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THEMA: Gravitative Zeitdilatation unter der Oberfläche von Massen

Gravitative Zeitdilatation unter der Oberfläche von Massen 16 12. 2019 20:21 #62423

Hallo zusammen,

angestoßen durch die Überlegung, ob es eine Punktsingularität im Inneren eines Schwarzen Lochs gibt habe ich mir die Frage gestellt, wie sich die Zeitdilatation denn auf der Erdoberfläche im Vergleich zum Erdmittelpunkt verhält. Eigentlich würde ich davon ausgehen, dass die Zeitdilatation im Inneren der Erde ihr Maximum hat, weil die Raumzeitdiagramme (die bekannte "Kugel" auf einem Tuch, um die Krümmung der Raumzeit zu visualisieren) auch immer ein Maximum im Zentrum der Massen haben.

Meine Frage ist nun folgende:
Gibt es experimentelle Nachweise, dass im Zentrum einer Masse auch die höchste Raumzeitverzerrung herrscht?
Im Mittelpunkt der Erde bin ich quasi schwerelos, weil die Gravitation in alle Richtungen gleichmäßig wirkt. Wäre die Zeitdilatation direkt an die Gravitation gekoppelt, müsste sie im Erdmittelpunkt ja wieder "0" betragen (also keine Dilatation), während auf der Oberfläche die höchste Dilatation gemessen wird.
Die Krümmung der Raumzeit verhält sich nach meinem Verständnis anders als die "effektive" Gravitation.

Das ließe sich experimentell ja theoretisch einfach überprüfen, indem man Atomuhren einmal direkt auf der Erdoberfläche und einmal x-Meter unter der Erde laufen lässt und vergleicht, welche nun langsamer geht. Oder aber Atomuhren in verschiedenen Gravitationspotentialen auf der Erdoberfläche aufstellt, auch davon gibt es ja bereits Daten. Allerdings weiß ich nicht, ob die Uhren genau genug sind, um solche kleinen Unterschiede messen zu können.

Hat jemand von euch genauere Daten dazu oder kennt Experimente?


Viele Grüße
Tobias

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Gravitative Zeitdilatation unter der Oberfläche von Massen 16 12. 2019 21:53 #62427

Tobias Kolkmann schrieb: auch immer ein Maximum im Zentrum der Massen haben.

So ist es, dabei kommt es auch nicht auf die Kugelform an, denn das Zentrum ist sowieso in der Mitte (Schwerpunkt).

Tobias Kolkmann schrieb: Gibt es experimentelle Nachweise, dass im Zentrum einer Masse auch die höchste Raumzeitverzerrung herrscht?

Tiefste Borhungen gehen wohl einige km tief, das kratzt gerade einmal die Kruste.

wiki: Kola-Bohrung ... Sie erreichte 12.262 Meter Teufe (1989) und ist seit 1979 die tiefste Bohrung der Welt

Tobias Kolkmann schrieb: Die Krümmung der Raumzeit verhält sich nach meinem Verständnis anders als die "effektive" Gravitation.

Also nocheinmal:
1) Masse ezeugt ein Gravitationspotential Φ, das mit dem Radius abfällt Φ = -G·m/r.
2) Das Gravitationsfeld ist der Gradient des Potentials g¹ = ∇¹Φ = -(G·m/r².)¹
3) Beide Effekte sind additiv, überlagern sich also einfach. g¹ = -G Σ (mi/ri²)¹
Dies ergibt sich allein schon daraus, dass die Formel nicht von der Größe der Einzelmasse abhängt, also geteilte Massen sich addieren.
4) Allein aus diesen Angaben kann man das Potential an jedem Punkt ausrechnen und daraus wieder den Gradienten. Somit herrscht in einer Hohlkugel das gleiche Potential wie an dessen Oberfläche jedoch kein Gradient, Gleiches gilt im Schwerpunkt eines Körpers.
5) Nach ART ist das Potential für den Shapirofaktor verantwortlich: σ = ²(1+2Φ/c²) im Außenbereich einer Kugel kann dies durch andere Maßgrößen ersetzt werden:
σ = ²(1-rs/r) = ²(1-g·r/c²) = ²(1-v²/c²) etc.
6) Die Raumzeitkrümmung ergibt sich nach der Schwarzschildlösung aus dem Shapirofaktor
-c²dτ² = ds² = -c²dt²σ² + dr²/σ² + r²dΩ²
7) Aus der inneren Schwarzschildlösung ergibt sich, dass die Zeitverzögerung (Lapse) unabhängig vom Gradienten allein vom Potential abhängt. Die Raumvergrößerung (Lamb-Shift) ist hingegen vom Gradienten bzw der Beschleunigung abhängig.
-c²d.τ² = ds² = -[²(1-R_r²/Ri²)3 -²(1-r²/Ri²)]²c²d.t²/4 + d.r²/(1-r²/Ri²) + r²dΩ²
mit ((Ri²=R_r³/rs))

