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Pfadintegralformalismus = Hokuspokus? (Kapitel 8) 28 Mai 2021 19:11 #651

  • Klaus
  • Klauss Avatar Autor
Die anschauliche Erklärung des Pfadintegralformalismus hat mich überhaupt nicht überzeugt.
  1. Das Bertrand'sche Paradoxon lehrt uns, dass man mit Wahrscheinlichkeiten in einem unendlichen Wahrscheinlichkeitsraum nicht naiv (d.h. ohne Maßbegriff) rechnen darf.
  2. Auch anschaulich ist mir überhaupt nicht klar, warum sich "Umwege" "wegkringeln" und die "richtigen" nicht. Schließlich dürfte man auch in letztere beliebige Schleifen einbauen (Abbildung 8.13), die diese in der Summe neutralisieren.
  3. Muss die Länge des resultierenden blauen Pfeils (zum Quadrat) nicht Wahrscheinlichkeit 1 entsprechen? Wer sorgt dafür, dass das so ist? Was bedeutet sein Winkel (die Phase)? Müsste er nicht parallel zum roten Pfeil sein? (Abbildungen 8.5 und 8.9)
  4. Im Abschnitt 8.4 "Pfadintegralformalismus", beim Doppelspaltversuch, nimmt die Länge des Pfeils (die Amplitude) dann mit der Länge des Wegs ab. Warum? Außerdem ist der Winkel (die Phase) proportional zu einer Wirkung, d.h. der Winkel entspricht eben nicht dem Zeiger einer Stoppuhr, der sich gleichmäßig dreht.
  5. Abschnitt 8.6 "Rotverschiebung reloaded" beginnt damit, dass die Winkelgeschwindigkeit der Frequenz entspricht, wie man es erwartet. Zwei Seiten später entspricht aber die Phase bzw. der Winkel selbst der Frequenz (was übrigens ein Amazon-Rezensent anmerkt). Klar, das ursprüngliche Licht kommt in der gleichen Phase an wie andersfarbiges Licht ohne Bewegung, aber wieso sollte es deshalb anders aussehen?
Im Wiki wird das "Wegkringeln" aus dem Hamilton-Prinzip abgeleitet, im Buch ist es umgekehrt. Ganz ehrlich: Ersteres erscheint mir wesentlich plausibler. Können Sie meiner Anschauung mit einer vertretbaren Dosis Mathematik auf die Sprünge helfen? Vielen Dank!

Pfadintegralformalismus = Hokuspokus? (Kapitel 8) 28 Mai 2021 21:56 #652

>>>1. dass man mit Wahrscheinlichkeiten in einem unendlichen Wahrscheinlichkeitsraum nicht naiv (d.h. ohne Maßbegriff) rechnen darf.
Es wird lediglich die Wahrscheinlichkeit auf der Projektionsebene berechnet. Ob ein Photon überhaupt die Ebene erreicht, bleibt dabei unberücksichtigt. Vielmehr werden alle möglichen Wege berücksichtigt, also ursachenorientiert. Bei Bertrands Problem würde dies gleichen Winkeln aus einem Ursprung auf dem Umkreis entsprechen. Letztlich kommt es auf die Aufgabenstellung an, eine unklare Aufgabenstellung kann zu unklaren Ergebnissen führen. Der Zufall hängt von der Methode ab.

Um dies für den Strahlengang zu erläutern:
Man muss alle gleichberechtigten Wege ausgehend von der Quelle vergleichen. Wenn man dies zielorientiert macht, kann das falsch sein. Mit der nötigen Theorie kann man aber Symmetrien benutzen, um das Problem zu vereinfachen.

Zuerst "vergleicht" man den kürzesten Weg, dieser ist zugleich der intensivste. Dann vergleicht man alle Wege, die um den gleichen Betrag länger sind usw. Wegen der Abnahme der Intensität darf man dann abbrechen, wenn das Muster der Entwicklung ohnehin klar ersichtlich wird.

>>>2. Schließlich dürfte man auch in letztere beliebige Schleifen einbauen
Das darf man schon, damit verlängert man aber deren Wege und sie "kringeln" sich mit anderen verlängerten Wegen weg.

>>>3. Muss die Länge des resultierenden blauen Pfeils (zum Quadrat) nicht Wahrscheinlichkeit 1 entsprechen?
Die Normierung der Wahrscheinlichkeit wird erst nach der Auswertung vorgenommen. Zuerst werden nur Pfeillängen verglichen.

