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THEMA: Bells Paradoxon

Bells Paradoxon 24 04. 2020 10:36 #67884

Nach Bells Paradoxon führt die gleichzeitige Beschleunigung von zwei Raumschiffen dazu, dass sich der Abstand zwischen ihnen vergrößert. Leider hat er es selber nicht zweifelsfrei beschrieben, wer diese Gleichzeitigkeit bestimmen soll.

Ich war bisher davon überzeugt, dass sich dieses Ergebnis daraus ergeben soll, dass die Gleichzeitigkeit von der Erde aus beurteilt wird. Mit zunehmender Geschwindigkeit der Raumschiffe ergibt sich daher aus der Relativität der Gleichzeitigkeit, dass die Beschleunigungszeitpunkte, die von der Erde aus gesehen gleichzeitig wären, innerhalb des Systems der beiden Raumschiffe nicht mehr gleichzeitig sind. Daraus ergibt sich dann natürlich auch die Dehnung der tatsächlichen Abstände innerhalb des Systems.

Ob hieraus eine Dehnung oder Stauchung resultiert, habe ich mir nie genau überlegt. Dabei mag es auf Bewegungsrichtung UND Beschleunigungsrichtung ankommen.
v → τΔ = L·v/c²
Allerdings ist das weiter entfernte Ende der heranfliegenden Rakete das ältere, und das ändert sich auch nicht beim Vorbeifliegen, das weiter entfernte Ende der wegfliegenden Rakete ist das jüngere, also die Spitze ist immer jünger als das Ende. Dies hängt bei der Formel natürlich immer von der Messrichtung beider Komponenten s bzw v ab und das richtige Ergebnis sollte man sich für eine Konstellation merken.

Damit ist bei kurzer Beschleunigungsdauer und langer Rakete klar, dass womöglich das Triebwerk hinten bereits mit der Bechleunigungsphase fertig ist, während die Spitze damit "gleichzeitig" erst beginnt. Beim Beschleunigen ergibt sich also die Stauchung und beim Bremsen ergibt sich also die Dehnung innerhalb der Rakete, dies hat nichts mit der Änderung der Lorentzkontraktion aus der Sicht des anderen Beobachters zu tun, sondern bezieht sich wie Gezeitenkräfte auf das Objekt selbst.

Unabhängig von der umgekehrten Wirkung zu Bells Beschreibung seines Paradoxons ist mir nun aufgefallen, dass auch die innerhalb eines Systems gleichzeitige Beschleunigung Auswirkungen haben müßte. Dies ergibt sich schon daraus, dass jede Beschleunigung einen Angelpunkt haben muss, um konsistent zu erfolgen. Wenn die Rakete beschleunigt, stellt die Rakete den Angelpunkt dar. Daher hat diese Beschleunigung für den unbeschleunigten Beobachter keine Auswirkungen. Für die Rakete ergeben sich hingegen Raumdehnungsänderungen und Uhrenresynchronsierung des unbeschleunigten Beobachter.

Wird nun aber der Angelpunkt innerhalb eines IS betrachtet, also zwischen Spitze und Ende der Rakete unterschieden, dann kommt es eben darauf an, wo der Angelpunkt ist. Und damit landen wir beim verschärften Bells Paradoxon, womöglich hatt er doch diese Konstellation gemeint.

Dieser Angelpunkt sollte zunächst allein schon aus Symmetriegründen in der Mitte des Systems angenommen werden.....weitere Überlegung und Rechnung folgt ....hoffentlich in Kürze.

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Bells Paradoxon 24 04. 2020 13:40 #67886

oooops, gut dass ich eine Denkpause eingelegt habe, das ist genau anders herum:
ra-raisch schrieb: Damit ist bei kurzer Beschleunigungsdauer und langer Rakete klar, dass womöglich das Triebwerk hinten bereits mit der Bechleunigungsphase fertig ist, während die Spitze damit "gleichzeitig" erst beginnt. Beim Beschleunigen ergibt sich also die Stauchung und beim Bremsen ergibt sich also die Dehnung innerhalb der Rakete, dies hat nichts mit der Änderung der Lorentzkontraktion aus der Sicht des anderen Beobachters zu tun, sondern bezieht sich wie Gezeitenkräfte auf das Objekt selbst.

