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THEMA: Kovariant und Kontravariant

Kovariant und Kontravariant 09 11. 2019 10:36 #60624

Im Threat Ladungserhaltung hat Ferragus eine Definition der Kovarianten Ableitung gegeben.

Ferragus schrieb: .
Aus der Forderung, dass der Lagrangian einer Theorie mit \( \varphi(x) \mapsto e^{-i\alpha(x)} \varphi(x) \) invariant ist, ergibt sich bereits die Kopplung an das EM-Feld. Damit der kinetische Term nämlich invariant ist, müssen die partiellen durch kovariante Ableitungen \( D_{\mu}= \partial_{ \mu} + ie A_{\mu } \)
ersetzt werden.

Diese wurde im weiteren Verlauf durch ihn und Michael und anderen konkretisiert. Die Notwendigkeit der kovarianten Ableitung ergibt sich dadurch, dass wir eine Ableitung in krummlinigen Koordinaten haben (einfach ausgedrückt).

Ich habe aber irgendwie im Hinterkopf, dass es da noch ein übergeordnetes Konzept geben muss. Die Bezeichnungen sagen ja erstmal aus, dass zwei Funktionen irgendwie gleich variieren (Kovariant) oder entgegengesetzt variieren (Kontravariant). Das erinnert an den Kontrapunkt in der Musik.

Ausserdem habe ich eine schwache Erinnerung, dass auch der sogenannte duale Vektorraum eine Rolle spielt. Also der Raum der linearen Abbildungen über einem Vektorraum der isomorph zu diesem ist. Und das eine Kovariante Ableitung eine Ableitung nach diesem Dualem Raum sei.

Und dann haben wir noch die Christoffelsymbole in der ART. Hier sollen die kovariante und kontravariante Ableitung dadurch gekennzeichnet sein, dass Indizies oben oder unten stehen mit Regeln, wie man die vertauschen kann.

Ich erinnere mich an einen Kommilitonen, der für seine Arbeit seitenweise Indizes dieser Symbole hoch und runter rechnete.

Kann jemand Licht in mein Halbwissen bringen?

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Letzte Änderung: von Manfred S. Begründung: Rechtschreibung (Notfallmeldung) an den Administrator

Kovariant und Kontravariant 09 11. 2019 10:48 #60625

Hier die Kurzfassung aus meinem gepflegten Halbwissen:

Unsere normalen Größen sind kontravariant, weil sich bei einer Maßstabsänderung die Maßzahlen natürlich reziprok verhalten. Das Produkt bleibt gleich.
Bei Kovarianten Größen ist es umgekehrt, Maßstab und Maßzahl skalieren gleich. Dies entspricht wohl einem dualen Raum.
...ich hoffe das stimmt so, spielt aber beim Rechnen keine Rolle.

Das Rechnen in einer gekrümmten Raumzeit ist kovariant allgemeingültig. Kontravariant können Unterschiede der Formeln zwischen Bezugssystemen bestehen.

Die Christoffelsymbole sind eine Zusammenfassung der diversen jeweils nötigen Ableitungen und erlauben eine formale Rechnung mit Indexakrobatik. Letztlich müssen sie dann immer aufwendig aus der Metrik berechnet werden.
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Kovariant und Kontravariant 09 11. 2019 10:52 #60626

@ra-raisch Danke, das war eine bemerkenwert schnelle Antwort auf ein schwieriges Thema

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Kovariant und Kontravariant 09 11. 2019 10:59 #60627

Achja, noch was, es gibt zwei Sorten von Christoffelsymbolen, erster und zweiter Art, beide mit 3 Indizes, aber
Γαβγ und Γαβγ
meist ist das zweite gemeint, die affine Verbindung, und beide sind keine gültigen Tensoren!

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Kovariant und Kontravariant 09 11. 2019 13:52 #60638

Dieses Video hat mir persönlich die Augen in Bezug auf ko- und kontravariant geöffnet. Vielleicht hilfts :) .

ra-raisch schrieb: Unsere normalen Größen sind kontravariant, weil sich bei einer Maßstabsänderung die Maßzahlen natürlich reziprok verhalten. Das Produkt bleibt gleich.

Sehr gut Rainer. Auf den Punkt gebracht.

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.
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Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.

