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Raum-Zeit-Abstand / Lorentz-Boosts /Rapidität 12 07. 2020 15:29 #72819

Hallo allerseits,

ich bin Student der Physik und möchte ersteinmal ein großes Lob sowohl für das Buch "Können wir Die Welt verstehen: Meilensteine der Physik von Aristoteles zur Stringtheorie" als auch für den dazugehörigen Videokanal mit seinen Playlists loswerden. Ich dachte, als ich das Buch kaufte, ich würde ein Physikbuch für Laien kaufen (welche oft eher phänomenologisch aufgebaut sind), aber es ist eher ein gut erklärtes Buch für Physiker.

Nun habe ich aber trotzdem aufgrund einer Klausur sei Fragen, bei deren Beantwortung ich auf eure Hilfe hoffe:

1.) Warum ist die Begründung auf Seite 216, dass man bei der Lorentztransformation des Raumzeitabstandes die Lichtstrecke c^2*t^2 von den Raumkoordinaten x^2+y^2+z^2 abziehen und nicht dazuaddieren muss, die, dass dies nicht konform mit Experimenten war (zu Maxwell-Gleichungen bei der Ausbreitung elektromagnetischer Wellen) und nicht die, dass dies mathematisch ja klar ist:

Der Betrag der zurückgelegten Strecke des Lichts c^2*t^2 entspricht ja dem Betrag des Raumes x^2+y^2+z^2, also c^2*t^2 = x^2+y^2+z^2.
Zieht man den c Term auf die andere Seite, erhält man 0 = x^2+y^2+z^2-c^2*t^2, was ja wiederum stimmt. Wäre das c^2*t^2 im 0-Term mit einem Pluszeichen
versehen, würde die Gleichung ja nicht stimmen. Warum ist nun aber das - im Linienelement ds immer noch enthalten? ds muss ja allgemein nicht 0 sein. Wo ist
da mein Denkfehler?

2.) Dann habe ich noch eine Frage zur Rapidität der Lorentz-Boosts: die Raum-Zeit-Abstände in rotierenden Bezugssystemen lassen sich ja mit der Minkowski-Metrik darstellen, die als Matrix mit x, y, z, c*t 4x4, also 16 Einträge hat. Da c*t ja keine Koordinate ist, hat sie bei der Lorentztransformation in rotierenden Bezugssystem 3 Koordinaten*3 Koordinaten + ct, also 10 Einträge.
Damit bleiben noch 6 Einträge übrig.

- Frage 1.) Die ersten 3 Einträge sollen ja zeitunabhängigen Rotationen in x-, y- und z-Richtung entsprechen. Diese definieren die Eigenschaft
1 (Einheitsmatrix) = R^t*R..
Warum brauche ich diese zeitunabhängigen Transformationen noch?

- Frage 2.) Die anderen 3 übrigen Parameter ergeben die sog. Lorentz-Boosts. So wie ich es verstand, entspricht dies der zusätzlichen Lage / Geschwindigkeit x' oder
u' des relativen Inertialsystems. Die Boosts entsprechen in der Form der Minkowski-Metrik (mit jeweils unterschiedlichen sin-, cos-Werten je nach
Koordinate, um die sie sich drehen).
Nun habe ich eine Frage, was die Rapidität ist(also der Parameter in den sin-, cos-Werten)? So wie ich es verstand, kann man ja für die Betrachtung der
Weltlinie eines ruhenden Teilchens die Transformationsgleichung (ct', vt') = Rotationsmatrix*(ct, 0) aufstellen (0, da ja v=0 für ruhend). Das ergibt für ct' =
*cosh(phi*)ct' --> ct = 1/cosh(phi)*ct', für vt = sinh(phi)*ct'. und wenn man die Einträge nach v/c umstellt: v/c = sich(phi) / cosh(phi), was gerade tanh(phi) ist,
die Winkelhalbierenden im Raum-Zeitdiagramm sind und c entsprechen, da c die höchste Geschwindigkeit ist (näher an ct-Achse = zeitartig, näher an
x- Achse = raumartig). Wenn in diesem Termin v/c beide c entsprechen, ist das Verhältnis ja 1, was auch tanh(45 Grad), also der winkelhalbierenden
Weltlinie der Photonen entspricht.
Nun steht in meinem Skript, dass bei v/c <<1 (bzw. phi <<1) gilt, dass v/c ~ phi (durch die Kleinwinkelnäherung sin(phi) ~ phi, oder?). Daraus soll durch
Taylor-Näherung folgen, dass tanh(x) = x + Drehgruppe O(x^3), also die Geschwindigkeit v/c gleich der Rapidität bis auf den Faktor c (warum?) sein soll.

Heißt das also, dass die Rapidität bei v/c =1 (Teilchen bewegt sich mit annähernd Lichtgeschwindigkeit) aussagt, dass eben die Weltlinie gegen c hyperbolisch strebt? c kann ja aber nie erreicht werden, daher kann auch das Verhältnis v/c nie größer als 1 werden. Was bedeutet es also, dass die Rapidität phi --> unendlich geht, wenn v --> c geht?

Ich bin euch über Korrekturen und die Beantwortung meiner Fragen sehr dankbar.

Viele Grüße,
Nicolas

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Raum-Zeit-Abstand / Lorentz-Boosts /Rapidität 12 07. 2020 16:11 #72828

Schaun wir mal:

1) Warum ist nun aber das - im Linienelement ds immer noch enthalten?
"Immer noch" ist die falsche Frage. Du hast ja selbst dargelegt, dass es erforderlich ist.