>>>4. nimmt die Länge des Pfeils (die Amplitude) dann mit der Länge des Wegs ab. Warum?
Die Länge der Pfeile nimmt mit der Weglänge ab, weil sich deren Wahrscheinlichkeit auf eine Kugeloberfläche verteilt und damit mit größerer Weglänge verkleinert.

>>>5. Klar, das ursprüngliche Licht kommt in der gleichen Phase an wie andersfarbiges Licht ohne Bewegung, aber wieso sollte es deshalb anders aussehen
Licht wird immer vom Beobchter entsprechend der von ihm gemessenen Wellenlänge und Frequenz beurteilt. Die Drehung der Pfeile soll die veränderte Frequenz also eine Dehnung der Phase und Verlängerung der Wellenlänge darstellen.

>>>6. im Buch ist es umgekehrt
Man kann Gesetze aus Gesetzen ableiten und umgekehrt. Das ist doch kein Widerspruch sondern eine Frage der Ausgangsposition.
Letzte Änderung: von Rainer Raisch.

Pfadintegralformalismus = Hokuspokus? (Kapitel 8) 30 Mai 2021 12:05 #658

  • Klaus
  • Klauss Avatar Autor

Zuerst "vergleicht" man den kürzesten Weg, dieser ist zugleich der intensivste. Dann vergleicht man alle Wege, die um den gleichen Betrag länger sind usw. Wegen der Abnahme der Intensität darf man dann abbrechen, wenn das Muster der Entwicklung ohnehin klar ersichtlich wird.

Also sind die Pfeile nicht unabhängig vom Weg immer gleich lang - auch nicht in den Abschnitten 8.1 und 8.2?

Nach meiner Anschauung ist der Summenpfeil keineswegs wohldefiniert. Er könnte durchaus unendlich lang werden, wenn man die Zielpunkte auf der Waagrechten immer dichter legt (Abbildungen 8.4, 8.9 usw.).

Die Normierung der Wahrscheinlichkeit wird erst nach der Auswertung vorgenommen. Zuerst werden nur Pfeillängen verglichen.

hilft dann auch nicht. (Nebenbei gefragt: Was bedeutet der Summenpfeil eigentlich? Was bedeutet seine Länge, was bedeutet seine Richtung?)

Liegt der Schlüssel in den Laufzeit-Diagrammen (Abbildungen 8.6, 8.9 usw.)? Eigentlich müsste man von der senkrechten t-Achse ausgehen, denn die bestimmt den Winkel (Phase). Je weiter man sich vom Optimum entfernt, desto mehr Pfeile pro Zeitintervall erhält man auf der waagrechten Achse und desto mehr "kringelt sich" dort. Zusammen mit den abnehmenden Längen (Intensität) erscheint es dann anschaulich möglich, ein sinnvolles Ergebnis zu erhalten, aber überzeugend sieht anders aus.

Pfadintegralformalismus = Hokuspokus? (Kapitel 8) 30 Mai 2021 13:29 #659

Nach meiner Anschauung ist der Summenpfeil keineswegs wohldefiniert. Er könnte durchaus unendlich lang werden, wenn man die Zielpunkte auf der Waagrechten immer dichter legt

Das ist richtig, sie sind nicht normiert und müssen zuletzt normiert werden. Man normiert sie eben über die Fläche des Bildes und gemäß der gewählten Differenzierung und nicht über das ganze Universum. Es interessiert ja das entstehende Muster und nicht die Effektivität der Lampe, Blenden, Abschirmung etc.

(Nebenbei gefragt: Was bedeutet der Summenpfeil eigentlich? Was bedeutet seine Länge, was bedeutet seine Richtung?)

Der Summenpfeil ist ein relativer Maßstab, alles andere wäre unsinnig.

je weiter man sich vom Optimum entfernt, desto mehr Pfeile pro Zeitintervall

Es geht nicht um die Menge im Zeitintervall, insoweit betrifft das Zeitintervall natürlich die Phase und die Länge des Pfeiles, sondern vor allem um die Zielposition.
Wenn sich die ankommenden Pfeile gegenseitig eliminieren, dann ist die Anzahl der Einzelwege ohne jede Bedeutung
Letzte Änderung: von Rainer Raisch.

