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Nachhilfe expandierendes Universum 29 07. 2020 00:57 #73862

Sei Hubble-Konstante = H, sei die Distanz zwischen Punkten p und q s bei t=0
Wie bestimme ich denn die zugewonnene Distanz ds(t) zwischen p und q nach Zeit t?

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Nachhilfe expandierendes Universum 29 07. 2020 10:48 #73867

ΔD = s = t·v
v = D·H

Das ist die Faustformel für kleine Entfernungen D bis dC = 25 Mrd ly.

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Nachhilfe expandierendes Universum 29 07. 2020 12:24 #73868

Ja danke, das wusste ich. Ich suche die nicht fehlerbehaftete Lösung oder viel mehr den Weg zu dieser Lösung

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Nachhilfe expandierendes Universum 29 07. 2020 15:38 #73881

Achso, dafür muss man das Integral bilden, da sich H im Laufe der Zeit verändert.

Die erste Frage ist, um welche Punkte p und q es sich denn dann handelt. Diese Distanz s soll also zum Zeitpunkt τ bestimmt sein und daraus die heutige Distanz berechnet werden. Dies ist im Prinzip einfach, wenn man den Skalenfaktor oder den z-Faktor kennt

D = s(τ)/a(τ) = s(τ)·(z(τ)+1) EDIT: oops das war falsch herum

Der Zusammenhang zwischen H und a bzw z ist eben nicht ganz so einfach.

Auf Grund der geringen Krümmung und Bedeutungslosigkeit der Strahlung seit der Rekombination ergibt sich folgende Näherung mit Ωm ≈ 1-ΩΛ

H = ²(1+Ωm(1/a³-1))H°
a = 1/³(1+((H/H°)²-1)/Ωm)

Für z ≫ 1000 sollte dann eher anders herum gerechnet werden, da dann die Strahlung dominierend wird, aber die H-Parameter werden dann mit einfacher Rechnung ziemlich ungenau.

Der Weg zur Lösung ergibt sich aus dem Verhalten von Vakuum (VD) und Materie (MD) bzw Strahlung (RD). Materie verdünnt sich mit 1/r³ und wirkt anziehend mit 1/r², bei Strahlung ist die Verdünnung 1/r⁴. Wenn man mit dem Sklalenfaktor a rechnet, ergibt sich daraus
aMD ~ ³t²
aRD ~ ²t
aVD ~ exp(t)

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Nachhilfe expandierendes Universum 29 07. 2020 21:41 #73895

AberHatschi schrieb: Sei Hubble-Konstante = H, sei die Distanz zwischen Punkten p und q s bei t=0
Wie bestimme ich denn die zugewonnene Distanz ds(t) zwischen p und q nach Zeit t?


Die Fragestellung ist entweder unvollständig oder unsinnig.

Unsinnig ist sie wenn mit t=0 eine absolute Zeit also der Urknall selbst gemeint ist.
Unvollständig ist sie weil eine absolute Zeitangabe (im Sinne des Weltalters) fehlt.
Allerdings könnte man das Weltalter mit t0 ≈1/H0 annähern.

Vereinfacht ausgedrückt ist es wie eine Zinseszinsrechnung; allerdings ist die Hubblekonstante keine Konstante sondern der Hubbleparameter ändert sich mit der Zeit.
Rainer hat es schon erläutert, für genaue Berechnung muss man über die Zeit integrieren.
Wie genau willst du die Berechnung?

assume good faith

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assume good faith

Nachhilfe expandierendes Universum 30 07. 2020 01:52 #73919

Also eigentlich möchte ich schon eher von einem konstantem beliebigen positiven H in diesem Fall ausgehen, es geht mir eigentlich nur um einen bestimmten Teil Mathe.

Ich nutze das d als delta ersatz, aber wenn das anders geht sagt es mir.

Als t=0 möchte ich nur einen beliebigen Startpunkt definieren, sodass für die approximierte Disstanzzunahme ~ds(t) = s*H*t = s*H*0 = 0 ergibt, was logisch ist, denn wenn keine Zeit vergangen ist sollte sich die Distanz nicht geändert haben. Wenn das für die approximierte Distanzzunahme gilt, so sollte das auch beim exakten Wert 0 ergeben.
t ist also kein Zeitpunkt sondern eine Zeitdauer.

Nun das eigentliche Problem: Bei der Annäherung s*H*t ist s ja zeitabhängig also eigentlich s(t). Das heißt während der Dauer t ändert sich s(t) ja schon von s auf s+ds(t)

Das heißt ich muss irgendwie s(t) integrieren über die Zeit, aber ich weiß nicht wie, weil das ja wiederum mit der Zeit an sich verschachtelt ist.

