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Kugeltrigonometrie-Problem (Ich bin einfach zu doof...) 19 11. 2020 02:54 #79304

Hallo Forum,
irgenwie bin ich eingerostet und habe ein Problem mit der Mathematik. Oder besser mit der Kugeltrigonometrie... Aber die ganze Geschichte von vorne:
Als begeisterter UWL-Seher schwärme ich natürlich auch meiner Familie vor - oft leider mit begrenztem Erfolg... Aber ein Thema hat es dem Nachwuchs angetan. Ein Urlaubsprojekt mit dem Nachweis, dass die Erde eine Kugel ist - und nicht Donut-förmig, wie sich mein Kleiner das so wünscht :-)

Aber zur Idee: Unser Urlaub in 2022 soll als Ziel das Burning-Man Festival in Nevada haben. Das Festival findet auf einem Salzsee statt, der auch mit Fahrzeugen (erlaubterweise) befahrbar ist - vor allem während des Festivals. Und eine Idee, die Kugel von der Flacherdlerbauweise zu unterscheiden, liefert die Trigonometrie. So wurde die Idee geboren, dass wir das einfach mal nachmessen.

Jetzt kommt aber mein mathematisches Problem: Wie kann ich den Erwartungswert berechnen? Wie groß muss ich mindestens eine Kantenlänge wählen, damit das Ergebnis bei Messfehlern und Ungenauigkeiten bei einer unprofessionellen Vorgehensweise auch schon etwas aussagekräftig ist? Wir möchten ein gleichseitiges Dreieck abstecken. Einerseits sollte das mit drei vor-Ort geliehenen Laserentfernungsmessern möglich sein, andererseits muss ich dann nur einen der drei Winkel genau ermitteln. Ich gehe davon aus, das wir eine Kantenlänge von ca. 500m - 700m realisieren können müssten. Vielleicht auch etwas mehr - aber ist das schon ausreichend? Ich möchte nicht den ganzen Salzsee oder Nevada ausmessen müssen...
Ich habe mich an Google gesetzt - bin aber spätestens bei Begriffen wie den verschiedenen "Konkruenzsätzen sss, ssw, sws", "Eulersche Einheitskugel", "Halbwinkel- und Halbseitensatz" ausgestiegen. Klar, die jeweiligen Begriffe sagen mir inzwischen schon etwas. Aber ich habe es nicht geschafft, daraus einen echten Wert zu berechnen. Peinlich.
Aber ich muss ehrlich sagen: Wenn ich es schaffe, dass sich mein Nachwuchs etwas für Wissenschaft und Physik interessiert, dann nehme ich den Aufwand gerne in Kauf. Bevor die Idee bei uns geboren wurde, hat niemand die Worte "Trigonometrie" oder "Pythagoras" freiwillig auch nur in den Mund genommen...
Konkret unsere Idee: Wir wollen nach Nevada fahren, schnappen uns unsere Fahrräder, eine Tagesration an Proviant und Süssigkeiten, kleine Walky-Talkys und versuchen, ein möglichst langes gleichseitiges Dreieck abzustecken. Dann einen Winkel messen - und mit dem Erwartungswert vergleichen. Physik zum Anfassen - gepaart mit einem gemeinsamen Familienurlaub.
Oder aber ihr sagt, dass das Ganze eine Schnapsidee ist. Einfach, weil mit den überschaubaren Mitteln einer Durchschnittsfamilie die Dimension des Vorhabens einfach zu groß ist. Dann könnten wir immer noch nach Plan B - Analog zum Buch - versuchen, schattenwerfende Stäbe - mit entsprechendem Abstand zueinander zu vermessen (Gekrümmte Oberfläche). Da fehlt uns aber ein wenig der Spaßfaktor.

Könnte ihr mir eine kleine Hilfestellung zur Berechnung geben?`Oder Tipps und andere Anmerkungen? Und vielleicht habe Ihr auch einen Tipp, wie wir praktisch den Winkel messen können. Ein Geodreieck ist wohl nicht wirklich dafür geeignet.

Als Grundlage nehme ich eine ideale Kugel mit einem mittleren Erdradius von 6371 km an. Für die Berechnung der Winkelsumme wären die Kantenlängen zweier gleichseitigen Dreiecke mit den Längen 500m bzw. 1000m interessant, da diese in der Praxis für uns wahrscheinlich umsetzbar wären. Schön wären natürlich nicht nur die Ergebnisse für die beiden Dreiecke - sondern vielleicht eine verständliche Quelle für mich, damit ich die Mathematik dahinter auch ein wenig verstehe - und vielleicht gemeinsam mit meinem Nachwuchs erarbeiten und nachvollziehen kann.

