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Wo ist Alpha Centauri? (Zwillingsparadoxon) 15 Feb 2021 14:32 #103

  • Rudolf Quetting
  • Rudolf Quettings Avatar Autor
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Nun zu meiner Frage:
Sehe ich das richtig, dass der Symmetriebruch nicht durch die Transformation auf das Rückflugshuttle zu Stande kommt, sondern darauf zurückzuführen ist, dass bei der Transformation vom System Sonne - Alpha Centauri in das system Rakete die komplette, unbewegte Strecke Sonne - Alpha Centauri und damit auch die Gleichzeitigkeit zu berücksichtigen ist, während bei der Rücktransformation nur die Rakete als Punktsystem zu berücksichtigen ist?

PS: Auf die Frage bin ichgestossen, als ich meinem Enkel das „Navigieren“ mit seine Lego-Raumschiffen beibringen wollte. Irgendwo bin Ich imMinkowski-Diagramm immer vor die Wand gelaufen, bis ich dann doch gerechnete habe. Dabei haben sich die pythagoreischen Zahlen als sehr tückisch erwiesen, weil sie beim Rechnen immer wieder Anlass zu Flüchtigkeitsfehlern waren.

@ra-raisch: Wie Du weißt, bin ich rechenfaul und arbeite lieber graphisch. Aber: Eins zu Null für Dich! Erst nach zugegebenermaßen widerwilligem und lange vor mir hergeschobenem Rechnen sind mir meine Denkfehler (hoffentlich) klar geworden.
Letzte Änderung: von Rainer Raisch.

Wo ist Alpha Centauri? (Zwillingsparadoxon) 15 Feb 2021 20:03 #107

  • Rainer Raisch
  • Rainer Raischs Avatar
1) Ja, ohne selber zu rechnen kann man nur das glauben, was andere gerechnet haben, oder einfach glauben, dass das falsch sein müsse.

a) Der "Symmetriebruch" ist lediglich das Indiz, damit man sich über die komplizierte Rechnung gar keine Gedanken machen muss und es einfach aus Sicht des unbeschleunigten Teilnehmers komplett berechnen darf. Das ist natürlich der goldene Weg, das Bezugssystem weise zu wählen.

b) Wenn man die komplizierte Rechnung verstehen will, dann ist die Uhrendesynchronisation der Schlüssel. Diese steckt ja in der Lorentztransformation
τ = γ (t-x·v/c²)
Die bekannte entfernungsabhängige Uhrendesynchronisation bei konstanter Geschwindigkeit beträgt deshalb:
Δτ = τ(x2)-τ(x1) = γ·Δx·v/c² ..... EDIT: Index korrigiert, es ändert sich ja nicht t sondern es werden unterschiedliche Entfernungen x verglichen.

Auf Grund der Beschleunigung muss man nämlich die Koordinaten der Erde im IS des Hinflugs erst in die neuen Koordinaten des IS des Rückflugs umrechnen. Ich nenne dies die Uhrenresynchronisierung. (Die Abstände ändern sich ja nicht, wenn v = -v)
τΔ = -γ·D·Δv/c²
(Hier ist mit τ die Zeit des Erdlings aus der Sicht des beschleunigten Reisenden gemeint)

Bei der Wende ändert sich die Geschwindigkeit um
Δv = -2v

Es ergibt sich also, dass der Unbeschleunigte im Moment der Wende aus Sicht des Reisenden entsprechend Entfernung D und Geschwindigkeiten Δv altert (+τΔ bzw nennen wir es gleich:) +tΔ, damit die Bezeichner einheitlich sind.
Dies ist der Zeitsprung zwischen den beiden Ebenen der Gleichzeitigkeit im Minkowski Diagramm aus Sicht des Reisenden vor bzw nach der Bechleunigung.

2) Auf die Überlegungen dazu, wie sich die Entfernung aus der Sicht des Reisenden in den Augen des Erdlings darstellen müßte, kommt es dabei nicht an, und dies bringt auch keinen Erkenntnisgewinn, bzw wäre mir diese Rechnung vorerst zu kompliziert.
Letzte Änderung: von Rainer Raisch.