Da habe ich doch glatt die Zeiten τ und t verwechselt bzw die Aufgabenstellung verdreht.
Gerade weil die Spitze der Rakete von der Erde aus gesehen jünger ist, wirkt hier eine innerhalb der Rakete gleichzeitige Beschleunigung ja (von der Erde aus gesehen) später und sie erscheint gestaucht. Also wird die Rakete andererseits gedehnt, wenn sie von der Erde aus "gleichzeitig" beschleunigen würde, eben gerade weil die Spitze jünger ist und daher innerhalb der Rakete die dort asynchrone Beschleunigung hier zuerst wirkt.

Das was ist vorhin beschrieben hatte, wäre ja die Sicht von der Erde aus, wenn die Beschleunigung innerhalb der Rakete gleichzeitig abläuft, und das ist dann wohl nichts anderes als die Lorentzkontraktion und gerade nicht innerhalb der Rakete zu beobachten. Aber das wäre ja genau der Fall, auf den ich hinauswollte:

Nun also zum "Angelpunkt". Dieser bestimmt sich nach dem frühestens Punkt, an dem die (innerhalb der Rakete gleichzeitige) Beschleunigung von der Erde aus wahrgenommen wird, also an der Spitze der Rakete, weil diese ja der jüngste Punkt ist, von der Erde aus gesehen. Somit müßte die veränderte Lorentzkontraktion auch von diesem Punkt ausgehen. Ich werde noch ein Loedeldiagramm fertigen, dann sehen wir, ob das so ist. Ein Loedeldiagramm für Beschleunigung ist zwar ziemlich aufwendig, aber schauen wir mal.

Nun zu einem Angelpunkt innerhalb eines gleichzeitig beschleunigenden Körpers:
Da gibt es keinen, allein schon, weil die Beschleunigung eben gleichzeitig erfolgt. Und selbst wenn es einen gäbe, würde die Formel der Uhrenresynchronisierung zu nichts führen. (es ist ein bisschen schwierig, die Formel auf zwei gleichzeitig beschleunigende Systeme anzuwenden)
τΔ = γ·D·v/c²
denn sowohl γ=1 als auch v=0, ganz egal, wie lang (D) die Rakete ist. Somit wird das also nichts mit dem "verschärften" Bells Paradox. Und das gilt übrigens genauso auch für den Lift.

Ich bin auf diese Zweifel gekommen, weil ich mir überlegt habe, was passiert, wenn zuerst ein Punkt beschleunigt und (nach einer logischen "juristischen" Sekunde δt→0) danach der andere Aber dafür muss ich nochmal eine Pause machen.

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Bells Paradoxon 24 04. 2020 14:25 #67887

Ich musste jetzt erst malschauen was das Bells Paradoxon ist und ehrlich gesagt verstehe ich es nicht.
Es geht sich doch nicht darum, Warum das Seil reißt? Oder ?

Das Seil reißt sogar noch wenn die hinter Rakete einen winziges bissen eher beschleunigt.
Das ist Logisch betrachtet auch nur dadurch zu vermeiden das das Seil selber auch beschleunigt.

Am besten von der Mitte heraus. Damit verdoppelt sich aber unser Problem, Wenn das Seil wirklich bei 0 Zug reißen sollte.

nullis in verba

Only This eXist.

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nullis in verba

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Bells Paradoxon 24 04. 2020 14:43 #67888

aHaBotX schrieb: Das ist Logisch betrachtet auch nur dadurch zu vermeiden das das Seil selber auch beschleunigt.

Ja klar, es geht nicht um Trägheit und Signalgeschwindigkeit sondern nur um den Abstand der beiden.

Wie in der SRT eben, ein abstraktes Gedankenexperiment. Wenn es nämlich ohne zusätzliche Parameter (Signalgeschwindigkeit c, Trägheit etc) bereits in der verschärften Variante reißt, dann wäre das verwunderlich, aber das ergibt sich eben nur aus der unsauberen Formulierung, oder wollte Bell eben nur die Relativät der Gleichzeitigkeit demonstrieren? Leider kann ich mich kaum an Bells eigene Worte erinnern, andere haben viel darüber geschrieben und diese Frage meist auch gar nicht klargestellt...oder gar mit der Trägheit argumentiert....

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Bells Paradoxon 24 04. 2020 16:45 #67894

Ich denke, ich habs einigermaßen hinbekommen

Die beiden Enden A und B der Rakete "bewegen" sich auf ihren parallelen Zeitachsen von unten nach oben.
Im Punkt A beschleunigt A, also wird die Weltlinie B (im Diagramm) um ΔvA geknickt und befindet sich in B'
Hier, also "gleichzeitig", beschleunigt B um den gleichen Betrag ΔvB = ΔvA, so dass auch die Weltlinie A (im Diagramm) geknickt wird und in A' landet. Der Abstand |AB| hat sich nicht geändert, |AB| = |A'B'|
Der Versatz in der Grafik und die neue "Flugrichtung" ergibt sich gegenüber dem ursprünglichen IS.

