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THEMA: Volumen eines sphärischen Raumes

Volumen eines sphärischen Raumes 24 Feb 2019 19:23 #48998

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Hallo!

Wie berechnet man das Volumen eines gleichmäßig gekrümmten, sphärischen Raumes?

Eine Kreis-Linie ist endlich, aber nicht begrenzt. Es gibt keinen Symmetrie-Punkt. Jede Bewegung auf der Linie führt immer zurück zum Ausgangspunkt.

In der 2. Dimension, der Kugeloberfläche, gelten die gleichen Angaben. Die Fläche ist endlich aber nicht begrenzt. Es gibt auf der Fläche keinen Symmetrie-Punkt, keine Mitte. Jede gradlinige Bewegung führt zum Ausgangspunkt zurück, unabhängig in welcher Richtung die Bewegung erfolgt.

In der 3. Dimension, dem sphärischen Raum, gelten die gleichen Bedingungen. Der Raum ist endlich, hat also ein endliches Volumen. Der sphärische Raum ist nicht begrenzt, hat also keine Oberfläche in der 3. Dimension. Dieser sphärische Raum hat auch keinen Mittelpunkt. Jede geradlinige Bewegung in jeder Richtung, nicht nur in der horizontalen, führt zum Ausgangspunkt zurück.

Wie groß ist das Volumen dieses sphärischen Raumes?

Eine Berechnung ist vielleicht nur möglich, indem man den sphärischen Raum in einem vierdimensionalen Euklidischen Raum einbettet.

Ich bin gespannt auf die Lösung.

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Volumen eines sphärischen Raumes 24 Feb 2019 21:49 #49003

Dade schrieb:  
Wie berechnet man das Volumen eines gleichmäßig gekrümmten, sphärischen Raumes?

So wie in Beitrag #47714:

Yukterez schrieb:  
Das Volumen eines solchen in sich gekrümmten 3D Universums wäre die Oberfläche der entsprechenden 4D Hypersphäre mit Radius r=c/H/√(Ωτ-1).

In anderen Worten, der Umfang eines Kreises mal der Kreisfläche:

Yukterez schrieb:  
A(4)=2πrV(2)=2π²r³=U³/4/π

wobei r der Krümmungsradius, also der Krümmungsumfang U (die Geradeausstrecke in der man wieder am Ursprungsort wäre) durch 2π, ist.

,
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Volumen eines sphärischen Raumes 26 Feb 2019 16:43 #49061

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Vielen Dank für die Formeln.
Etwas ist dabei für mich verwunderlich. Das Volumen des sphärischen Raumes ist fast exakt 8 mal so groß wie die der Kugel mit gleichen Radius. Das entspricht einer (sphärischen) Kugel mit exakt doppelten Radius. Die Radien unterscheiden sich um den Faktor 2.03!
Das ist für mich, der in der Mathematik und Physik eher die Symmetrie liebt, störend. Woher kommt diese Abweichung?
Mir ist bewusst, dass es unmöglich ist sich einen Raum vorzustellen; wir können immer nur Flächen, Schnittflächen, Oberflächen wahrnehmen, besonders wenn der Raum keine Oberfläche und keinen Mittelpunkt hat. Der Faktor 2 verleitet jedoch zu dem Versuch sich irgendetwas Konkretes z.B. eine Schnittebene aus der euklidischen Geometrie abzuleiten. Das ist aber in dem Fall sicher auch nicht möglich. Das ist wohl auch der Grund, warum der sphärische Raum im Allgemeinen nicht besonders beliebt ist. Mit ihm könnte jedoch z.B. die Homogenität der Hintergrundstrahlung sehr einfach erklärt werden. Die Inflationstheorie wäre auch nicht mehr notwendig.

mfG Dade

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Volumen eines sphärischen Raumes 26 Feb 2019 20:55 #49076

Dade schrieb: Das Volumen des sphärischen Raumes ist fast exakt 8 mal so groß wie die der Kugel mit gleichen Radius.

Falsch. Das Volumen des gekrümmten Raums ist A(4)=2π²r³ und das einer Kugel V(3)=4πr³/3. Der Faktor um den sich das unterscheidet ist aber nicht 8 sondern A(4)÷V(3)=3π/2≈4.71238898

Dade schrieb: Die Radien unterscheiden sich um den Faktor 2.03! Das ist für mich, der in der Mathematik und Physik eher die Symmetrie liebt, störend. Woher kommt diese Abweichung?

Wahrscheinlich von dem Rechenfehler den du gemacht hast als du 2π²r³ durch 4πr³/3 dividiert hast.

Dade schrieb: Das ist wohl auch der Grund, warum der sphärische Raum im Allgemeinen nicht besonders beliebt ist. Mit ihm könnte jedoch z.B. die Homogenität der Hintergrundstrahlung sehr einfach erklärt werden. Die Inflationstheorie wäre auch nicht mehr notwendig.

Das ist ein Trugschluss, denn auch in einem geschlossenen Raum würdest du dafür die Inflation benötigen. Vermutlich stellst du dir das so vor dass das Licht einfach im Kreis gefahren wäre und deshalb überall die gleiche Temperatur herrscht. Ohne Inflation hätte der Raum sich am Anfang aber immer noch so schnell ausgedehnt dass das Licht auch im geschlossenen Fall keine Zeit gehabt hätte einen ganzen Krümmungsumfang zu durchfliegen, da dieser dann während das Licht unterwegs war zu schnell gewachsen wäre. So oder so benötigst du daher am Anfang eine Phase in der das Universum sich langsamer ausgedehnt hat als das im Singularitätsmodell der Fall wäre, und das erreichst du nur mithilfe der Inflation. Ob offen oder geschlossen macht dafür keinen Unterschied.

Dagegen,

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Volumen eines sphärischen Raumes 27 Feb 2019 08:31 #49089

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Ja, ich habe 3/4 statt 4/3 gerechnet!
Der gekrümmte Raum könnte wahrscheinlich für Alles eine Erklärung liefern ohne Urknall!

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