wiki: Im Erdinneren in der Erdkruste beträgt der Prey- oder "innere Gradient" etwa −0,085 mGal/m, mit zunehmender Tiefe (d. h. mit abnehmender Höhe) nimmt die Schwerebeschleunigung wegen der hohen Dichte des Erdkerns leicht zu.
Prey befasste sich u. a. mit dem Schwerefeld der Erde und anderer Himmelskörper. Der theoretische Schweregradient im Innern der Erdkruste, der Prey-Gradient, ist nach ihm benannt.
Zu Beginn der Zwanziger Jahre war er der erste Forscher, der die Höhen- und Tiefenverhältnisse der Erde in einer durchgängigen Kugelfunktionsentwicklung darstellen konnte. Wegen rechentechnischer Engpässe (damaliger Standard war logarithmisches Rechnen) konnte er die Entwicklung zunächst nur bis zur 5. Ordnung führen, aber 1922 gelang ihm die Weiterführung bis n = m = 16, was einem damals sensationellen harmonischen Modell des ganzen Globus mit etwa 1000 km Auflösung oder über 600 Schwerekoeffizienten entsprach.

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Gravitative Zeitdilatation unter der Oberfläche von Massen 17 12. 2019 00:25 #62431

Hallo ra-raisch,

vielen Dank für die Antwort - denke ich :-)

Ich habe zugegebenermaßen kein Physik studiert und brauche noch ein wenig Zeit, um den Shapirofaktor, Lamb-Shift, Prey-Gradient zu verstehen oder allein schon zu wissen, was ein Gradient ist...

Aber wenn ich mal versuche, es für den Anfang in einfachere Worte zu fassen:
- Wir reden vom Gravitationspotential, dessen Maximum sich im Mittelpunkt eines kugelförmigen Objektes befindet.
- Das Gravitationsfeld ist ein Gradient und beschreibt den Verlauf, wie stark die Schwerebeschleunigung an einem beliebigen Punkt ist (?)
- Die Bohrungen, die Menschen vornehmen können, kratzen gerade mal am Erdmantel und würden hier eher eine Zunahme der Schwerebeschleunigung bedeuten. Das kommt daher, dass der Erdkern viel dichter ist als die äußeren Bereiche. Sehr anschaulich finde ich hier auch die Grafik bei Wikipedia zur Schwerebeschleunigung.
- Die innere Schwarzschildlösung besagt, dass die Zeitverzögerung nicht vom Gradienten sondern vom Potential abhängt. Wenn ich daher verstehen möchte, warum das so ist, muss ich die innere Schwarzschildlösung verstehen. Da man es mathematisch herleiten kann gibt es auch keine Notwendigkeit experimentell zu prüfen, ob die Zeitverzögerung mit dem Potential oder dem Gradienten zusammenhängt. Oder wurde ein entsprechendes Experiment bereits an Orten mit unterschiedlichen Schwerebeschleunigungen (aber gleichem Abstand zum Schwerepunkt) durchgeführt?


Viele Grüße
Tobias

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Gravitative Zeitdilatation unter der Oberfläche von Massen 17 12. 2019 01:04 #62432

Ja, alles ziemlich richtig zusammengefasst. Der Gradient ist die Ableitung nach der Entfernung, also die Änderung je Länge.
g = ∇Φ = dΦ/dr

Tobias Kolkmann schrieb: Da man es mathematisch herleiten kann gibt es auch keine Notwendigkeit experimentell zu prüfen, ob die Zeitverzögerung mit dem Potential oder dem Gradienten zusammenhängt.