Sorry, wenn für viele von Euch die Frage vielleicht trivial erscheint. Aber ich verspreche, mich mit der Zeit zu bessern - und auch selbst viel dazu zu lernen. Viele Grüße aus Südhessen - Andreas

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Kugeltrigonometrie-Problem (Ich bin einfach zu doof...) 19 11. 2020 09:10 #79305

Mir scheint das ziemlich aufwändig. Wenn ich mich recht erinnere hieß es in der Schule, dass auf man auf dem Wasser ein Boot in ca. 5 km Entfernung nicht mehr sehen kann, weil es hinter der Erdkrümmung verschwindet. Natürlich hängt das von der Höhe des Bootes ab und von der eigenen Höhe über dem Wasser. Das sollte sich mit dem Pythagoras leicht berechnen lassen auch für einen ebenen Salzsee. Einfach die Höhe eines Gebäudes oder so messen und es dann aus ein paar km Entfernung z.B. mit dem Fernrohr oder Feldstecher betrachten. Es dürfte dann nicht mehr ganz zu sehen sein oder gar nicht mehr, je nach Entfernung. Das reicht im Prinzip zum Nachweis einer Erdkrümmung auch ohne genaue Messung. Das sollte u.a. auch am Bodensee gehen, z.B. an der breitesten Stelle (14 km) zwischen Friedrichshafen und Romanshorn.

Noch einfacher: Den ebenen Horizont z.B. vom Salzsee fotografieren und das Bild dann am Computer mit einem Bildbearbeitungsprogramm horizontal stauchen. Die auf dem normalen Bild kaum sichtbare Krümmung wird dann sehr deutlich.

Also sprach das Photon: Wo wir sind ist vorne! Und sollten wir mal hinten sein, dann ist hinten vorne!

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Also sprach das Photon: Wo wir sind ist vorne! Und sollten wir mal hinten sein, dann ist hinten vorne!

Kugeltrigonometrie-Problem (Ich bin einfach zu doof...) 19 11. 2020 13:26 #79312

Beim praktischen Test gibt es das Problem der Refraktion. Das Licht wird durch Temperaturunterschiede nahe der Erdoberfläche gebeugt, so dass die Sichtweite deutlich größer als geometrisch berechnet ist.
www.uwudl.de/forum/1-klassische-mechanik...us-messen.html#33076
www.uwudl.de/forum/alternative-weltbilde...ache-erde.html#38384

Zur Geometrie siehe Erathostenes
www.uwudl.de/forum/aktuell/naturwissensc....html?start=30#63667

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Kugeltrigonometrie-Problem (Ich bin einfach zu doof...) 19 11. 2020 21:34 #79324

Ein Problem könnte die Messung mit Lasern sein. Licht folgt nicht streng der Erdkrümmung und in einem mit Lasern abgesteckten und gemessenen Dreieck dürfte die Innenwinkelsumme immer 180° betragen (Krümmung des Raumes durch Gravitation mal vernachlässigt)
Man könnte messen das die Höhe des Laserstrahls über Grund variiert (schwebende Tangente); Dann ist es allerdings schwer glaubhaft zu machen das die Ebene der Erdkrümmung folgt und nicht einfach ein sehr flacher Hügel ist...

Die Idee das wirklich mal ausmessen zu wollen finde ich Klasse.

assume good faith

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assume good faith

Kugeltrigonometrie-Problem (Ich bin einfach zu doof...) 20 11. 2020 02:53 #79329

Die Idee finde ich auch gut. Das könnte unser Plan "C" werden. An unserer ersten Version gefällt mir, dass man keinerlei Computer benötigt. So fände ich es toll, wenn ich meinen Kindern sagen könnte: Seht Ihr, die Erde ist rund - und wir konnten das zeigen, ohne einen Computer oder sonst etwas benutzt zu haben. Einfach nur Grips, Bleistift und ein Blatt Papier. Ganz wie schon die alten Griechen. (Na ja... Irgendwie glaube ich jetzt nicht daran, dass Aristoteles einen Laserentfernungsmesser hatte :-) ) Aber das ist dann für den Nachwuchs mit "Schritten" bzw. dem heute leider unbekannten numerischen Wert für "Stadien" zu erklären.
Und auch die Zahlenwerde für die Kreisfunktionen im Bogenmaß ohne Taschenrechner... Irgendwie werde ich wohl in meinen Argumenten ziemlich angreifbar sein. Mit sind zwar vom Prinzip her die Näherungsverfahren und alte Tabellenbücher bekannt. Das aber den Kleinen dass dann noch zu erklären, wird die ganze Mühe wegen der abscheckenden Narkoseeigenschaft der Mathematik vielleicht eher kontraproduktiv.