Kovariant und Kontravariant 09 11. 2019 14:40 #60643

Hallo Manfred,

als Zusatz zu rai-raischs Antwort:

Die Begriffe "kovariant" und "kontravariant" haben erst mal nicht direkt etwas mit der kovarianten Ableitung zu tun.
Wie du gesagt hast, haben kovariante Vektoren (genauer geht es idR um Vektorfelder) etwas mit Dualräumen zu tun.

Wenn wir eine Mannigfaltigkeit M haben (der Einfachheit halber können wir den Minkowskiraum nehmen) und \( p\in M \) irgendein Punkt auf dieser Mannigfaltigkeit ist, dann können wir Tangentialvektoren in diesem Punkt definieren, die einen Vektorraum bilden, den Tangentialraum \( T_pM \). Die Vereinigung aller Tangengialräume bildet dann das sogenannte Tangentialbündel \( TM\). Wenn wir jetzt jedem Punkt \( p\in M\) einen Vektor aus \( T_pM \) zuweisen, dann nennt man das ein Vektorfeld.
Die Vektorräume \( T_pM\) haben dieselbe Dimension wie die Mannigfaltigkeit M.
Wenn wir ein lokales Koordinatensystem um einen Punkt p haben (stellen wir uns z.B. eine Kugel vor, einen beliebigen Punkt und eine Viertelkugel um den Punkt) mit Koordinaten \( (x^1, x^2, ... x^n) \), dann sind die partiellen Ableitungen \( \partial_1, \partial_2,... \partial_n \) nach diesen Koordinaten im Punkt p linear unabhängige Tangentialvektoren und damit eine Basis für \( T_p M \).

Einen Vektor \( v \in T_pM \) kann man somit in der Form
\( v = v^i\partial_i \)
schreiben. Häufig spricht man auch nur von den Komponenten \(v^i\) dieses Vektors, also sagt "Ein Vektor \( v^i\). Aber diese Komponenten hängen natürlich von der gewählten Basis ab. Wenn wir zwei verschiedene Koordinatensysteme \( x^1,... \) und \( y^1,...\) haben, dann können wir den Vektor in beiden darstellen:
\( v = v_x^1\frac\partial{\partial x^1} + v_x^2\frac\partial{\partial x^2}+... = v_y^1\frac \partial{\partial y^1}+ v_y^2\frac\partial{\partial y^2} + ...\),
wobei \(v_x^1, v_x^2,...\) die Komponenten von v bzgl. des ersten und \( v_y^1, v_y^2,...\) die bzgl. des zweiten Koordinatensystems sind.

Das zeigt aber auch: wenn wir von einem Koordinatensystem in ein anderes wechseln, dann transformieren sich die Komponenten so:
\( v_y^i = v_x^j \frac{\partial y^i}{\partial x^j} \)

In der Physik hantiert man oft ausschließlich mit den Komponenten eines Vektors und nimmt dieses Transformationsverhalten als Definition für kontravariant: Eine Größe \(v^1,...,v^n\), die sich bei Koordinatenwechsel \( x^1,... \rightarrow y^1,... \) so transformiert:
\(v^i \rightarrow v^j\frac{\partial y^i}{\partial x^j} \)
heißt kontravariant.

Ich mache hier einen kleinen Cut und würde nachher etwas zu "kovariant" schreiben.

Beste Grüße

Edit und Fazit: Ich fand die Definition über das Transformationsverhalten immer etwas unintuitiv. Klarer finde ich: ein kontravarianter Vektor gehört zum Tangentialbündel einer Mannigfaltigkeit.
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Kovariant und Kontravariant 10 11. 2019 10:41 #60670

Ich habe im letzten Beitrag geschrieben, dass man einen Vektor v aus dem Tangentialraum \( T_pM \) im Punkt p einer Mannigfaltigkeit M in der Form
\( v = v^i\partial_i \)
schreiben kann und manchmal auch nur die Komponenten \( v^i \) als (kontravarianten) Vektor bezeichnet.
Zu einem Vektorraum V gibt es den sog. Dualraum V*, der aus linearen Funktionalen auf diesem Vektorraum besteht. Das sind lineare Abbildungen, die einen Vektor nehmen und ihm eine Zahl zuweisen. Was muss man sich darunter vorstellen?

