Man muss vorsichtig sein: Ich habe jetzt schon desöfteren von der 3 dimensionale Raum-Zeit welt gehört, in der wir angeblich leben. Das ist definitiv nicht richtig. Minkowski hat nach den Erkenntnissen der SRT den 4 dimensionalen geometrisch flachen Raum mathematisch formuliert. Der "Ortsvektor" hat 4 Vektorkomponenten (t,x,y,z). Der geometrische Metriktensor der flachen 4 dimensionalen Raumzeit der SRT ist eine 4x4 Matrix, die nur Diagonalelemente besitzt (1,-1,-1,-1). In der Newtonschen Mechanik ist der Metriktensor eine 3x3 Matrix mit den Einträgen (1,1,1). Hier gilt der Satz des Pythagoras und der Kosinussatz. Der Ortsvektor hat nur 3 Komponenten (x,y,z), wie du weißt. Um den 4 dimensionalen "geometrischen Raum" zu formulieren hat Minkowski anhand des in Inertialsystemen invarianten quadrierten Raum-Zeit Intervalles ds²=c²dt²-dx²-dy²-dz² ein Skalarprodukt (skalares Vektorprodukt für Vektoren mit 4 Komponenten, sog. Minkowski-Produkt) eingeführt das für Vektoren unserer 4 dimensionalen Raumzeit gilt. Die richtigen Transformationen zwischen den 4 Koordinaten der Raumzeit (Ortsvektor) in unterschiedlichen Inertialsystemen sind die Lorentz-Transformationen. Das ist eine 4x4 Matrix!
Diese stellt in der 4 dimensionalen Welt so etwas dar, wie die Rotationsmatrix in der 3 dimensionalen Newtonschen Mechanik. Wenn du ein kartesisches Koordinatensystem in 3D um einen beliebigen Winkel verdrehst (Drehmatrix), dann bleibt das, dir bekannte, Skalarprodukt zwischen Vektoren invariant (winkel zwischen vektoren ändert sich nicht)
So ähnlich ist es auch in der 4 dimensionalen Raumzeit: Wenn sich Inertialsysteme beliebig gegeneinander bewegen, dann ist die "Drehung" aber durch die Lorentz-Matrix beschrieben. Diese lässt das Skalarprodukt von 4 dimensionalen physikalischen Vektoren, d.h. die "Längen" von Vektoren (also deren Beträge) und die Winkel zwischen den 4er Vektoren invariant (das heißt, dass der winkel zwischen Vektoren sich nicht ändert).
Genauso, wie du in der klassischen Mechanik mit 3 dimensionalen Vektoren wie z.B. dem Impuls rechnest, so muss man aber tatsächlich korrekterweise eigentlich mit 4 dimensionalen, sog. 4er Vektoren rechnen, wenn man es ganz genau auch bei v<c machen möchte. Die Anforderung ist, dass für diese 4er vektoren das minkowski skalarprodukt gilt und Ihr Betrag eine Invariante unter Lorentz-Transformation ist. Das heißt dass sich die "Länge" der Vektoren unter Lorentz-Transformation (Lorentz-Matrix * 4er Vektor) nicht ändert. Im 3 dimensionalen Raum ändert sich der Kraftvektor ja auch nicht, nur weil man ihn auf ein gleichförmig bewegtes System (Inertialsystem) transformiert (Galilei-Transformation). Genauso wenig ändert sich die Länge des Kraftvektors wenn man ihn in einem verdrehten Koordinatensystem (achtung verdrehugn heißt nicht drehbewegung) beschreibt (Drehmatrix * Kraftvektor).
Im Rahmen der SRT vereinigen sich z.B. Impuls und Energie zum 4er Impuls. Anahnd des 4D Skalarproduktes (Minkowski-Skalarprodukt) dieses 4er Impuls-Vektors erhält man die experimentell bestätigte invariante Energie-Impuls-Relation. Nur mit dieser ist es möglich die Vorgänge bei der Zerstrahlung und Umwandlung von Teilchen in Beschleunigern, die man dort beobachtet, energetisch und impulsseitig richtig zu erklären.
Im Rahmen der ART wird dann analog dem Übergang von 3 dimensionaler flacher Raum (kartesisches Koordinatensystem) zu 3 dimensionalem gekrümmtem Raum (z.B. Geometrie auf gekrümmter Oberfläche), das ganze für die zunächst 4 dimensionale geometrisch flache Raum-Zeit ermöglicht, sodass an den metriktensor g nur noch die forderung gestellt wird, dass er eine 4 dimensionale symmetrische und reelle matrix ist die beliebig gekrümmte 4 dimensionale raum-zeit strukturen beschreibt (auch nebendiagonalelemente der 4x4 matrix). Im 3 dimensionalen Raum wird das durch die Gaußsche Flächentheorie und die darauf aufbauende Riemannsche Differentialgeometrie erreicht. Diese Theorie wurde von Einstein auf die physikalisch begründete 4 dimensionale Raum-Zeit die minkowski mathematisch eingeführt hat, erweitert. Seine Feldgleichungen beschreiben eben den Einfluss von Masse/Energie auf die Krümmung der 4 dimensionalen Raumzeit, also den Metriktensor. Die erlaubten Transformationen sind allgemeine mit differentialen formulierte Koordinatenstransformationen für t,x,y,z. wesentliche bedingungen sind physikalisch natürlich noch, dass die lichtgeschwindigkeit für materie nicht überschritten werden kann und dass die Lorentz-Transformation zwischen 4er vektoren gültig bleiben muss. Denn das wurde bisher in jedem experiment bestätigt.
Ich empfehle Dir als Einführung das Buch von Richard P. Feynman ("Six not so easy pieces"). Dort erklärt er auf anschauliche Weise unsere 4 dimensionale Raumzeit.