^{2}\mathrm {d} \psi ^{2}} {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}={\mathcal {R}}^{2}\mathrm {d} \eta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}(\eta )\,\mathrm {d} \theta ^{2}+{\mathcal {R}}^{2}\sin ^{2}(\eta )\,\sin ^{2}(\theta )\,\mathrm {d} \phi ^{2}+\left(3{\mathcal {R}}\cos \eta _{\mathrm {g} }-{\mathcal {R}}\cos \eta \right)^{2}\mathrm {d} \psi ^{2}}

Also besser nachlesen .

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 09 03. 2020 10:24 #66404

helmut-wk schrieb: Die dabei angegebene Formel ist leider nicht so leicht lesbar zu machen:

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\[\mathrm{d}s^2= \mathcal{R}^2 \mathrm{d}\eta^2+\mathcal{R}^2 \sin^2(\eta)\, \mathrm{d}\theta^2 + \mathcal{R}^2 \sin^2(\eta)\, \sin^2(\theta)\, \mathrm{d}\phi^2 + \left( 3\mathcal{R} \cos \eta_\mathrm g - \mathcal{R} \cos \eta \right)^2 \mathrm{d}\psi^2\]

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 09 03. 2020 11:07 #66406

helmut-wk schrieb:

Merilix schrieb: Aber schau dir das am besten selbst nochmal an:
scienceblogs.de/hier-wohnen-drachen/2011...y/66397.html?quote=1
besonders die beiden Grafiken unter "Die Raumkrümmung im Erdinnern"

Nun, die ist mit konstanter Krümmung (wie bei einer Kugel) vereinbar, da wäre für das Innere 1/cos(s) (s: Entfernung zum "Pol", in Einheiten des Krümmungsradius) zu erwarten, und so nach Augenmaß könnte das hinkommen. Aber natürlich ist die weiter oben im Blog gemachte explizite Aussage eindeutiger:
...

Vorsicht: bitte ganz ganz genau aufpassen wo von Raum und wo von Raumzeit gesprochen wird!
Kugelhaube bezieht sich nach meinem Verständnis auf Raum-Zeit!

Ich verweise nochmal ganz besonders auf die erste Grafik

Was genau bedeutet es das die Maßstäbe bei r=0 genau 1 sind und nur langsam ansteigen? Das kann doch nur bedeuten: dIe Raumkrümmung ist dort tatsächlich Null.

assume good faith

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 09 03. 2020 11:08 #66407

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 09 03. 2020 12:16 #66408

Merilix schrieb: [Was genau bedeutet es das die Maßstäbe bei r=0 genau 1 sind und nur langsam ansteigen? Das kann doch nur bedeuten: dIe Raumkrümmung ist dort tatsächlich Null.

Nö, das ist ein Denkfehler. Wie gesagt, so eine Kurve ist (soweit sich das durch "Anschauen" abschätzen lässt) damit vereinbar, dass die Krümmung überall gleich ist.

Mit 1/cos(s) hab ich mich wohl etwas zu weit aus dem Fenster gelehnt, denn die tatsächliche Funktion hängt doch sehr von der Metrik hat. Eine winkeltreue "azimutale" Kartenprojektion hat eine andere Metrik als eine flächentreue oder mittabstandstreue, und ob die Metrik der flammschen Lösung einer der kartographischen Standard-Projektionen entspricht, ist auch nicht klar (ich schätze mal, hier gibt es keinen, der diese Frage beantworten kann). Klar ist nur, dass sie " azimutal " ist.

Etwas anschaulicher: je kleiner die betrachtete Fläche, desto besser ist die Annäherung, sie als ungekrümmt zu beschreiben. D.h. die Auswirkungen der Krümmung verschwinden. Für die innere Lösung bedeutet das: du kannst für einen bestimmten Radius die Kugeloberfläche einem Kegel annähern, und im Zentrum einer waagerechten Fläche.

Oder noch anders: Die Metrik ist überall differenzierbar, und wenn du dir klar macht, dass du die von dir verlinkte Grafik nach links erweitern kann, wo es dann genauso nach oben (größere Werte) geht wie rechts, folgt daraus, dass die Kurve im Mittelpunkt waagerecht ist.