Betrachten wir den Tangentialraum \( T_pM \) und lineare Abbildungen, die Vektoren aus \( T_pM \) nehmen und ihnen eine reelle Zahl zuweisen:
\( w(a+b) = w(a) + w(b) \in \mathbb R \)
für \(a,b\in T_pM\). Diese Abbildungen w bilden selbst einen Vektorraum, der, wie schon erwähnt, mit \( T_pM^*\) bezeichnet wird und Kotangentialraum von M im Punkt p heißt.
Eine Basis für diesen Raum, die wir mit \( \{dx^1,...,dx^n\} \) bezeichnen, können wir dadurch definieren, dass \( dx^i(\partial x_j) = \delta^i_j \) ist, also dass.
Mit dieser Basis können wir jedes Element aus dem Kotangentialraum in der Form
\( w = w_1 dx^1 + ... + w_n dx^n\) schreiben oder, wenn wir die Einsteinsche Summenkonvention verwenden,
\( w = w_i dx^i\).

Warum schreibe ich den Index dafür unten? Das ist an diesem Punkt erst mal willkürlich. Aber wenn wir uns anschauen, was wir erhalten, wenn wir ein \( w \in T_pM^* \) auf ein \( v\in T_pM\) anwenden, dann ist das nach obiger Definition:
\( w(v) = w_i dx^i(v^j\partial_j) = w_i v^j \delta^i_j = w_i v^i\),
das heißt mit dieser Oben-Unten-Konvention können wir die Einsteinsche Summenkonvention anwenden:
w angewandt auf v liefert die Zahl, die man erhält, wenn man die Komponenten von w mit denen von v multipliziert: \( w(v) = w_i v^i = w_1v^1 + ... + w_nv^n \).

Es gibt aber noch einen Grund. Die Komponenten \( w_i\) von \( w\in T_pM^*\) transformieren sich bei einem Koordinatenwechsel genau umgekehrt zu den Vektoren \(v\in T_pM\):
\( w_i \rightarrow w_j \frac{\partial x^j}{\partial y^i}\)
bei einem Koordinatenwechsel
\( (x^1,...,x^n)\rightarrow (y^1,...,y^n\).

Daher nimmt man analog zu zuvor dieses Transformationsverhalten als Definition und nennt solche Größen, die sich "umgekehrt" transformieren bei einem Koordinatenwechsel, "kovariant". (Die Bezeichnungen sind in diesem Sinne genau umgekehrt zu dem, was man eig meinen möchte, das ist historisch bedingt.)
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Kovariant und Kontravariant 10 11. 2019 11:18 #60672

Michael D. schrieb: Dieses Video hat mir persönlich die Augen in Bezug auf ko- und kontravariant geöffnet. Vielleicht hilfts :) .

Danke Michael, es hilft. Schöne Graphik, gut verständliche Stimme. Aus der Quelle scheint es noch mehr gute Videos zu geben.

Klugscheissers off topic Frage: Welche bekannte Overtüre bildet die Musikuntermalung? Hinweis: Sie ist von Rossini und ist im zweiten Teil sehr prägnant.:)

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Kovariant und Kontravariant 10 11. 2019 12:10 #60680

Hallo Ferragus tolle Ausarbeitung. Ich versuche zu verstehen:

Ferragus schrieb: Die Begriffe "kovariant" und "kontravariant" haben erst mal nicht direkt etwas mit der kovarianten Ableitung zu tun.
Wie du gesagt hast, haben kovariante Vektoren (genauer geht es idR um Vektorfelder) etwas mit Dualräumen zu tun.

Wenn wir eine Mannigfaltigkeit M haben (der Einfachheit halber können wir den Minkowskiraum nehmen) und \( p\in M \) irgendein Punkt auf dieser Mannigfaltigkeit ist, dann können wir Tangentialvektoren in diesem Punkt definieren, die einen Vektorraum bilden, den Tangentialraum \( T_pM \). Die Vereinigung aller Tangengialräume bildet dann das sogenannte Tangentialbündel \( TM\). Wenn wir jetzt jedem Punkt \( p\in M\) einen Vektor aus \( T_pM \) zuweisen, dann nennt man das ein Vektorfeld.
Die Vektorräume \( T_pM\) haben dieselbe Dimension wie die Mannigfaltigkeit M.

Also Du definierts über jedem Punkt einen eigenen Vektorraum. Da kommen ja ganz schön viele Räume zusammen. :)

Der Tangentialvektor ist ein Vektor, der seinen Ursprung in p hat? oder durch ihn durchgeht?

Wenn wir ein lokales Koordinatensystem um einen Punkt p haben (stellen wir uns z.B. eine Kugel vor, einen beliebigen Punkt und eine Viertelkugel um den Punkt) mit Koordinaten \( (x^1, x^2, ... x^n) \), dann sind die partiellen Ableitungen \( \partial_1, \partial_2,... \partial_n \) nach diesen Koordinaten im Punkt p linear unabhängige Tangentialvektoren und damit eine Basis für \( T_p M \).