Wo ist Alpha Centauri? (Zwillingsparadoxon) 16 Feb 2021 22:05 #120

  • Rudolf Quetting
  • Rudolf Quettings Avatar Autor
Wenn ich das richtig verstanden habe, ist die Beschleunigung nicht das Problem, obwohl oft ich oft erleben, dass vermutet wird, dass sie das Problem sei. In den Erklärungen zum Zwillingsparadoxon wird das Problem häufig dadurch umgangen, dass man von zwei Raketen aus geht, die in entgegengesetzter Richtung dicht an Sonne und Alpha Centauri vorbeifliegen und sich an einem Stern (meist Alpha Centauri) kreuzen. Der Zuschauer erfährt: Jeder Raumfahrer altert um3 Jahre, macht zusammen 6. Währen dessen vergehen im System der Sonne 10 Jahre, und das alles ohne jede Beschleunigung. Soweit OK.

Doch wenn es die Beschleunigung nicht sein kann, dann denkt der kritische aber unbedarfte Hörer nach und konstruiert scheinbare Paradoxa, in dem er von falschen Gleichzeitigkeiten ausgeht. Ud damit stimmen die Voraussetzungen für eingekoppelte Bestimmung der relativistischen ZEITDIFFERENZEN, für die Du ja auch die Formeln angeführt hast. Danke1

Im „Reloaded“-Video von Peter Kroll wird zusätzlich zu dem sonst Üblichen auch die relativistische Geschwindigkeitsaddition thematisiert. Das war wirklich eine tolle Anwendung des Additionstheorems, was bei einer rein graphischen Lösung (Fixierung des Ereignisses „Raumschiff 2 fliegt an der Erde vorbei“ auf der Weltlinie der Erde) wahrscheinlich dem Hörer nicht bewusst würde..

Die Frage für den kritischen Zuschauer bleibt aber aufhöre: „Was bedeuten t=(41+9)/3 und x=40/3, bei denen die zur Erde fliegende Rakete bei dieser ankommt in den verschiedenen Systemen?“ Wenn man die Antwort kennt und verstanden hat,, ist das alles ziemlich banal. Wenn man die Antwort jedoch nicht kennt oder noch nicht verstanden hat, hat man ganz schön was zu knabbern und kommt dabei auch schon mal ins Schleudern.. Auf Anhieb konnte ich dämmerndem Enkel (der ja auch die Welt irgendwie verstehen möchte) jedenfalls nicht erklären.

Wo ist Alpha Centauri? (Zwillingsparadoxon) 16 Feb 2021 23:52 #121

  • Rainer Raisch
  • Rainer Raischs Avatar
Es ist nicht die Beschleunigung sondern die Änderung der Geschwindigkeit.....klingt, als ob es dasselbe ist. Der Unterschied liegt darin, dass nur die kinematische Änderung der Bewegung wichtig ist und nicht die Kraft, Energie, Potential etc.

Zur konkreten Rechnung müßte ich mir die Stelle im Video heraussuchen.
Letzte Änderung: von Rainer Raisch.

Wo ist Alpha Centauri? (Zwillingsparadoxon) 17 Feb 2021 20:34 #133

  • Anonymus
  • Anonymuss Avatar Autor
Vielen Dank Rainer,

in den einfachen Varianten fliegen zwei Raketen mit konstanter Geschwindigkeit an den beiden Sternen vorbei und verständigen sich beim jeweiligen Vorbeifug (auf kurze Distanz) durch Licht- oder Funksignale.. So bleiben Beschleunigung und Geschwindigkeitsänderung und alles andere außen vor. Die Rechnung brauchst Du nicht raussuchen, Peter Kroll hat das in seinem Reloaded-Video wunderbar gemacht. Und auch das Additionstheorem ist in einem seiner Videos fein sauber hergeleitet.

Die Rechnungen sind ja auch nicht wirklich schwierig und selbst mit Beschleunigung bekäme ich das wohl noch richtig hin integriert, wenn auch nicht mehr so flüssig wie früher. Und egal welche Zeiten die verschiedenen Uhren anzeigen, solange sie nur richtig gehen, werden auf den beiden Sternen je 10 Jahre und im Rauschiff 6 Jahre als vergangen angezeigt werden.

Mein Problem fing ursprünglich damit an, dass ich mir überlegt habe, wie ich einen mit allen bisherigen Antworten unzufriedenen Zweifler hier im Forum von seinem Irrtum überzeugen könnte. Und dabei bin ich dann selbst arg ins Schleudern geraten.

