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THEMA: Gravitation in einer Scheibe

Gravitation in einer Scheibe 17 04. 2020 02:32 #67515

Wir hatten das Thema der Gravitation in einer Galaxie also in einer scheibenförmig verteilten Massendichte bereits mehrfach tangiert.

Ich habe ja bereits mehrfach darauf hingewiesen, dass die Gravitation in einer Scheibe stark von der in einer Kugel abweichen dürfte.

Nach Kepler bzw Schwarzschild ergibt sich innerhalb (r<R) der homogenen Kugel eine Gravitation von
g(r) ~ 4r³π·ρ/r²3 ~ r und v=²(r·g) ~ r
und innerhalb der Scheibe
g(r) ~ r²π·σ/r² ~ 1 und v=²(r·g) ~ ²r
Tatsächlich wird die Scheibe wegen der eher exzentrischen Verteilung jedoch hiervon abweichen.

Außerhalb beträgt die Gravitation nach Kepler natürlich
g(r) ~ 1/r² und v ~ 1/²r

Längere Zeit bevor ich dieses Forum gefunden habe, habe ich einmal eine Berechnung versucht, und bin bei allen möglichen verschachtelten Elliptischen Integralen gelandet. Hier im Forum bin ich bisher auch nicht weiter gekommen. Yukterez hat mir einmal ein französisches Paper verlinkt, bei dem ich nicht einmal verstanden habe, ob es überhaupt zu einem Ergebnis führte.

Nun ist mir endlich klargeworden, dass die Lösung darin liegt, nicht unmittelbar die Gravitationsbeschleunigung g¹=Σ(G·m/d²)¹ zu berechnen, sondern dass es sehr viel einfacher ist, das Potential Φ=Σ(G·m/d) zu berechnen. Im ersten Fall kann man dann ohnehin nur numerisch Einzelergebnisse berechnen, was im zweiten Fall viel einfacher geht, da die Richtung unbeachtlich ist, und dann zumindest ebenso einfach der Gradient berechnet werden kann, der aus Symmetriegründen ja nur radial von Interesse ist.

Zur Vereinfachung gehe ich natürlich von einer Scheibe mit konstanter Flächendichte aus. Dies entspricht einem realen Zylinder mit geringer Höhe und konstanter Dichte σ=ρ·d. Es genügt natürlich, die halbe Scheibe zu berechnen. Außerdem muss ein Mindestabstand unberücksichtigt bleiben, um die Division durch Null zu vermeiden. Sofern ein entsprechender Mindestabstand vom Rand der Scheibe eingehalten wird, verfälscht dies aus Symmetriegründen auch nicht die Berechnung des Gradienten. Die Dichte σ ist letztlich nur ein konstanter Parameter und es bleibt somit nur die lineare Punktdichte oder Liniendichte Σ1/d über die gesamte Fläche zu berechnen.

Φ(x) = -∫∫ 1/d(x,a,b) da db
g = ∇Φ(x)

Das Problem der Rechnung ergibt sich dann lediglich aus den Integrationsparametern a und b im Zusammenspiel mit der jeweiligen Position x. Die Position x läuft natürlich radial. Als Parameter a bietet sich der Radius 0<r<R vom Zentrum der Scheibe und für b der Winkel 0<φ<π an. Allerdings führt eine direkte Integration über den Winkel mit steigendem Radius zu sinkenden Dichten. Dies kann durch eine Gewichtung mit dem Faktor r oder r/R ausgeglichen werden, wobei ohnehin R=1 und 0<r<1 angenommen wird.

d(x,a,b) = d(r°,r,φ) = ²((r·cos.φ-r°)²+(sin.φ)²r²) = ²((cos.φ)²+(r°/r)²-2cos.φ(r°/r)+(sin.φ)²)r = ²((r°/r)²-2cos.φ(r°/r)+1)r
also
Φ = -∫∫r/²(1+(r°/r)²-2r°cos.φ/r)r dφ dr = -∫∫1/²(1+(r°/r)²-2r°cos.φ/r) dφ dr
wegen des Mindestabstandes rechne ich
Φ = -∫∫1/²(1+(r°/r)²-2r°cos.φ/r+0.01) dφ dr