2 a) Warum brauche ich diese zeitunabhängigen Transformationen noch?
Soweit sie nicht benötigt werden, werden sie auf Null gesetzt. Soweit sie nötig sind, zB beim rotierenden Kerr-SL, sind sie nicht Null.

2 b) Kleinwinkelnäherung
Die Frage verstehe ich nicht. Es ist doch sin.φ ≈ φ für φ « 1

2 c) heißt das also, dass die Rapidität bei v/c =1 .....
Nein, das heißt es genau nicht, denn dann ist φ ja nicht mehr klein sondern riesig.
...aber wieso beschäftigen Dich Näherungslösungen? Und zu welchem Zweck wird die Rapidität benützt, dass man eine Taylornäherung betreibt?
θ = atanh.ß = acosh.γ = asinh.(γ·ß) = asinh.(u/c)
ist doch eine schöne Formel, wozu denn nähern?

2 d) Was bedeutet es also, dass die Rapidität phi --> unendlich geht, wenn v --> c geht?
Was die Rapidität bedeutet? Sie ist ein Maß wie ß oder γ, das schöne ist, dass man Rapiditäten einfach addieren darf, und da ist es natürlich zweckmäßig, dass v→c bzw ß→1 ⇒ θ→∞

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Raum-Zeit-Abstand / Lorentz-Boosts /Rapidität 12 07. 2020 21:35 #72850

ra-raisch schrieb: 2 a) Warum brauche ich diese zeitunabhängigen Transformationen noch?
Soweit sie nicht benötigt werden, werden sie auf Null gesetzt. Soweit sie nötig sind, zB beim rotierenden Kerr-SL, sind sie nicht Null.

Deine Frage habe ich vielleicht missverstanden.

Der Lorentz-Boost hat nichts mit rotierenden Bezugssystemen zu tun. Deren Erwähnung hatte mich zu meiner Antwort oben verleitet, und sollte sich daher auf die Metrik beziehen.

Vor allem ist der sogenannte Lorentz-Boost keine Rotation im Raum sondern nur eine lineare Bewegung in einer einzigen Koordinatenrichtung zB x-Koordinate.
Daher sind typisch nur die Einträge tt=γ=cosh.θ, tx=-ß·γ=sinh.θ, xt=-ß·γ=sinh.θ und xx=γ=cosh.θ belegt und yy=1 und zz=1. Ob man dabei die Rapidität oder γ und ß benützt, ist allein Geschmacksfrage, bietet aber Vorteile bei mehrfachen Boost, weil sich Rapiditäten eben einfach addieren lassen.
de.wikipedia.org/wiki/Spezielle_Lorentz-...nalogien_zur_Drehung
Genausogut kann man aber statt γ=γ1 (+) γ2 umständlich relativistisch zu addieren hierbei die Rapidität benützen
γ = cosh.(acosh.γ1+acosh.γ2)
Dazu muss man das ja nicht gleich von Anfang an in die Matrix schreiben.

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Raum-Zeit-Abstand / Lorentz-Boosts /Rapidität 13 07. 2020 09:43 #72862

ra-raisch schrieb: 1) Warum ist nun aber das - im Linienelement ds immer noch enthalten?
"Immer noch" ist die falsche Frage. Du hast ja selbst dargelegt, dass es erforderlich ist.

Auch hierzu kann ich noch eine andere Erklärung geben:

Das Linienelement wird aus kovarianten und kontravarianten Formen zusammengesetzt:

ds² = dxμ·dxμ = gμλdxμdxλ

und von den kovarianten Komponenten wird das "komische" Vorzeichen geerbt.

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Raum-Zeit-Abstand / Lorentz-Boosts /Rapidität 16 07. 2020 10:19 #73000

NicolasPhysik schrieb: Warum ist nun aber das - im Linienelement ds immer noch enthalten? ds muss ja allgemein nicht 0 sein. Wo ist
da mein Denkfehler?


Wenn ich es richtig verstehe ist deine Frage: Es wird gezeigt / argumentiert, dass wenn \( ds^2=0\) in einem Bezugssystem gilt, das in allen Bezugssystemen so ist. Aber weshalb sind deshalb auch \(ds^2\neq 0\) invariant?

Die Antwort ist, dass dieser "Spezialfall" die Transformation zwischen Bezugssystemen festlegt und zwar dergestalt, dass alle ds^2 invariant bleiben. Das lässt sich so skizzieren:
Haben wir zwei Systeme IS und IS', folgt aus obigem, dass \( ds^2=A(v)ds^{'2}\) ist, wobei A ein Proportionalitätsfaktor ist, der allenfalls vom Betrag der Relativgeschwindigkeit abhängen kann. (Gleichwertigkeit von Bezugssystemen). Jetzt kann man weiter zeigen, indem man verschiedene Bezugssysteme betrachtet, dass dieser Faktor sogar konstant =1 sein muss.

Du hast also Recht, dass es ein weiterer Schritt ist von ds=0 => ds'=0 zu ds=ds' allgemein. Der nächste Schritt ist: Wie sieht ein Raum aus, in dem ds=ds' ist, also Abstände zwischen Raumzeitpunkten erhalten bleiben? Eben so, dass er durch die Metrik diag(-1,1,1,1) beschrieben wird.

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