THEMA:

Auf Seite 153 des Buches „Kosmologie – die Größte Geschichte aller Zeiten“ findet sich Formel [2.45]
H^2(t) = Ho^2*[Ωγ/a^4 + Ωm/a^3 + (1- Ωγ – Ωm – ΩΛ)/a^2 + ΩΛ].
Frage:
Wofür steht der Term (1- Ωγ – Ωm – ΩΛ)/a^2. Für die Strahlungsdichte steht ja schon Ωγ, für die Materiedichte Ωm und für die kosmologische Konstante ΩΛ. Wofür dann noch (1- Ωγ – Ωm – ΩΛ).
Zum Vergleich:
Im Wikipedia-Eintrag „Friedmann-Gleichungen“ findet man folgende Formel:
H^2(t) = Ho^2*[Ωm*ao^3/a^3 + (1- Ωm – ΩΛ)*ao^2/a^2 + ΩΛ]. Hier ist klar (1- Ωm – ΩΛ) steht für die Strahlungsdichte Ωγ.
Allerdings: sollte da in Wikipedia nicht statt (1- Ωm – ΩΛ)*ao^2/a^2 stehen:
(1- Ωm – ΩΛ)*ao^4/a^4.
Wie man dem Buch auf S.143 unter (2.28) entnehmen kann, ist nämlich H^2 proportional zu 1/a^4.

(1- Ωγ – Ωm – ΩΛ)/a².

Es gilt die Defintion
1 = Ωr+Ωm+ΩΛ+Ωk = Ω+Ωk
Denn Ωk=0 bedeutet ja ein flaches Universum, das ja gerade durch die kritische Dichte und daher mit 1=Ω definiert ist.
Daraus ergibt sich die häufig benützte Ersetzung
Ωk = 1-Ω = 1-(Ωr+Ωm+ΩΛ)

In der Friedmanngleichung bzw dem sogenannten Expansionsparameter steht der Krümmungsparameter mit der Skalierung 1/a², weil er sich aus dem Quadrat des Krümmungsradius ergibt, der wie jede Länge mit dem einfachen Skalenfaktor a bzw 1/a skaliert.

Wie man dem Buch auf S.143 unter (2.28) entnehmen kann, ist nämlich H^2 proportional zu 1/a^4.

Dies gilt nur für die strahlungsdominierte Phase, dies steht unmittelbar über der Formel. Man nimmt dann an Ωr≈1 und Ωk≈ΩΛ≈Ωm≈0.

Im Wikipedia-Eintrag „Friedmann-Gleichungen“ findet man folgende Formel:

Bei wiki steht ein paar Zeilen über der Formel, dass in der heutigen Phase die Strahlung vernachlässigt werden kann, bei der Ersetzung handelt es sich daher ebenfalls um die Krümmung, daher auch der quadratische Ausdruck. In diesem Fall wird nur Ωr=0 gesetzt, weil Ωk+Ωm+ΩΛ≈1.

Danke für Ihre Erläuterungen!

Unter Berücksichtigung von (2.27) auf S.141 müsste sich dann eine „Krümmungsdichte“ von
ρk = - 3K*c^2/8πG*a^2 ergeben, wobei K die Dimension 1/m^2 haben müsste. Setzt man ρk ins Verhältnis zur kritischen Dichte ρc = 3H^2/8 πG so ergibt sich für Ωk = - Kc^2/ao^2*H^2.
Rein hypothetisch: Bei K= 1 würde Ωk die Ausdehnung bremsen und bei K= -1 würde Ωk beschleunigend wirken. Sind meine Überlegungen soweit o.k.?
2 Fragen:
1. Würden sich andere Werte als -1, 0 und +1 für K mit einem homogenen und isotropen Universum überhaupt vertragen?

2. Implizieren die Gleichungen (2.41) und (2.42) als Lösungen von (2.27) für ein flaches Universum ohne Strahlungseinfluss die zeitliche Veränderung von Ωm durch Verdünnung der Materie, sprich gelten sie für die höheren Materiedichten der Vergangenheit genauso wie für geringeren der Zukunft (würde ich annehmen) oder gelten diese Gleichungen exakt nur in unmittelbarer zeitlicher Umgebung zum Jetzt (also für Zeiten nicht zu weit entfernt von 13,8 Mrd. Jahren).

Richtig.

K = ±1/R² ist die Krümmung. Der übliche Faktor k = R²K wird auf Seite 127 eingeführt. Er beinhaltet lediglich das Vorzeichen für hyperbolisch (-1) bzw sphärische (+1) Gestalt. Da der Krümmungsradius R nicht bekannt ist, wird er in den üblichen Formeln einfach weggelassen, womit natürlich die Dimension 1/m² verschwindet, das ist leider bei den Fachleuten so üblich. Das wird "dazugedacht". Nur die Skalierung 1/a² taucht dann noch auf.