Insbesondere unser Großer: Ein Nachweis ohne Handy. "Geht denn sowas überhaupt" :-( . Ach so, wenn ich von den "Kleinen" rede. Einer ist fast so groß wie ich, der Andere schon einen Ticken Größer. Und ich selbst bin 1.81m. Aber einen Tag ohne Computer und Handy ist in deren Welt wohl absolut unvorstellbar - und eine schreckliche Bestrafung für alle möglichen Sünden...

Viele Grüße von Südhessen - Andreas

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Kugeltrigonometrie-Problem (Ich bin einfach zu doof...) 20 11. 2020 03:13 #79330

Super - Schon viele Rückmeldungen - Danke an Euch alle...

@ra-raisch, @steinzeit-Astronom, @Merilix
Vielen Dank für die Info. Insbesondere der Forumbeitrag über Erasthostenes ist spannend. Im Moment komme ich nur Nachts zum Planen und Forschen - aber so gehen die Nächte schneller vorbei.
Bezüglich der Refraktion / Beugung hoffe ich, dass es kein Problem darstellt. Die Längenmessung - so hoffe ich - sollte auf die Distanz von einigen 100m nireichend genau sein, dass der Fehlerwert durch die Refraktion im Grundrauschen untergehen sollte. Ich will damit sagen, dass unsere "laienhafte" Art an die Sache heran zu gehen, sicherlich für mehr Abweichung sorgt. Daher auch meine Frage an das Forum, ob ich bei unseren gegebenen Möglichkeiten überhaupt die Chance habe, ein aussagekräftiges Ergebnis zu erzielen. Außerdem sollte doch die Beugung einen Fehler ggfs. in der gemessenen Länge der Strecke (bei allen drei Strecken gleich - und somit "rausgekürzt") und nicht in dem entstehenden Winkeln entstehen? Ich habe noch so viel zu lernen....
So liegt mir genau die Aussage von Steinzeit-Astronom im Magen. Dort geht es schon um mehrere Kilometer für die Messungen. Sowas kann ich in der Praxis leider nicht mehr durchführen - und würde zu der These "das Ganze ist eine Schnapsidee" führen. Ich erinnere mich dunkel an ein YT-Video von Prof. Weitz (Mathematiker an der HAW in Hamburg). Er hat Mitte des Bodensees - ausgehend von einer Verbindung längs über die See-Enden in einem der Videos besipielhaft gezeigt, wie hoch die Erdkrümmung dort in cm ist. Leider fehlt mir der passende Link zu dem Video. Ich glaube zumindest, dass es Prof. Weitz war...

Sorry, wenn ich mit der Reihenfolge meiner Antworten im Moment noch für etwas unordnung im Forum sorgen sollte... Ich lerne aber hinzu. Versprochen.

Vielen Dank an Alle - Andreas

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Kugeltrigonometrie-Problem (Ich bin einfach zu doof...) 20 11. 2020 09:00 #79332

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Kugeltrigonometrie-Problem (Ich bin einfach zu doof...) 20 11. 2020 09:02 #79333


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Kugeltrigonometrie-Problem (Ich bin einfach zu doof...) 20 11. 2020 10:22 #79334

andiJeck schrieb: Die Längenmessung - so hoffe ich - sollte auf die Distanz von einigen 100m nireichend genau sein, dass der Fehlerwert durch die Refraktion im Grundrauschen untergehen sollte.

Die Refraktion hat nichts mit der Längenmessung zu tun sondern mit der Sichtweite. Bei 5 km (abhängig von der Höhe des beobachteten Punktes) kann sich die Sichtweite bereits verdoppeln. Je höher der Punkt über dem Erdboden ist, desto besser (geringere Refraktion). Wie sich Tagestemperaturen auswirken, weiß ich nicht. In Cambridge wurden dehalb extra die Morgenstunden nach dem Lichten der Nebel gewählt. Das Sonnenlicht erwärmt in erster Linie den Erdboden, der die Luft darüber erwärmt. Dadurch entsteht der Temperaturgradient und dadurch die Refraktion.

andiJeck schrieb: Und auch die Zahlenwerde für die Kreisfunktionen im Bogenmaß

Der Witz ist, dass der Erdradius gegenüber der fraglichen Entfernung groß genug ist (besser gesagt der Winkel klein genug), dass man die Winkelfunktionen vernachlässigen kann
für α° ≪ 30° gilt r·sin.α° ≈ r·α°π/180°
und bei dem Versuch geht es um weniger als 0,1°

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