Für WolframAlpha (mit konkreten laufenden Werten für x)
-int_0^1int_0^π 1/sqrt(1+((x)/r)²-2(x)cos(φ)/r+0.01) dφ dr

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Gravitation in einer Scheibe 20 04. 2020 11:45 #67680

Ich habe dazu noch mal eine Anmerkung bzw. eine Frage. Eigentlich müsste man doch davon ausgehen, dass eine Krümmung der Raumzeit auch Gravitationsfelder mit krümmen müsste.
Die Berechnung der Gravitation in der Scheibe funktioniert ja vom Prinzip her so, dass man die Scheibe in einzelne Massen aufteilt, die Gravitationskraft zu jedem der Einzelmassen berechnet, als wären die anderen Massen nicht da, und die Resultate dann vektormäßig aufsummiert/Integriert.
Wenn man sich aber das Gravitationsfeld einer Teilmasse (z. B. einen Stern in einer Galaxie) anschaut und sich Feldlinien vorstellt, die sternförmig aus dem Stern herauslaufen, dann müssten die immer zur Scheibe hin verdichtet werden, da die Masse der Scheibe ja eine langgezogene „Delle“ in der Raumzeit hinterlässt. Das gilt praktisch für alle Massen innerhalb der Scheibe, so dass sich hier nicht, wie z. B. bei einer Kugel, der Effekt ausgleichen kann.
Wenn sich aber die Feldliniendichte in der Scheibe im Vergleich zum Raum oberhalb der Scheibe verdichten, müsste auch die Gravitationskraft in der Scheibe zunehmen, zum Rand hin müsste also die Kraft mit der eine Masse ins Zentrum der Scheibe gezogen wird größer sein als die Summe der aufgeteilten Einzelkräfte,… oder nicht??

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Gravitation in einer Scheibe 20 04. 2020 16:05 #67705

Abgesehen davon, dass meine Berechnung im ersten Post vermutlich falsch ist, den Fehler habe ich noch nicht gefunden, hat mir Yukterez eine Lösung der NASA verlinkt
articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-...nt=YES&filetype=.pdf

Allerdings kann ich dieser Lösung aus diversen Gründen auch noch nicht ganz zustimmen. Formel (7) also Φ sieht zwar gut aus, aber setzt man x=r=R=ρ und y=z=0, betrachtet man also ein Objekt am Scheibenrand, dann ergibt sich M/r also eine konzentrische Punktmasse, was zwar Keplers Kugeln nicht aber einer Scheibe entspricht. Für Formel (8) also Φ'=g liefert WolframAlpha ein anderes Ergebnis und beide verhalten sich sehr merkwürdig....

HolgerBehrendt schrieb: Ich habe dazu noch mal eine Anmerkung bzw. eine Frage. Eigentlich müsste man doch davon ausgehen, dass eine Krümmung der Raumzeit auch Gravitationsfelder mit krümmen müsste.

Zunächst einmal ist die Gravitation die Krümmung der Raumzeit. Aber es stellt sich die berechtigte Frage, wie die Krümmung der Raumzeit durch eine Masse, die Krümmung durch eine andere Masse beeinflussen kann.

Bei dem vorliegenden Problem geht es ja um die Betrachtung von Galaxien, wo die Wirkung der Krümmung der Raumzeit sich praktisch in der Anziehungskraft erschöpft. Zeitdilatation und Raumdehnung haben darüber hinaus keine wesentlichen Auswirkungen.

Auch wenn man ein SL betrachtet, ist nur die Wirkung des SL von Interesse, während die Probemasse oder auch die Akkretionsscheibe keine annährend vergleichbaren Wirkungen aufweist.