Natürlich sieht es so aus, als ob sich zwischendurch die Entfernung |AB'| verkürzt hatte, dies ist aber der logischen Sekunde geschuldet und bei synchroner Beschleunigung nicht real. Außerdem ist die Entfernung |AB'| nicht maßstabsgerechet, das Loedeldiagramm ist nur für die beiden anfänglich festgelegten Richtungen maßstabsgerecht, in diesm Fall nur die der anfänglichen Bewegung A und B, wobei diese aber konstruktionsgemäß am Ende der Resultierenden entspricht. Wichtig ist vor allem das Endergebnis, die Länge hat sich trotz (logisch) nacheinander durchgeführter Beschleunigungen nicht verändert.


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Bells Paradoxon 24 04. 2020 19:16 #67907

ra-raisch schrieb: Wichtig ist vor allem das Endergebnis, die Länge hat sich trotz (logisch) nacheinander durchgeführter Beschleunigungen nicht verändert.

Das ist wohl nicht so ohne weiteres verständlich, und das Diagramm hilft nicht wirklich weiter, zumindest wäre es für mich nicht zwingend, EDIT: es ist wohl auch falsch.

Also nochmals ganz kurz:

1) Wenn A beschleunigt, dann ändert sich für B nichts, nur für A wird die Entfernung kürzer
2) Wenn dann B beschleunigt, ändert sich für A nichts, aber für B wird die Entfernung größer, denn er bremst gegenüber A ja ab.

3) beschleunigt aber zuerst B, dann wird die Entfernung für B kürzer und wenn dann A per gleichgerichtete Beschleunigung abbremst, wird für ihn die Entfernung größer.

Man sieht, dass in beiden Varianten in sich widersprüchliche Ergebnisse herauskommen und auch noch je nach Reihenfolge konträre Ergebnisse resultieren. Das muss ich mir nochmals näher ansehen. Aber mit Längenänderungen hatte ich mich bisher nicht erschöpfend befasst.

Bei gleichzeitiger Beschleunigung kann jedenfalls nur der mittlere Grenzwert herauskommen, dass nämlich keine Längenunterschiede auftreten.

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Bells Paradoxon 24 04. 2020 20:43 #67909

Neuer Versuch:

Um es per Loedel darzustellen, muss sich die Rakete zuerst in eine Richtung bewegen und danach in die andere.

Die Länge |A°B°| = |A¹B¹| = |A²B²| bleibt immer gleich.

Wenn B in B¹ beschleunigt, knickt A in A¹ und wandert zu A'. Gleichzeitig beschleunigt A in A' und B knickt ebenso und wird zu B', oder anders herum das selbe Ergebnis, aber ganz sicher bin ich mir noch nicht.

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Bells Paradoxon 26 04. 2020 23:13 #68012

Ich bin zwar noch "Am Zweifeln".... es hilft ein Blick ins Gesetz, sagt der Jurist, in diesem Fall also das unbestechliche Linienelement:

ds² = -c²dt²+dx² = -c³dT²+dX² = -c²dτ²+dχ²
führt zu der bekannten Gleicheit dx²+c²dT² = dX²+c²dt²

Wir haben 3 IS: IS¹ (t,x) sind A und B am Anfang, dann beschleunigt sich B ins IS² (T,X), wir nennen ihn nun C und dann beschleunigt sich A ins selbe IS, das wir aber vorsichtshalber IS³ (τ,χ) und ihn jetzt D nennen, und es wäre zu beweisen, dass IS²=IS³ bzw |AB|=|CD|=|DC|.

Eigentlich ist es ganz einfach, da
1) T'=t/γ=τ' und X'=x·γ=χ', dies ist die Sichtweise von A und B also T=τ und X=χ
2) t'=T/γ und x'=X·γ ist die Sichtweise von C
3) und D rechnet t'=τ/γ und x'=χ·γ
also ebenfalls χ=X und τ=T.

Nun zu den Abständen:
Δx = d, ΔX = D und Δχ = δ
Dabei ist zu beachten, dass der Abstand eines anderen IS nicht beobachtet werden kann, er beträgt wegen der Raumkontraktion zB
D'=d/γ²
Aber über die weitere Darstellung muss ich nochmal schlafen.