Wie gesagt: aus einer Metrik die Krümmung direkt ablesen ist praktisch unmöglich. Schau dir doch eine "vermittelnde" Weltkarte an. Da hast du in der Mitte kaum Verzerrungen, das ändert sich erst allmählich, und dann zum Rand hin immer stärker. Da kannst du, wenn du willst, auch eine Metrik ausrechnen, und dann ähnliche Kurven finden wie auf "deinen" Grafiken. Die werden auch in der Mitte flach sein und zu Rand immer stärker ansteigen oder ggf. auch fallen. Aber das heißt ja nicht, dass die Erdoberfläche im Golf von Guinea (wo in europäischen Weltkarten die Mitte liegt) weniger gekrümmt ist als in Alaska oder Australien!

Ach ja:
Der von mir zitierte Satz mit "wie eine Kugel" stammt aus dem Abschnitt "Das Gummituch-Modell", der mit den Worten beginnt:

Die Raumkrümmung wird ja gern mit “Gummituch-Modellen” veranschaulicht ...

Also wie kommst du darauf, dass es nicht um die Raumkrümmung geht, also um die Krümmung des synchronen Raums? Kannst du da zitieren, auf welcher Aussage deine Interpretation beruht?

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 09 03. 2020 18:39 #66422

helmut-wk schrieb: Ach ja:
Der von mir zitierte Satz mit "wie eine Kugel" stammt aus dem Abschnitt "Das Gummituch-Modell", der mit den Worten beginnt:
Die Raumkrümmung wird ja gern mit “Gummituch-Modellen” veranschaulicht ...
Also wie kommst du darauf, dass es nicht um die Raumkrümmung geht, also um die Krümmung des synchronen Raums? Kannst du da zitieren, auf welcher Aussage deine Interpretation beruht?

Wie kommst du darauf zu denken das ich denke es würde nicht um Raumkrümmung gehen?
Ich denke allerdings es geht _ in unserer Diskussion _ sowohl um Raumkrümmung alsauch um Raumzeitkrümmung.

Bitte auch nicht übersehen das ich selbst ganz oben mit der Kugelhaube argumentiert habe -- und zwar unter anderem direkt aus der Arbeit Karl Schwarzschilds von 1916 heraus! Ich möchte nicht das hier ein anderer Eindruck entsteht!

Aktuell geht es hier um die Raumkrümmung und wie sie von Martin Bäcker erklärt wurde und die daraus gezogene Schlussfolgerung die Raumkrümmung (und nur diese!) sei im Zentrum 0. Dabei bitte genau aufpassen! Etwas zu zitieren was er erst weiter hinten im Block unter RaumZeit-Krümmung oder dem Flammschen Parabolid schreibt hilft an der Stelle nicht.

Soweit zur Vorrede.
Jetzt nochmal ins Deteil und zwar genau auf die Grafik von MB die ich da verlinkt habe.
Abstand = 1 bei r=0 bedeutet das dort, im unmittelbaren Umfeld von r=0 die Maßstäbe unverzerrt sind, das radiale Längen Maßstabsgerecht sind, das Winkelsummen in (infinitesimal kleinen) Dreiecken = 180° sind etc. pp. Das heist: dort muss die Raumkrümmung (ohne Zeit!) gegen Null konvergieren.

...
muss Schluss machen und unfertig senden....

assume good faith

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Zentrum der Erde, jedes Himmelskörpers eine Vakuum Blase in Relation zur Masse? 09 03. 2020 21:44 #66437

Merilix schrieb:

helmut-wk schrieb: Die dabei angegebene Formel ist leider nicht so leicht lesbar zu machen:

\[\mathrm{d}s^2= \mathcal{R}^2 \mathrm{d}\eta^2+\mathcal{R}^2 \sin^2(\eta)\, \mathrm{d}\theta^2 + \mathcal{R}^2 \sin^2(\eta)\, \sin^2(\theta)\, \mathrm{d}\phi^2 + \left( 3\mathcal{R} \cos \eta_\mathrm g - \mathcal{R} \cos \eta \right)^2 \mathrm{d}\psi^2\]

Es geht einfacher als die Formeln in wiki:
ds² = c²dt²(²(1-RS/R)3-²(1-rs/r))²/4 - dr²/(1-rs/r) - r²dΩ²

RS und R sind dabei Konstanten für den Planeten und rs berechnet sich nur aus der Innenkugel von r.

EDIT: achso es ging um die Interpretation

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