Somit stellt sich üblich nicht die Frage nach einer gegenseitigen Beeinflussung. Dies mag bei zwei verschmelzenden SL anders sein. Im Prinzip muss sich auch die Gravitationswirkung nach der gekrümmten Raumzeit also insbesondere nach der Raumkrümmung richten, mehr kann ich dazu aber nicht sagen.

Allerdings ist zu beachten, dass die Entfernungen für die Gravitation nicht ausschlaggebend sind sondern die Fläche. Daher ist die Wirkung eines SL von der durch das SL verursachten Raumdehnung unbeeinflusst. Das kann man mit Feldliniendichte vergleichen. Sie wird allein durch die Oberfläche und nicht durch den Zwischenraum bestimmt.

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Gravitation in einer Scheibe 23 04. 2020 10:47 #67870

HolgerBehrendt schrieb: müsste auch die Gravitationskraft in der Scheibe zunehmen, zum Rand hin müsste also die Kraft mit der eine Masse ins Zentrum der Scheibe gezogen wird größer sein als die Summe der aufgeteilten Einzelkräfte,… oder nicht??

Nicht unbedingt, weil die Gravitationskraft ja richtungsabhängig ist bzw der Gradient des Potentials. Bei einer Fläche muss man deshalb zuerst das Potentialfeld berechnen und dann ableiten, oder man muss Vektorrechnung betreiben. Im Zentrum müßte für g=0 herauskommen.

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Gravitation in einer Scheibe 26 04. 2020 19:14 #67993

Endlich ist es mir gelungen,die Formel der NASA (Φ', g', v') zu plotten und meinem Ergebnis (Φ, g, v) gegenüberzustellen.

Meinen Fehler habe ich noch nicht gefunden. Alles scheint zu stimmen, und so kompliziert ist die Formel ∫∫r/D ja auch nicht. Immerhin konnte ich das Integral über φ auflösen und durch K ersetzen. (mit Sicherheitsabstand zB ε=0,0001 wie in der Milchstraße), daher haben meine Formeln nicht diese Peaks.

\( \Phi = -4RG\sigma \int_\epsilon^1 \frac{ K\left( \tfrac{-4 r x}{\epsilon+(r-x)^2}\right) }{\sqrt{1+\epsilon + (x/r)^2-2x/r}} dr \)

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Gravitation in einer Scheibe 28 04. 2020 13:59 #68118

Hier ist die erste Arbeit von Blitzer und Lass
articles.adsabs.harvard.edu/cgi-bin/nph-...nt=YES&filetype=.pdf

Wie man leicht sehen kann, ist diese Rechnung Kokolores:

Er geht den umgekehrten Weg, die Integrale aufzuspannen, wie ich es vor Jahren auch schon versucht habe. Der Ansatz ist zwar im Endeffekt ähnlich wie bei mir ∫∫r/D, allerdings wurde die fragliche Distanz D falsch berechnet.bzw der Gewichtungs-Faktor r für die Integration mit φ falsch gewählt. Beides kann auf keinen Fall gleich sein. Es fällt mir aber schwer, dies auf Anhieb zu korrigieren, meine Lösung ist da sowieso viel einfacher.

In der alles bestimmenden Gleichung (1) ergibt sich bereits für z=0 das offensichtlich unsinnige Ergebnis:

∫∫ (ρ dρ dφ) / ²(ρ²+z²) = ∫∫ ρ/ρ dρ dφ = ∫ (r cos.φ+²(a²-r²sin²φ)) dφ
wie sich übereinstimmend aus Gleichung (3) ergibt.