Also ich hab selber rumprobiert und hab sowas ähnliches wie eine Differentialgleichung, aber da weiß ich nicht weiter: s(t)= s(0)+ int s(t)H dt

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Nachhilfe expandierendes Universum 30 07. 2020 10:12 #73923

ja, es geht in die Richtung, aber es fehlt schon einmal die Abhängigkeit des Hubbleparameters von der Zeit H(t), während s ja nicht zeitabhängig sondern die Anfangsgröße ist. Eine Formel für H(t) ist mir aber nicht bekannt.

dC = rH ∫(H°/H(z)) dz = c ∫(1/H(z)) dz

Aber die Funktion für H(z) ist alles andere als einfach. Die Näherung für z < 1000 ist aber recht gut:

H(z) = ²(1-Ωm·(1-1/a³))H° = ²(1-Ωm·(1-(1+z)³))H°

Eine Formel für z(t) habe ich mir gestern zurechtgezimmert, aber ich bin noch nicht ganz fertig, das kann noch grottenfalsch sein (wobei ich mich nicht mehr an den Grund für TCMB erinnern kann, aber ich habe gerade keine Zeit):

für das frühe Universum
z = ~²(tT/τ)/TCMB-1
mit tT = ~1e+20 K²s

und für das späte Universum
z = ~³(tT°/τ²)/TCMB-1
mit tT° = 3,8379e+36 s²K³

PS: ²x ist bei mir die Wurzel aus x.

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Nachhilfe expandierendes Universum 30 07. 2020 11:16 #73927

Ja wie gesagt auf die Änderung von H kommt es mir nicht an, dass kann ruhig konstant sein

z ergibt sich ja aus der Fluchtgeschwindigkeit v. Ansonsten gibt es keine zeitabhängigkeit. v ist zeitabhängig da v(t)= s(t)*H
Das heißt s(t) zu ermittlen würde auch v(t) und damit z(t) bestimmen. (Für konstantes H zumindest erstmal)

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Nachhilfe expandierendes Universum 30 07. 2020 11:53 #73930

AberHatschi schrieb: Ja wie gesagt auf die Änderung von H kommt es mir nicht an, dass kann ruhig konstant sein

Dann kannst Du den Rest aber vergessen, dann landest Du beim Hubble-Law gültig für Δz ≪ 5

v = D·H
ΔD = s = Δτ·v = Δτ·D·H(τ) = t·D·H(τ)

wobei D dann die Entfernung und s die Änderung zum gewünschten Zeitpunkt ist und H(τ) den Wert zum fraglichen Zeitpunkt hat
D/a = d(τ)/a(τ) = D(now)

naja H soll sich ja eh nicht ändern, also H konstant
s = t·D·H

Achso, jetzt verstehe ich, was man da genauer rechnen kann, das war Dein Ansatz (korrigiert):
s = ∫D(t)·H dt
Aber ist das dann die Entfernung oder ... hmm ... oder doch? Ja, stimmt wohl:

Das wäre dann, wenn ich nicht irre
s = t²H²D/2+ t·D·H

bzw wäre dies dann wohl weiter zu korrigieren
...+t³H³D/6+t4H4D/24+ ... +tNHND/N!

und wenn ich nicht irre, ist das Ergebnis dann
s = D(exp(t·H)-1)

daraus ergibt sich also
a' = ~exp(t·H)a

Im Hinblick auf die Winzigkeit von t·H ≪ 1 dürften die Unterschiede aber minimal sein, D hat darauf ja (prozentual) keinen Einfluss. Da dürfte sich die Änderung von H stärker auswirken, vermute ich. Für z=5 ergibt sich bereits H(5)~8H° und H(1)~2H°

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Nachhilfe expandierendes Universum 30 07. 2020 19:46 #73946

Seltsam, irgendwie scheint meine Antwort von heut Morgen im digitalen Nirvana gelandet zu sein^^
Ich probiers nochmal:

AberHatschi schrieb: Ja wie gesagt auf die Änderung von H kommt es mir nicht an, dass kann ruhig konstant sein

Dann ist das Problem sehr einfach zu lösen. Aus H rechnest du einen Skalenfaktor a(t) aus mit der dein Universum mit der Zeit skaliert. Mit a=1 für dein t=0. (Das dürfte einfacher Dreisatz sein)
Damit lassen sich dann ebenso einfach beliebige Entfernungen umrechnen.

AberHatschi schrieb: z ergibt sich ja aus der Fluchtgeschwindigkeit v.

Vergiss das v. Ich denke das ist ein unnötiger Umweg.
z ist auch ein Ausdruck für den Expansionsfaktor. z=1089 heist (etwas vereinfacht) das sich das Universum seit Aussenden des Lichts um den Faktor z+1=1090 ausgedehnt hat und damit jede Strecke. Heist aus 42mio Ly sind 46 mrd Ly geworden; Aber auch aus 3000K sind 3000/1090=2.75K geworden. Im z steckt also recht viel mehr drin als nur irgend eine fiktive Geschwindigkeit mit der eh niemand etwas anfangen kann.

Zur Fragestellung:
aus www.astro.ucla.edu/~wright/cosmo_03.htm

"For Ω=1, the critical density case, the scale factor is a(t) = (t/to)2/3
and the age of the Universe is
to = (2/3)/Ho"

wobei to Heute und Ho den Hubbleparameter heute also die Hubblekonstante meint.

und weiter:
"while in the zero density case, Ω=0, and a(t) = t/to with to = 1/Ho"

assume good faith

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assume good faith

Nachhilfe expandierendes Universum 30 07. 2020 20:24 #73948

Merilix schrieb: "For Ω=1, the critical density case, the scale factor is a(t) = (t/to)2/3
and the age of the Universe is
to = (2/3)/Ho"

Das betrifft zwar nur die materiedominierte Zeit, aber sonst können wir ja nichts sehen.