Wozu soll ich mir eine Kugel vorstellen oder eine Viertelkugel?

Da die Partiellen Ableitungen als Basis genommen werden, sind wir wohl jetzt im dualen Raum der linearen Abbildungen.(?)


Einen Vektor \( v \in T_pM \) kann man somit in der Form
\( v = v^i\partial_i \).

ok der Rest ergibt sich.

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Letzte Änderung: von Manfred S. Begründung: Viertelkugel (Notfallmeldung) an den Administrator

Kovariant und Kontravariant 10 11. 2019 17:21 #60697

Hallo Manfred,

Also Du definierts über jedem Punkt einen eigenen Vektorraum. Da kommen ja ganz schön viele Räume zusammen. :)

Der Tangentialvektor ist ein Vektor, der seinen Ursprung in p hat? oder durch ihn durchgeht?

Wozu soll ich mir eine Kugel vorstellen oder eine Viertelkugel?

Da die Partiellen Ableitungen als Basis genommen werden, sind wir wohl jetzt im dualen Raum der linearen Abbildungen.(?)


Ja, ziemlich viele Vektorräume ;) Die Kugeoberflächel sollte ein Beispiel für eine (2-dimensionale) Mannigfaltigkeit sein. Wenn man sich diese eingebettet in den dreidimensionalen Anschauungsraum vorstellt, dann ist der Tangentialraum in jedem Punkt eine Ebene, die senkrecht auf den Radius steht und die Tangentialvektoren sind alle Vektoren, die ihren Ursprung im Punkt p haben und in dieser Ebene liegen.
Die Sache ist: Es ist nicht notwendig, sich die Mannigfaltigkeit als in einen höhendimensionalen Raum eingebettet vorzustellen. Wir können die Tangentialvektoren auch definieren, ohne darauf zurückzugreifen. Das heißt: Wie definieren wir einen Tangentialvektor in einer Mannigfaltigkeit ohne diese "zu verlassen"? Eine Möglichkeit ist, über sog. Derivationen - das ist der Weg mit den partiellen Ableitungen. Dabei sind wir NICHT im dualen Raum sondern die partiellen Ableitungen sind die Tangentialvektoren (eine Basis dazu).
Eine weitere mögliche Definition ist als Äquivalenzklasse von Kurven, die durch diesen Punkt gehen. Das wichtige ist: Die Definitionen sind alle äquivalent.

Die Viertelkugel sollte nur ein Beispiel für eine Karte sein - eine Mannigfaltigkeit ist ja ein typologischer Raum mit der wichtigen Eigenschaft, dass man ihn mit sog. Karten bedecken kann, die wie der R^n aussehen. Beispiel: Man kann kein Koordinatensystem für eine ganze Kugeloberfläche definieren, also die Kugeloberfläche auf den R^2 abbilden ohne seine Struktur zu zerstören. (Deshalb muss man Kompromisse eingehen, wenn man eine Weltkarte zeichnet).
Aber man kann die Kugel mit Flächen bedecken, die für sich genommen wie der R^2 aussehen. Etwa Viertelkugeln.
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Kovariant und Kontravariant 10 11. 2019 18:46 #60700

Hallo Ferragus
Man Man, Du holst ja ganz schön weit aus. - Und das ist gut so.

Ferragus schrieb: Die Kugeoberflächel sollte ein Beispiel für eine (2-dimensionale) Mannigfaltigkeit sein. Wenn man sich diese eingebettet in den dreidimensionalen Anschauungsraum vorstellt, dann ist der Tangentialraum in jedem Punkt eine Ebene, die senkrecht auf den Radius steht und die Tangentialvektoren sind alle Vektoren, die ihren Ursprung im Punkt p haben und in dieser Ebene liegen.

Ok ein Beispiel einer gekrümmten Fläche. Ich hatte Punkt p erst als Zentrum der Kugel verstanden. P ist ein Punkt auf dieser Fläche. jetzt wird es klarer und der Begriff Tangentialraum macht Sinn.