Naja es ergibt sich aus Einsteins Feldgleichungen, Schwarzschild hat das als erster berechnet. Nachdem Einsteins Gleichungen gut geprüft wurden, besteht kein Zweifel, dass sie weitestgehend richtig sind. Ein Test mit einem Potential ohne Gradient wäre in der Nähe der Lagrangepunkte eigentlich möglich. Dort müßte man nur die Zeitdilatation messen, sie müßte sich dann in Richtung Mond und in Richtung Erde verstärken. Aber das wäre ja nichts Besonderes und nicht mit dem Erdmittelpunkt zu vergleichen. Um zu vergleichen, dass auch dort eine Zeitdilatation herrscht, müßte man zusätzlich die noch geringere Zeitdilatation ganz ferne von großen Massen messen. Aus unserer Sicht auf der Erde geht dort oben die Uhr immer schneller als hier unten, weil die Zeitdilatation hier eben noch stärker ist. Dies kennt man ja vom GPS und auch von der Raumfahrt bzw Messungen auf Satelliten.

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Gravitative Zeitdilatation unter der Oberfläche von Massen 18 12. 2019 19:18 #62476

Den Gedanken mit den Lagrange-Punkten hatte ich auch. Allerdings hielt ich die Messungen auf der Erde für einfacher. Da Bohrungen nun aber einen zu geringen Effekt haben wäre ein mögliches "einfaches" Experiment, die Zeit zwischen einem Punkt mit hohem Gravitationspotential und einem Punkt mit niedrigem Gravitationspotential zu vergleichen (dazu existieren ja auch bereits Karten), die aber auf gleicher Höhe liegen.
Verstehe ich es richtig, dass du nun sagst "auf beiden Punkten herrscht die gleiche Zeitdilatation, weil sie gleich weit vom Zentrum entfernt sind"? Weil mein Gedanke ist ja, dass die Dilatation unterschiedlich sein müsste - der Ort, an dem ich die höchste Schwerebeschleunigung habe, müsste auch die höchste Dilatation aufweisen.

Die Einstein'schen Feldgleichungen werden natürlich immer wieder überprüft. Von außen betrachtet ist es auf astronomische Entfernungen aber egal, ob das Maximum der Dilatation nun auf der Oberfläche eines Objektes ist oder in dessen Mittelpunkt. Daher interessiert mich halt, ob entsprechende Experimente bereits durchgeführt wurden.

Mir war beim Erstellen des Themas nicht bekannt, dass die Lösung sich nun aus den Feldgleichungen herleiten lässt. Aber sei es drum, Theorien werden durch das Experiment an ihrer Richtigkeit gemessen, daher interessiert mich, ob jemandem diesbezüglich schon Experimente bekannt sind.
Schwerebeschleunigung ist ja im Prinzip eine Folge der Zeitdilatation, daher liegt für mich im Umkehrschluss nahe, dass die Dilatation dort am höchsten ist, wo die höchste Schwerebeschleunigung herrscht. Und das ist eben nicht das Zentrum.
Vermutlich liege ich jetzt falsch, weil ich von Schwerebeschleunigung ausgehe und nicht vom Gravitationspotential, das im Zentrum am größten ist. Aber ich kann eben noch immer nicht nachvollziehen, warum wir bei der Zeitdilatation vom Potential ausgehen und nicht von der Schwerebeschleunigung.


Viele Grüße
Tobias

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Gravitative Zeitdilatation unter der Oberfläche von Massen 18 12. 2019 23:01 #62484

vll. hilft dir diese Artverwandte Diskussion weiter
gravitation unterhalb der erdoberflaeche staerker oder schwaecher

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Gravitative Zeitdilatation unter der Oberfläche von Massen 18 12. 2019 23:19 #62486

Tobias Kolkmann schrieb: Allerdings hielt ich die Messungen auf der Erde für einfacher.

Es gibt bereits Messvorrichtungen, die einen Höhenunterschied mehr als 1 m (theoretisch) 2 cm aus der gemessenen Zeitdilatation berechnen können.
12 February 2018 www.nature.com/articles/s41567-017-0042-3
13.2.18 www.spiegel.de/wissenschaft/technik/mobi...alpen-a-1193185.html
Moderne, optische Atomuhren sind so gut, dass sie über die veränderte Zeit im Labor bereits einen Höhenunterschied von nur zwei Zentimetern messen können.

Das müßte ja auch unterirdisch gehen und zu leicht abweichenden Ergebnissen führen.

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