Es werden also Kreise 2ρπ mit dem Radius der Integrationsobergrenze berechnet ρ=r cos.φ+²(a²-r²sin²φ). Dass dies wenig mit ∫1/r der Fläche zu tun hat, die sich aus dem Schnitt zweier Kreise ergibt, dürfte auf der Hand liegen. Vom Ziegenproblem (Grazing Goat, A133731=Ziegenfaktor) ist bekannt, dass Kreisschnitte mit Kreisen ganz komplizierte da transzendente Gleichungen ergeben, die nicht einmal elliptischen Integralen zugänglich sind. Dort ist die Problemstellung zwar ganz anders, aber diese einfache Lösung in der Arbeit kann keinesfalls richtig sein. EDIT: (Die Lösung ist auch gar nicht so einfach wie es mir erschien)

Entgegen dem einleitenden Text hat Krogh in seiner Arbeit die Formel nicht überprüft sondern nur die eigene abweichende Notation. Wenn sein Endergebnis übereinstimmt, hat er also den selben Fehler in seiner Arbeit übernommen. Dies ergibt sich auch daraus, dass er seine Formel nicht herleitet sondern auf die andere Arbeit verweist.

Wenn ich nicht irre, bin ich damals selber über den gleichen Fehler gestolpert, und dann wurde es sehr kompliziert...ich habe damals allerdings auch noch vektoriell gerechnet.

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Gravitation in einer Scheibe 28 04. 2020 18:08 #68122

Die Idee mit der anderen Blickweise habe ich mir nochmal angesehen, das ist ohne meine Vektoren von damals gar nicht schlecht. Aber ich denke ich habe den Fehler in der Rechnung der NASA gefunden:

Von einem Punkt ausgehend kann man die Gravitation einer umgebenden homogenen Galaxie mit konzentrischen Kreisen gut summieren. Jeder Kreis hat den Umfang 2πr und diese Menge verursacht ein Potential von Φ(r) = -2πrλ/r also 2πλ. Über den Radius summiert ergibt also eine Kreisfläche Φ(r) = -2πλr.

Das Problem ist nun, dass zwar die unmittelbare Umgebung der Probemasse innerhalb der Galaxie liegt, je größer die betrachteten Kreise aber sind, desto größer wird der abgeschnittene Teil, der dier Galaxie überlappt und nicht berücksichtigt werden darf. Daher dürfen nur noch die Kreisbögen summiert werden, die innerhalb der Galaxie liegen.

Aus dem ersten Gedanken ergibt sich also ein einfacher Beitrag von Φi(x) = -(1-x)2λπ
EDIT: witzig ist, dass der Radius nur über die Lineardichte λ=s²ρ=m/(R·π) in die Rechnung einfließt.

Die weiter entfernten Teile der Galaxie ergeben sich aus den Kreisbögen k=(2π-μ)·r bzw deren Wirkung also aus k/r=2π-μ. Der Mittelpunktswinkel μ(r) in der Position X ist also zu berechnen und aufzusummieren von r=R-X bis r=R+X.
Φa = -∫ (2π-μ(r)) dr
An der Formel für μ(r) nage ich gerade.

Ich denke, das müßte lauten:
μ(r) = 2acos.((r²+x²+R²)/2xr)
Φa = -∫ (2π-2acos.((r²+x²+R²)/2xr)) dr EDIT: da ist zumindest ein Vorzeichen falsch!
Das unbestimmte Integral hat eine Lösung von nur 4 Zeilen mit nur zwei elliptischen Integralen, aber immer noch viel zu kompliziert zum Abschreiben.

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Gravitation in einer Scheibe 01 05. 2020 00:51 #68234

Ich habe nun eine Lösung, die WA auch rechnen kann, aber sie weicht immer noch geringfügig von der NASA-Formel ab, immerhin ist nun das Ergebnis fast gleich. Auch diesen Unterschied kann ich noch nicht eliminieren. EDIT: Die Lösung ist gleich, die Abweichung kam wohl von der Näherung

Φi = -(1-x)2λπ (wie oben)
\( \Phi_a = -2\lambda \int_{1-x}^{1+x}(\pi-acos(\frac{1+r^2-x^2}{2r})-acos(\frac{1+x^2-r^2}{2x})) dr \)

Auch meinen Fehler in der ersten Formel kann ich immer noch nicht finden. Es sieht nach einem Vorzeichenfehler aus, vermutlich bei der Entwicklung des Cosinus, naja...

