THEMA:

Hallo UWL-Team,
zunächst mal ein dickes Lob für Euer Buch: Können wir die Welt verstehen? Die Thematik hat mich als Nicht-Physiker (Maschinenbau-Ing. der alten Generation) extrem gefesselt. Eine Sache bereitet mir echt Kopfzerbrechen und lässt mir keine Ruhe. Ich verstehe einen für mich im Buch befindlichen Widerspruch nicht. Ich wäre Euch sehr dankbar den Knoten in meinem Kopf zu entwirren.

Es geht um die Längenänderung des Raummaßstabes in der ART.

Auf S. 251 wird von einer eindeutigen Verkürzung der Längen bei zunehmendem Gravitationspotential gesprochen:
Bsp. von S. 251:
„Entsprechend erscheinen auch sie (die Längen) um obigen Faktor verkürzt, vorausgesetzt, die Länge wird in radialer Richtung vom Gravitationszentrum gemessen.“
Sobald man sie (eine Leiter) im Gravitationsfeld der Erde senkrecht aufstellt, würde der externe Beobachter, der ganz genau hinschaut, die Sprossenabstände von oben nach unten verkürzt wahrnehmen.“
„…so vergeht für einen … entfernten Beobachter scheinbar im starken Gravitationspotential die Zeit langsamer, und die Längen werden kürzer.“

Jetzt meine eigentlich Frage: Wie passt das mit der Metrik des Schwarzen Loches zusammen?

S.257 Hier steht der Term (1-RS/r) vor dr2 im Nenner!
Logische Folge auf S.259: „Das wiederum bedeutet, dass bei einer Annäherung an den Ereignishorizont (Gravitationspotential nimmt zu) das Maß, mit dem Längen radial gemessen werden, gegen Unendlich geht.“

Vielleicht muss zwischen dem eigentlichen Raummaßstab und den Längen physikalischer Objekte und ihre scheinbare Länge aus Beobachtersicht bei geändertem Raummaßstab unterschieden werden???

Viele Grüße
Marc

Jetzt meine eigentlich Frage: Wie passt das mit der Metrik des Schwarzen Loches zusammen?
...
Vielleicht muss zwischen dem eigentlichen Raummaßstab und den Längen physikalischer Objekte und ihre scheinbare Länge aus Beobachtersicht bei geändertem Raummaßstab unterschieden werden???

Genau so ist es. Im Beispiel mit der Leiter ist es so, dass die Abstände ΔR verkürzt Δr wahrgenommen werden, auf eine scheinbare Entfernung Δr also viel mehr Sprossen hineinpassen, demgemäß also ΔR > Δr.

Die Metrik der ART beschreibt die Raumkoordinaten unterschiedlicher Bezugssysteme, also die Abstände zwischen zwei Punkten. Da der radiale Abstand lokal größer wird, ist es auf der anderen Seite nur natürlich, dass Objekte entsprechend kürzer wahrgenommen werden. Für stationäre Beobachter kann man dabei die Zeitkomponente der Metrik entfallen lassen, dt=0 und dτ=0.

ds² = dr²/(1-rs/r)

Bei der SRT beschreibt die Lorentzkontraktion hingegen die wahrgenommene Länge und nicht den Raum. Hier ist es dann so, dass der Raum aus Symmetriegründen ebenfalls kontrahiert. Diese Diskrepanz liegt daran, dass die beiden Beobachter auf Grund der Relativbewegung unterschiedliche Koordinatenpunkte als gleichzeitig wahrnehmen. Betrachtet man hingegen die Minkowski Metrik, dann ergibt sich auf Grund der Relativbewegung immer auch eine notwendige Zeitkoordinate.

ds² = dr² - c²dt²

Bei der Zeit steht in der Metrik ja der rezikproke Ausdruck (1-rs/r), aber mit negativem Vorzeichen. D.h. auch hier wird der "Zeitmaßstab" lokal größer, genau wie der Längenmaßstab. Daher kann man sagen, dass die Zeit kürzer, also kleiner gemessen wird, also weniger Zeit vergeht, bzw. sie es langsamer tut. Man kann also sozusagen Zeitdehnung (=dilatation?) wie gewohnt wie im letzteren Sinne verstehen, aber auch als Vergrößerung des Maßstabes.

