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Schrödingergleichung 29 07. 2020 10:10 #73865

Der Tunneleffekt entsteht ja, weil die Aufenthaltswahrscheinlichkeit und damit die Wellenfunktion eines Teilchens einer niedrigeren Energie als ein bestimmtes Potential außerhalb des Potentialtopfes nicht 0 ist. Der Grund dafür ist, dass man an der Schrödingergleichung sehen kann, dass sich das Krümmungsverhalten bei Erreichen des Potentials ändert und dass die zweite Ableitung gleich der ersten Ableitung mal einen Vorgänger sein muss. Es muss also eine Exponentialfunktion sein und diese nähern sich nur asymptotisch der 0 aber erreichen diese nicht, weshalb außerhalb des Potentials auch die Aufenthaltswahrscheinlichkeit nicht 0 ist. Nun zu meiner Frage: Wenn man einen Potentialtopf ohne endliches Potential, also ohne endliches Energienuveau nimmt, dann ist die Wellenfunktion ja in etwa Parabelförmig bei der niedrig möglichsten Energie des Teilchens E1. Allerdings ist auch in diesem Fall ohne eine zu überwindende Energie die zweite Ableitung gleich der ersten Ableitung mal einen Vorfaktor. Also muss es auch diesmal eine Exponentialfunktion sein, oder? Der einzige Unterschied zum ersten Beispiel ist, dass sich nicht das Krümmungsverhalten ändert. In dem von Gaßner beschriebenen einfachsten Fall mit der Parabel sehe ich aber nichts von einer Exponentialfunktion oder eine Asymptote?
Lg

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Schrödingergleichung 29 07. 2020 16:50 #73888

Du meinst ein unendlich tiefer Potentialtopf oder?
Da hast du Recht, die Lösung der Schrödingergleichung sind wieder Exponentialfunktionen. Das heißt, sie haben die Form
\(\psi(x) = A e^{i\sqrt{2mE}x} + B e^{-i\sqrt{2mE}x}\).

Wenn der Topf von 0 bis a geht, also das Potential = 0 ist für 0<x<a und unendlich sonst, dann haben wir Randbedingungen \(\psi(0)=0=\psi(a)\). Damit sind die Lösungen beschränkt auf
\(\psi(x) \sim \sin(\frac{\pi n x}{a})\)
und mit Normierung
\(\psi(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin(\frac{\pi n x}{a})\).

PS: Falls du es nicht weißt: sin(x) ist nur eine mögliche Wahl der Parameter A und B in \(A e^{ix} + B e^{-ix}\), nämlich A=-B=1/2i.

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