Die Sache ist: Es ist nicht notwendig, sich die Mannigfaltigkeit als in einen höhendimensionalen Raum eingebettet vorzustellen. Wir können die Tangentialvektoren auch definieren, ohne darauf zurückzugreifen. Das heißt: Wie definieren wir einen Tangentialvektor in einer Mannigfaltigkeit ohne diese "zu verlassen"? Eine Möglichkeit ist, über sog. Derivationen - das ist der Weg mit den partiellen Ableitungen. Dabei sind wir NICHT im dualen Raum sondern die partiellen Ableitungen sind die Tangentialvektoren (eine Basis dazu).

Aber Du hast nicht die Ableitung des Punktes angegeben, sondern nur die Differentialoperatoren für die Ableitung in "v=vi∂i". Deshalb dachte ich an die linearen Abbildungen.

Eine weitere mögliche Definition ist als Äquivalenzklasse von Kurven, die durch diesen Punkt gehen.

Alle Kurven, die auf der Tangentialfläche liegen??

Das wichtige ist: Die Definitionen sind alle äquivalent.

Eine reicht mir. :)


Die Viertelkugel sollte nur ein Beispiel für eine Karte sein - eine Mannigfaltigkeit ist ja ein typologischer Raum mit der wichtigen Eigenschaft, dass man ihn mit sog. Karten bedecken kann, die wie der R^n aussehen. Beispiel: Man kann kein Koordinatensystem für eine ganze Kugeloberfläche definieren, also die Kugeloberfläche auf den R^2 abbilden ohne seine Struktur zu zerstören. (Deshalb muss man Kompromisse eingehen, wenn man eine Weltkarte zeichnet).
Aber man kann die Kugel mit Flächen bedecken, die für sich genommen wie der R^2 aussehen. Etwa Viertelkugeln.

Oje jetzt wird es auch noch topologisch. :)

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Kovariant und Kontravariant 13 11. 2019 13:42 #60836

Hallo Manfred,

ich freue mich, wenn ich etwas Klarheit reinbringen kann. Mit Bildern wäre das etwas einfacher.

Der wichtige Punkt ist: Wie definiert man Tangentialvektoren, ohne die Mannigfaltigkeit "zu verlassen", also sie eingebettet in einen höherdimensionalen Raum zu denken.
Was wir bei einer Mannigfaltigkeit M tun können:
Funktionen \( f: M \rightarrow \mathbb R\), also reellwertige Funktionen auf M, definieren.
Es zeigt sich aber, dass es sinnvoll ist, Tangentialvektoren in einem Punkt p auf der Mannigfaltigkeit M als Ableitungen von Funktionen in diesem Punkt zu definieren.
Das heißt, ein Vektor ist ein Objekt, das Funktionen nimmt und eine Zahl ausspuckt:
\( v: f \mapsto v(f) \in \mathbb R \)

Die so definierten Objekte bilden einen Vektorraum, der z.B. mit dem geometrisch ("von außen") definierten Tangentialraum übereinstimmt. Da es dabei aber nicht notwendig ist, die Mannigfaltigkeit in einen Raum einzubetten, ist es die praktischere / sinnvollere und daher übliche Definition.
Anschaulich ist so ein Vektor eine Richtungsableitung:
\( v(f) = (v^1\frac{\partial}{\partial x_1} + ... + v^n\frac{\partial}{\partial x_n})(f) = v^1\frac{\partial f}{\partial x_1}+...+ v^n\frac{\partial f}{\partial x_n}\),
wobei die Ableitungen in einem Punkt \(p\in M\) sind und \( v\in T_pM\) ist.

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Kovariant und Kontravariant 13 11. 2019 14:01 #60837

Jörn Loviscach Kosmologie



11.Viererstrom, Energie-Impuls-Tensor, Levi-Civita-Symbol
12.Äquivalenzprinzip, Geodäten, gekrümmte Raumzeit
13.Mannigfaltigkeiten, Tangentialräume, nochmals Geodäten
14.kovariante Ableitung, Dichten, Divergenz
15. Riemannscher Krümmungstensor
16. Krümmungstensor = 0
17. kovariante Ableitungen vertauschen
18. Symmetrien des Krümmungstensors
19. geodätische Abweichung, Deviationsgleichung
20. Ricci-Tensor und Volumenänderung
21. Krümmungsskalar, Volumen eines geodätischen Balls
22. Einsteinsche Feldgleichungen
23. Modell des Universums mit FLRW-Metrik, Friedmann-Gleichungen
24. Kosmologie der Friedmann-Gleichungen
25. Schwarzschild-Metrik und Schwarze Löcher
26. Gravitationswellen im Vakuum
Folgende Benutzer bedankten sich: Michael D.

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