Wer nicht durch tägliche Übung sattelfest in den Lorentz-Transformationen oder im Umgang mit dem Minkowski-Diagramm ist, bringt leicht unbemerkt die verschiedenen Inertialsysteme durcheinander und kommt dann zu falschen Schlüssen. Außerdem springen in den Minkowski-Diagrammen der Sterne die bei diesen und die in der Rakete vergangenen Zeiten dank Pythagoras direkt ins Auge.s Im Minkowski-Diagramm für die Rakete mit dem kontrahierten Abstand Sonne - Alpha Centauri von 2,4 LJ ist das zwar auch, aber nicht mehr ganz so einfach abzulesen.

Insofern war meine Frage "Wo ist Alpha Centauri" auch eher didaktisch als physikalisch gedacht. Sollte jemand auf den Gedanken kommen, noch einmal ein Video zum Zwillingsparadoxon zu machen, wäre meines Erachtens die rechnerische und graphische Transformation aller in Frage kommenden Ereignisse bzw. Intervalle sehr hilfreich..

Wo ist Alpha Centauri? (Zwillingsparadoxon) 17 Feb 2021 23:45 #134

  • Rainer Raisch
  • Rainer Raischs Avatar

Die Rechnungen sind ja auch nicht wirklich schwierig und selbst mit Beschleunigung bekäme ich das wohl noch richtig hin integriert

Das wäre ein sehr schwieriges Unterfangen, weil die Uhrendesynchronisation unter Berücksichtigung des jeweiligen Lorentzfaktors distanz- und geschwindigkeitsabhängig ist.
Ich habe zwar eine Formel für die Beschleunigung parat, aber die gilt nur für den Moment und kann nicht so einfach aufintegriert werden.

Ergänzung:
Natürlich kann man dies auch mittels Logarithmus oder hyperbolischem Sinus berechnen.
Letzte Änderung: von Rainer Raisch.

Wo ist Alpha Centauri? (Zwillingsparadoxon) 18 Feb 2021 10:10 #135

  • Rudolf Quetting
  • Rudolf Quettings Avatar Autor
Vielen Danke Rainer für den Hinweis.
Ja; das Integrieren über die Beschleunigung im Minkowski-Raum ist nicht ganz trivial. Aber früher war so etwas einmal mein Tagesgeschäft und alles was ich dazu bräuchte, fände ich zur Not noch bei mir im Regal. Da kann es aber ruhig stehen bleiben, denn auch mit der schönsten Rechnung bleibt der rückkehrende Zwilling nach dem Prinzip der maximalen Eigenzeit immer jünger als der zurück gebliebene. Die üblichen Vereinfachungen bleiben zulässig und werden auch von den meisten Hörern problemlos akzeptiert.
Dem Hörer stößt meiner Erfahrung nach aber auf, dass er - ausgehend von einem kontrahierten Abstand von 2,4 LJ -im Minkowski-Diagramm für das System der Rakete zwar die Raketenflugdauer von 3 Jahren korrekt findet, aber wenn er dann im gleichen Diagramm die dabei auf der Erde vergangenen 5 Jahre sucht, findet er die nicht so ohne weiteres. Nur zu leicht übersieht er dabei die erforderliche Zeit-Transformation und glaubt -, nachdem er scheinbar analog zum System Sonne-Alpha Centauri vorgegangen ist - bei 1,8 statt bei den erwarteten 5 Jahren. zu landen. Und schon glaubt er, einen Fehler entdeckt zu haben. Dabei ist die Gefahr des Irrtums ironischer Weise um so größer, je besser der Hörer im Kopf Wurzeln ziehen kann.

Wo ist Alpha Centauri? (Zwillingsparadoxon) 18 Feb 2021 17:07 #138

  • Rainer Raisch
  • Rainer Raischs Avatar

Nur zu leicht übersieht er dabei die erforderliche Zeit-Transformation und glaubt -, nachdem er scheinbar analog zum System Sonne-Alpha Centauri vorgegangen ist - bei 1,8 statt bei den erwarteten 5 Jahren. zu landen.

Ja, das hatten wir im alten Forum schon ein paar Mal.

Im Loedel Diagramm sieht man jedenfalls schnell, dass Beobachten und Beobachtetwerden nicht beidseitig gleichzeitig passiert.

Hier ist das Diagramm dazu

Letzte Änderung: von Rainer Raisch.

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