Na, die Formel kann man deutlich vereinfachen:
\( \Phi_a = -2\lambda \int_{1-x}^{1+x}(acos\frac{r^2+x^2-1}{2rx}) dr \)

PS: λ = α·R = m/(R·π)
x=X/R ist die Entfernung des fraglichen Punktes vom Zentrum

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Gravitation in einer Scheibe 01 05. 2020 08:57 #68238

Yukterez sagt, dass meine letzte Formel mit den nötigen Faktoren das selbe Ergebnis liefert wie die Formel der NASA. :silly:
(keine Ahnung wieso meine Grafiken voneinander abgewichen sind, ich musste aber ganz schön tricksen um sie überhaupt zu vergleichen, naja es lag wohl doch an der Näherung, )

Die Formel der NASA hat den Vorteil, dass sie auch außerhalb der Scheibe (x>R) gültig ist, da tritt bei meiner Formel ein Imaginärteil auf.
Wie dies bei der NASA-Lösung möglich ist, verstehe ich jetzt auch, der Winkel φ über den integriert wird, beinhaltet die Information des Radius, wie ich es nun ja auch realisiert habe. Der Trick ist eben, dass sich hierbei der Radius herauskürzt. :blink: :oops: Hierdurch entfällt auch das leidige Problem der Division durch Null. :)

Nur den Fehler in meiner allerersten "Lösung" kann ich immer noch nicht finden....:(

01.05.2020, 23.44
Yukterez hat mir einen weiteren Artikel verlinkt, der auf den beiden Arbeiten aufbaut.
www.researchgate.net/publication/3299387...onal_Field_of_a_Disk

In Post #67993 habe ich ja bereits die Größen Φ, g und v aus der NASA-Formel dargestellt. Der Peak ergibt sich also allein daraus, dass der Rand der homogenen Scheibe erreicht wird, und beginnt ja auch schon in deutlicher Entfernung vor dem Rand stark anzusteigen. Die weiterführende Arbeit beschäftigt sich mit dieser Frage ein wenig.

Jedenfalls ergibt sich aus der Grafik eine stetig ansteigende Rotationsgeschwindigkeit ähnlich der inneren Lösung einer homogenen Kugel und keinesfalls eine abflachende Kuve wie bei einer Punktmasse. Um diese Frage zu vertiefen, müßte man eine Dichtefunktion in die Formel einbauen, wozu sich meine allererste Lösung anbieten würde, wenn ich den Fehler finde....die NASA-Lösung ist ebenso wie meine zweite Lösung dafür nicht geeignet, weil dort nicht vom Zentrum der Scheibe aus integriert wird sondern vom zu berechnenden Punkt im Feld aus, was nur bei einer homogenen Scheibe sinnvoll ist.

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Gravitation in einer Scheibe 02 05. 2020 22:40 #68297

Yukterez war so freundlich, es für mich zu berechnen und was soll ich sagen, das Ergebnis ist nun exakt korrekt. cool) *sigh* *relief*

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Gravitation in einer Scheibe 09 05. 2020 00:18 #68625

So nun einmal die Gegenüberstellung

"Naive Erwartung" v ~ 1/²r
www.physik.hu-berlin.de/de/com/transpare.../baer_01.02.2011.pdf (Seite 5)

wie bereits in meinem ersten Beitrag #67515 in türkis dargestellt. Demgegenüber ist die korrekte Berechnung (NASA-Formel) einer homogenen Scheibe wie im Beitrag #67993 ebenfalls in türkis dargestellt, beides ohne Bulge. Für mich sieht das so aus, als ob Mond und DM überflüssig sind....

Ich bin gespannt, ob Yukterez bald eine Simulation mit Dichteverlauf konstruiert. Die ersten Formeln sind schon bereit. Die Dichtefunktion habe ich soeben gefunden.

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Gravitation in einer Scheibe 12 05. 2020 20:42 #68747

ra-raisch schrieb: Nun bin ich mir ziemlich sicher: Meine erste Formel ist völlig korrekt, aber die Integrationsmethode ∫∫ r/D dφ dr ist falsch, weil die Gewichtung mit r in diesem Fall nicht funktioniert.