Pfadintegralformalismus = Hokuspokus? (Kapitel 8) 30 Mai 2021 21:05 #664

  • Thomas Baer
  • Thomas Baers Avatar Autor
Ne, so stimmt das nicht.
Das Pfadintgral ist die Summe aller möglichen Wege. Je unwahrscheinlicher sie sind, umso weniger tragen sie zum tatsächlichen Weg bei.
Je mehr Wege man berücksichtigt, desto genauer das Ergebnis.
Feynman hat das doch hinreichend erklärt. Bitte nachschauen unter Feynmansche Pfadintegrale.
In seiner Beschreibung der QED, der Quantenelektrodynamik ist das bestens erklärt.

Thomas

Pfadintegralformalismus = Hokuspokus? (Kapitel 8) 30 Mai 2021 21:37 #665

Je mehr Wege man berücksichtigt, desto genauer das Ergebnis.

Das ist vollkommen richtig, und was soll das ändern? Die Genauigkeit kann beliebig erhöht werden.

Pfadintegralformalismus = Hokuspokus? (Kapitel 8) 01 Jun 2021 11:35 #667

  • Klaus
  • Klauss Avatar Autor
Kann man die Beispiele aus dem Buch irgendwo durchgerechnet sehen? Idealerweise z.B. erst einmal nur für geradlinige Ausbreitung der Teilchen, dann für beliebige Pfade (wobei die Pfadlänge bzw. Laufzeit des Teilchens in Abhängigkeit vom Pfad ruhig "vom Himmel fallen" darf) und schließlich -spaßeshalber- auch noch die relativistische Formel (wo Tensorrechnung ins Spiel kommt) ohne Herleitung. Das hat doch sicherlich schon mal irgendjemand in einer Vorlesung/Übung gemacht oder als Seminar-/Bachelor-/Masterarbeit vergeben oder in einem Lehrbuch aufgeschrieben.

Diese Integration über alle möglichen Pfade scheint ja doch alles andere als intuitiv zu sein. Ich zitiere nochmal Wikipedia :

Das Konvergenzverhalten und die Wohldefiniertheit des Pfadintegrals sind mathematisch nicht vollständig erforscht; die imaginärzeitige Formulierung [...] kann in vielen Fällen exakt begründet werden [...].

Die Rechnung im vereinfachten Fall wäre bestimmt interessant.

Was Feynman bzw. sein populärwissenschaftliches Buch über die QED angeht, hat er die geradlinige Reflexion mithilfe des Pfadintegralformalismus "erklärt" bzw. veranschaulicht. Das "Wegkringeln" der Umwege wird nur in einer Randbemerkung erwähnt. So sehr ich diese Bücher von Koryphäen wie Feynman oder Hawking schätze, Physik ganz ohne Mathematik ist einfach doof. Die können einem alles erzählen, und man weiß nie, ob man sie richtig verstanden hat. Insbesondere heißt es, dass alle Pfade gleich wahrscheinlich sind, also gibt es keine "unwahrscheinlicheren". Genau diese Gleichwahrscheinlichkeit würde ich gern einmal konkret(isiert) sehen, siehe meine Eingangsbemerkung zum Bertrand'schen Paradoxon .

Pfadintegralformalismus = Hokuspokus? (Kapitel 8) 01 Jun 2021 14:32 #668

Physik ganz ohne Mathematik ist einfach doof. Die können einem alles erzählen, und man weiß nie, ob man sie richtig verstanden hat.

Da sind wir mal ganz eindeutig einer Meinung. Hinzu kommen ja noch die unterschiedlichen Formelzeichen für dieselbe Größe und noch verwirrender das gleiche (natürlch nicht dasselbe) Formelzeichen für unterschiedliche Größen, aber am Schlimmsten die unterschiedlichen Größensysteme und dann auch noch das Rechnen mit natürlichen Größen. Es ist natürlich praktisch für das Verständnis aber umso unverständlicher, wenn man das Thema nicht ohnehin schon beherrscht.

Insbesondere heißt es, dass alle Pfade gleich wahrscheinlich sind, also gibt es keine "unwahrscheinlicheren".

Dies ist einfach zu verstehen. Ich spreche hier von Photonen in der Mehrzahl, aber dies gilt für ein einziges Photon, das ich durch eine Vielzahl von Photonen symbolisiere.

Grundsätzlich ist ein Photon eine Kugelwelle. Je nach Erzeugung zB mittels einer Antenne kann es eine Streucharakteristik geben, die die Wahrscheinlichkeit über die Kugelfäche verändert. Die radiale Ausdehung gehorcht aber dann der einfachen Vergrößerung der Kugeloberfläche.