Für die Rechnungen zur Zeit vorher (strahlungsdominiert) gilt aber a ~ ²t

und 2/3H° = 9,67 Mrd Jahre, also auch nicht gerade präzise das Alter des Universums....
ra-raisch schrieb: (wobei ich mich nicht mehr an den Grund für TCMB erinnern kann, aber ich habe gerade keine Zeit):

Na klar, das ist die Normierung auf den heutigen Skalenfaktor a=1

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Nachhilfe expandierendes Universum 30 07. 2020 23:39 #73954

Mit dem Skalenfaktor hab ich es noch nicht versucht. Und die Umrechnung in eine Distanzzunahme scheint nicht trivial.

Ein Problem was ich natürlich mit z habe, ist natürlich das z quasi das Endresultat der gesamten Distanzzunahme ist. Jedoch geht es mir ja eher um den Prozess.
Das heißt in gewisser Weise haben wir in der Realität in z schon das drin, was ich gerne isolieren würde, das hilft mir leider auch nicht.

Und ich denke es ist für mein Problem auch nicht zielführend die Rotverschiebung zu betrachten. Mein Fokus wäre auf der Art wie das Licht seine Wellenlänge von lamba1 auf lambda2 ändert (was ja durch den zuwachsenden Raum verursacht ist), diese hängt nämlich im Gegensatz zur Distanzzunahme nur von H ab. Mit konstantem H habe ich also eine lineare Änderung der Wellenlänge von Start- bis Endwert. lambda(t) ~ t

Die diskrete Annäherung ds(t)= s*H*t liefert ebenso eine lineare Distanzzunahme ds(t) ~ t
Die kontinuierliche Version ds(t) = s(t)*H*t hingegen ist aber definitiv nicht mehr linear. Da t*s(t) ~ t folgern lässt, dass s(t) = konstant und damit ds(t)=0, was ein Widerspruch ist.

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Nachhilfe expandierendes Universum 30 07. 2020 23:54 #73955

AberHatschi,
jetzt hab ich versucht, zu verstehen, worin dein Verständnisproblem eigentlich liegt.
Ich meine verstanden zu haben, dass du nicht verstehst, wie es sein kann, dass die Expansion der Raumzeit die Wellenlängen der Photonen beeinflusst.
Wieso geben die Photonen Energie an die Expansion ab? Und wie funktioniert diese Kopplung überhaupt?
Hab ich da recht mit deinem Verständnisproblem?


Thomas

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Nachhilfe expandierendes Universum 31 07. 2020 01:33 #73957

AberHatschi schrieb: Die diskrete Annäherung ds(t)= s*H*t liefert ebenso eine lineare Distanzzunahme ds(t) ~ t
Die kontinuierliche Version ds(t) = s(t)*H*t hingegen ist aber definitiv nicht mehr linear. Da t*s(t) ~ t folgern lässt, dass s(t) = konstant und damit ds(t)=0, was ein Widerspruch ist.

Eine bestimmte Länge vergrößert sich konstant, aber eine sich vergrößernde Länge vergrößert sich exponentiell, das war das mit dem Integral.

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Nachhilfe expandierendes Universum 31 07. 2020 15:12 #73972

Thomas schrieb: AberHatschi,
Ich meine verstanden zu haben, dass du nicht verstehst, wie es sein kann, dass die Expansion der Raumzeit die Wellenlängen der Photonen beeinflusst.
Wieso geben die Photonen Energie an die Expansion ab? Und wie funktioniert diese Kopplung überhaupt?
Thomas


Also einerseits ist mir dies nicht klar, da hast du ganz recht, andererseits geht es mir überhaupt nicht um dieses Thema. Ich suche nach dem Weg wie ich eine momentane Distanzzunahme in eine allgemeine Distanzzunahme umwandeln kann unter der Berücksichtigung, dass die momentane Distanzzunahme proportional zur momentan bestehenden Distanz ist.
ra-raisch schrieb: Eine bestimmte Länge vergrößert sich konstant, aber eine sich vergrößernde Länge vergrößert sich exponentiell, das war das mit dem Integral.

Ja, aber wie komme ich dadrauf? Wie löse ich das Integral auf?

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Nachhilfe expandierendes Universum 31 07. 2020 16:25 #73973

Ich hab hier einen Ansatz der sowas produziert, aber da stimmt irgendwas noch nicht. Wo ist der Fehler?
Mir fällt es relativ schwer das ohne die richtigen Zeichen zu schreiben und es ist auch unübersichtlich, deswegen mal als Bild:



Omg ich habs gefunden ich darf t natürlich nicht mit aus dem Exponenten rausziehen bei der Ableitung

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Nachhilfe expandierendes Universum 31 07. 2020 18:28 #73974

ok, eigentlich hatte ich die Lösung ja schon hingeschreiben, auch wenn ich mir ncht ganz sicher war.

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