Nun habe ich den wahren Fehler gefunden:

WolframAlpha interpretiert den Winkel φ falsch, verwende ich stattdessen α, ist das Ergebnis korrekt


EDIT: diverse auf dem Rechenfehler von WA beruhende Irrwege in den vorigen Posts gelöscht.

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Gravitation in einer Scheibe 15 05. 2020 11:50 #68812

Yukerez hat diese Arbeit gefunden arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1612/1612.07781.pdf Submitted on 14 Dec 2016
Modelling mass distribution of the Milky Way galaxy using Gaia’s billion-starmap
"we obtain a flat rotation curve which reproduces the key observed features with no need fora dark halo.
No dark matter halo is used in this work."

Die Rotationskurven decken sich perfekt mit den Beobachtungen.

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Gravitation in einer Scheibe 15 05. 2020 17:00 #68825

Wenn dies bereits im Dezember 2016 veröffentlicht wurde, weshalb wird die DM dann weiterhin so behandelt, als ob es keine fundierten alternativen Denkrichtungen gäbe?

Wie arbeitet die Wissenschaftsgemeinde?

Ich würde erwarten, dass der Artikel entweder widerlegt wurde oder die DM nur noch als eine Möglichkeit von mehreren Denkrichtungen publiziert wird.

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Gravitation in einer Scheibe 15 05. 2020 17:13 #68826

Schwer zu sagen, ich finde hier eine vorsichtige Zustimmung
pdfs.semanticscholar.org/8ee0/0e615efb73...7a6e02bb447d2fee.pdf
"The July 2018 Journal of Modern Physics paper entitled “A Potentially Useful Dark Matter Index” [14]references four very recent observational studies which appear to support this concept of a possible link between “dark matter” and inertial effects of galactic gravitational entropy"

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Gravitation in einer Scheibe 15 05. 2020 19:51 #68830

Was mich in dem verlinkten Paper überrascht ist das Masseverhältnis zwischen Bulge und Scheibe. Demnach ist in der Scheibe 10x mehr Masse. Nach meinem Verständnis gehen die bisherigen Modelle davon aus das die Scheibenmasse keine große Rolle spielt. Wenn die Ergebnisse mit den Gaia-Daten belastbar sind ändert sich natürlich einiges.

Aber dann müssten doch Modelle die aus der Helligkeitsverteilung auf die Masseverteilung schliesen systematisch grob falsch sein. Wie wäre das zu erklären?

PS @ra-raisch
Falls es dich interessiert: ich hatte mal eine Simulation bezüglich Gravitation In und Um verschiedene Körper gepostet, Einer davon war eine Art Galaxie (also Kugel mit Scheibe)... keine analytische Lösung sondern nur eine Simulation mit ein paar 100000 Einzelmassen, eine numerische Integration wenn du so willst...

urknall-weltall-leben.de/forum/aktuell/n....html?start=30#51527

Danach müsste in der "Scheibe" schon recht viel Masse sein damit zwischen erstem und zweitem Peak (hellblaue Kurve) ein Plateau entsteht..

assume good faith

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assume good faith

Gravitation in einer Scheibe 15 05. 2020 20:12 #68831

Merilix schrieb: Aber dann müssten doch Modelle die aus der Helligkeitsverteilung auf die Masseverteilung schliesen systematisch grob falsch sein. Wie wäre das zu erklären?

Das könnte ich mir leicht vorstellen, aber ich weiß nicht, wie das üblich berechnet wird. Immerhin ist die korrekte Formel ja schon seit 1983 (Lass and Blitzer) bekannt.

Aber in allen Erklärungen ist nur von Keplerbahnen die Rede, so dass ich schon immer leichte Zweifel hatte, ob einfach die Masse des Innenraumes wie eine Zentralmasse behandelt wird und die äußere Scheibe missachtet wird, was beides falsch ist.

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