Man geht nun von einem Kernstrahl eines Lichtstrahls aus, der auf die Spalte gerichtet ist. Dieser sollte also geringe Abweichung von einer flächigen Gleichverteilung haben, sonst wird das Experiment sinnlos. An den Spalten kann man also von einer homogenen Charakteristik ausgehen. Dabei ist es auch hier so, dass Photonen, die auf Umwegen hier ankommen, einen größeren Weg zurückgelegt haben müssen und somit gemäß dem 1/r² Gesetz aus dem 1/r Gesetz jeweils für B- und E-Feld bzw aus der vorher erwähnten Kugeloberfläche eine geringere Wahrscheinlichkeitsdichte besitzen. Das kann man aus den rechnerischen Feldstärken unmittelbar ablesen.

Betrachtet man nun nur die kürzeste Vebindung, dann erhält man die Photonen, die die höchste Wahrscheinlichkeitsdichte haben, oder anders ausgedrückt besteht für alle Photonen dieser Kugelsphäre die höchste Wahrscheinlichkeit, genau hier innerhalb der Versuchsanordnung zu landen. Dies kann man nun mit beliebiger Genauigkeit für jeden Zeitabstand also längeren Weg und dann für jeden Bildpunkt durchexerzieren, wie es ja mit den Kringeln skizziert wurde. Dabei sind Photonen, die auf Umwegen zum Spalt gekommen sind, in ihrer Dichte bzw Wahrscheinlichkeit sowie Phasenänderung gleich wie Photonen, die innerhalb des Versuchs einen Umweg gehen.

Für mich genügt dies anschaulich, Es spielt keine Rolle, ob die Kringel doppelt oder dreifach anfallen, weil sie sich ohnehin auslöschen. Wenn man bei der Pfeillänge ohnehin die Entfernung zur Quelle berücksichtigt und nicht nur die Länge innerhalb des Versuchsaufbaus, dann sind ohnehin alle Photonen der Quelle gleichermaßen berücksichtigt, ganz egal auf welchem Umweg, ob innerhalb oder außerhalb der Anordnung, sie die Mattscheibe erreichen.

Die ursprünglich angesprochene Frage nach der Normierung ergibt sich hier deutlich: Alles was nicht sichtbar wird, ist verloren und muss weder aufsummiert noch normiert werden. Es genügt, das erhaltene Bild zu analysieren.

Das ist wie wenn man die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln messen will und der Würfell 99,9% der Fälle vom Tisch hüpft, wer würde diese ungültigen Wurfzahlen denn mitzählen wollen, wenn sich diese Zahl am Ende beim Vergleich der gültigen Würfe ohnehin herauskürzt.
a = 27/33000
b = 28/33000
c = 25/33000
d = 27/33000
e = 26/33000
f = 29/33000
Σ = 162/33000
a / Σ = 0,16666
b/ Σ = .... usw
Letzte Änderung: von Rainer Raisch.

Pfadintegralformalismus = Hokuspokus? (Kapitel 8) 04 Jul 2021 09:04 #750

  • Josef M. Gaßner
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1.) Normierung: In den Kommentaren war mehrfach die Frage nach einer Normierung von Gl. 8.3 (Seite 448) aufgetaucht.
Auf Seite 448 (Mitte) haben wir angemerkt: Grundsätzlich bedarf es vor dem Integral auch noch eines konstanten Normierungsfaktors, damit die Gesamtwahrscheinlichkeit wieder 100 Prozent beträgt. Er wird gern mit einem geschwungenen N bezeichnet - wir lassen ihn der Einfachheit halber weg.

2.) Argumentationsrichtung: Es geht nicht darum, ob man vom Hamiltonformalismus die Interferenz der Wahrscheinlichkeitsamplituden ableiten kann oder umgekehrt. Es geht darum, dass das Bild/Modell der QED mit Hilfe der interferierenden Amplituden veranschaulicht, WARUM der Hamiltonformalismus zur Beschreibung der Realität geeignet ist. Ansonsten fällt das Prinzip der Minimalen Wirkung vom Himmel und wird mittels Lagrange- und Hamiltonformalismus zum dominierenden Prinzip der Mechanik. Zu erkennen, dass letztendlich nurmehr die Anteile wesentlich beitragen, deren Laufzeitunterschiede nahe dem Minimum nur geringe Phasenverschiebungen zulassen, erscheint mir sehr wertvoll im Verständnis des Prinzips der Minimalen Wirkung.

Copyright © Josef M. Gaßner

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