Sind diese Gedanken weitgehend korrekt, oder was daran ist eine gefährlich falsche Auffassung und warum?

aber mit negativem Vorzeichen

Nein, das Vorzeichen ist eine Rechenregel und betrifft ja nicht die Differenz t_[r2]-t_[r1] sondern die gesamte Zeit in kleinen Schritten dt betrachtet.

Die Differenz dt wird bei Differenzialen (Ableitung) angwendet, die infinitesimale Zeit dt bei Integralen. Da das Eine die Umkehr des Anderen ist, verwendet man das gleiche Symbol. Der Unterschied ergibt sich daraus, ob es im Zähler oder im Nenner steht.

Es ist immer wieder schwierig zu verstehen und erst Recht zu erklären, was mit "langsamerer" Zeit gemeint ist. Einfacher ist der direkte Vergleich von zwei Orten: Die Uhr im Potential dreht sich langsamer als im Nullpotential. Ob man dies nun als schnellere oder langsamere Zeit bezeichnen will, hängt von mehreren stillschweigenden Voraussetzungen ab. Üblich setzt man den Zeitfluss insoweit der Uhranzeige gleich. Im Potential vergeht also weniger Zeit τ als "gleichzeitig" im Nullpotential Zeit t. Im Gegensatz zur SRT kann man die Uhren hier direkt vergleichen, da keine räumliche Distanzänderung erfolgt.

Ok, mein Denkfehler war dann am Ende auch nur derselbe wie beim Fragesteller. Ursache kürzer gemessener starrer Längen ist hier größerer Raum. Und Zeit umgekehrt, kleiner. So passen die Vorfaktoren.

Vorsichtshalber nochmals zur Klarstellung:

In der Formel sind die Raumabstände r enthalten, die (aus der Ferne unsichtbar) gedehnt sind
ds² = -c²dt²σ²+dr²/σ²+r²dΩ²
σ = ²√(1-rs/r) = ²√(1+2Φ/c²) = ²√(1-vf²/c²)
vf Fluchtgeschwindigkeit
r ist das Koordinatenmaß, also so wie es aus der Ferne aussieht. Da der Raum radial gedehnt ist, erscheinen Längen (nur radial !) verkürzt, so wie der "gedehnte" Raum ja auch ungedehnt=verkürzt erscheint.
dR² = dr²/σ² > dr²
Die Zeit kann man hingegen von der Uhr ablesen, die im Potential langsamer geht als die Uhr mit der Koordinatenzeit t in der Ferne (r→∞)
dτ² = dt²σ² < dt²

Der Standard sind jedenfalls bei Schwarzschild die Koordinatenmaße (t und r) des Nullpotentials (r→∞). Der Koordinatenradius stimmt für den Umfang auch mit den lokalen Messungen überein und ist daher ganz üblich immer der Standard, so dass man eben von der radialen Raumdehnung spricht.

Guten Tag
hab da eine Frage zur Gravitation
In den Formeln Für die gravitative Rotverschiebung, Zeitveränderung und in der gravitativen Längen Änderung und Speziell um aus dem Kehrwert des Radius der Raumkrümmung, also der Krümmung KR
selber komme ich mit dem Faktor c^2 zum Ergebnis der Erdbeschleunigung g also

g = KR x c^2

Wie leitet sich dieser Faktor c^2 her?
Gruss Peter

g = mG/r² = ~vo²/r = vf²/2r = c²rs/2r²
mG = M·G Zentralmassekennzahl
vo stabiler Orbit
vf Fluchtgeschwindigkeit
rs Schwarzschildradius

c ergibt sich als Fluchtgeschwindigkeit bei rs. Hier bedürfte der stabile Orbit allerdings bereits unendliche Geschwindigkeit.

K = 1/R² ist die Krümmung ausgedrückt durch den Krümmungsradius. Die Krümmung k=1/r ist hingegen nur in einer beliebigen Richtung gemessen. Da sich die Gaußsche Krümmung aus
K = k_min·k_max
zusammensetzt, ist diese in der Kugel 0 und auf der Oberfläche
K = 1/R·1/R = 1/R²