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Bells Paradoxon 27 04. 2020 09:13 #68031

Ich denke, ich habs. Die Rechnung oben würde zu nichts führen, da sie entweder ein falsches Ergebnis erbringt oder folgende Überlegungen erfordert, die die Rechnung überflüssig machen.

Die übliche Berechnung der Lorentzkontraktion beim "Bremsen" des zweiten Triebwerkes basiert ja auf einer weiterhin gleichförmigen Bewegung des ersten Triebwerkes und nicht auf einer synchronen Beschleunigung. Somit liegt der "Fehler" in der Missachtung der Relativität der Gleichzeitigkeit. Gleiches gilt für das zweite Triebwerk, bei dessen üblicher Berechnung wird ja davon ausgegangen, dass der andere Beobachter seine Geschwindigkeit nicht verändert.

Wenn man zuerst die Beschleunigung des ersten Triebwerkes berechnet, dann basieren die weiteren üblichen Rechnungen auf der Annahme, dass diese Geschwindigkeit bereits längere Zeit herrschte und auch weiterhin herrschen wird. Die Position A' wird von A eben erst in seiner Zukunft von A¹ erreicht, er führt aber bereits in A¹ das Bremsmanöver synchron zu Bs Beschleunigung durch. Gleiches gilt für seine Sicht von B', auch dieser Punkt wird erst in Bs Zukunft von B¹ erreicht.

Durch die synchrone Durchführung der beiden Beschleunigungen wird erreicht, dass A' und B' nicht von den Positionen von A¹ und B¹ abweichen, es handelt sich bei A' und B' nur um Konstruktionspunkte, bzw werden diese Punkte von beiden zwar gleichzeitig aber eben erst später erreicht.

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Bells Paradoxon 28 04. 2020 12:50 #68117

Hier ein Versuch, mehrfache Beschleunigung mittels Loedel zu visualisieren. Alle Längen sind im selben Maßstab, sowohl Zeit als auch Abstände und für beide Beobachter. Die Zeitachsen sind wie üblich vertikal, die Abstände sind gepunktet horizontal und farblich zugeordnet. Man darf nur räumliche Abstände Pink bzw die zeitlichen Abstände Rot der unterschiedlichen Phasen A→B, B→C und C→T nicht miteinander vermischt messen.

Bei dieser Darstellung bleibt die Zeitachse T für Pink und die Raumachse (gepunktet) für Rot über alle Phasen erhalten.

Pink mit den Großbuchstaben "bewegt" sich zunächst parallel zu Rot mit den Kleinbuchstaben auf der anfänglich parallelen und somit gemeinsamen Zeitachse T=t. Die Zeitachse t weicht später bei den Beschleunigungen immer mehr von T ab.ß=sin.φ

1) Zum Zeitpunkt T=B=b=t beschleunigt Pink bei B auf +ß=0,38, daher wird die Linie von Rot bei b in der Grafik geknickt. Die früheren Ereignisse sind daher nicht mehr kompatibel, sonst könnten die Distanzen und Zeiten nicht im selben Maßstab wiedergeben werden.
so dass Pink nunmehr Rot verjüngt in b' verortet, (|Bb'|=|Bb|/γ) was der Position b" in der vorherigen Phase entspricht. Natürlich verändert sich nicht die Position bzw das Alter von Rot, aber diese Position b" liegt aus der Sicht von Pink in B nunmehr in der Zukunft. Und natürlich verändert sich auch nicht die Position b" von Rot in der Vergangenheit, aber diese wird nun grafisch in Position b' dargestellt, es ist also aus Sicht von Rot ein und dieselbe Position, nunmehr gestrichelt dargestellt in der zweiten Phase.

2) Wenn Pink das Alter B' erlangt, verortet er Rot wieder an der Position b. Rot ist in seinem IS zu "diesem Zeitpunkt" bereits in bzw hat das Alter b"'.

3) Als Pink das Alter T=C erlangt und Rot in c verortet, beschleunigt er erneut und deutlich stärker auf +ß=0,7. Rot "beobachtet" dies, als er t=c"' alt ist.
Man sieht die weitere Entwicklung der Sichtweisen, analog der ersten Beschleunigung.

Abbremsen (Δß<0) oder annähernde Beschleunigung (ß<0) kann man genauso darstellen, auch gemischt und beliebig oft, es wird dann nur ziemlich unübersichtlich und man kann am Ende nur noch die beiden unveränderten Achsen T und x ablesen.

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