Die Krümmung ist exakt die Differenz der Dichten gegenüber der kritischen Dichte. Bei zu hoher Dichte ist das Universum sphärisch und also Ωk < 0, während bei zu geringer dichte das Universum auch ohne DE nicht abgebremst werden würde und hyperbolisch wäre, mit Ωk > 0. Der Faktor k hat hingegen die entgegengesetzte Bedeutung, weil der Summand k ja anders als bei Ωk mit einem Minuszeichen in der Formel steht.
H² = κρ -k/a²
H² = (H°)²(Ω/aª+Ωk/a²)

1. Die Krümmung ist in einem homogenen isotropen Universum eben überall gleich, aber die Stärke der Krümmung ist völlig offen.

2. Ja natürlich gelten die Formeln für jede beliebige Weltzeit t, das ist ja der Sinn der Formeln, allerdings eben nur solange, wie die Strahlung keine Rolle spielt, aber zurück bis zur Rekombination ist das schon eine ganz gute Näherung. Noch viel früher müsste man sowieso auch die Materie wie Strahlung behandeln, als sie noch relativistisch war (v→c, γ > 2, τ ≪ 1s), dies hängt jedoch wieder von der Einzelmasse der unterschiedlichen Elementarteilchen ab. Für Neutrinos (HDM=CNB) wird dies sogar heute noch angenommen, was wohl revidiert werden muss, wenn deren Masse bekannt ist, es wirkt sich aber ohnehin effektiv nicht aus. (Ωr = Ων + Ωγ)

Strahlung-Materie-Gleichheit war zum Zeitpunkt τ=51100 Jahre. Allerdings muss man beachten, dass in der Beschleunigungsgleichung die Strahlung wegen des Drucks doppelt wirkt, ähnlich wie die DE sogar doppelt negativ wirkt. Dies ist jedoch nur relevant, wenn es auf die Beschleunigung ä ankommt, wie bei der Schubumkehr (ä=0) vor 6,1 Mrd Jahren.

Danke für Ihre Erklärung.

Der Hintergrund meiner 2.Frage war, dass ich festgestellt habe, dass der Skalenfaktor 1/1089 (Rückrechnung der Raumexpansion seit dem Last Scattering) eingesetzt in die Umkehrfunktion der Gleichung (2.41) eine Zeitpunkt von 477.852 Jahren nach dem Urknall ergibt, also
t(1/1089) = (2/(3Ho*(ΩΛ)^1/2)).arcsinhyp((1/1089)^3/2*(ΩΛ/Ωm)^1/2) = 1,506961e13 s = 477.852 Jahre.
Gerechnet unabhängig voneinander mit Excel und Taschenrechner mit H0 = 67,15 km/sMpc = 2,17617e-18 s^-1; sowie ΩΛ = 0,68 und Ωm = 0,32.

Oder umgekehrt: setzt man 368. 000 Jahre = 1,160524e13 s in Gleichung (2.41), dann ergibt sich ein Expansionsfaktor von 1296,15 seit dem Last Scattering (statt 1089):
a(1,160524e13) = (ΩM/Ωλ)1/3*sinh2/3[(3H0√Ωλ/2)*1,160524e13] = 0,000771516 = 1/1296,15.

Wie ist diese Diskrepanz zum im Buch auf S. 179 angeführten Expansionsfaktor von 1089 bzw. zum ebenfalls auf S. 179 genannten Zeitpunkt 368.000 Jahre zu erklären?

Ωγ = 5,38e-5 CMB
Ωny ≈ ³√(4/11)⁴(7/8 )Ωγ·Neff = 3,8765e-5 CNB Neutrino kinetische Energie (geschätzt)
Ωhd ≈ 0,0012 HDM Neutrinomasse als Teil der DM (geschätzt), siehe unten Ων
Ωr = Ωγ+Ωny ≈ 9,2565e-5

Da die Neutrinos zweifelhaft sind, und nicht gemessen werden können, werden sie in den üblichen Rechnungen und Formeln häufig weggelassen. Jeder Autor kann bei genaueren Berechnungen jedoch zusätzliche Werte für Neutrinos berücksichtigen. Denn die Anzahl der Neutrinos ist schon bekannt, nur ihre Masse und kinetische Energie sind noch unbekannt. Kennt man die Masse, dann kann man auch die kinetische Energie sehr genau abschätzen. Welche Daten für die offiziell genannten Werte zugrunde gelegt werden, ist eine Wissenschaft für sich. Die veröffentlichten Werte sind letztlich wieder ein gewichteter Mittelwert aus den Berechnungen der führenden Wissenschaftler weltweit. Verschiedene Daten sind daher nicht immer konsistent.

Angegeben wird für die Neutrinomasse
Ων = h⁻²Σmν /93.14 eV < 0.003 und ≥ 0.0012
Σmν < 0.12 eV und > 0.06 eV
h = H° / 100(km/sMpc) = 0,674 ist die einheitenlose Hubble Konstante.
Auch die Anzahl Neff=2,99 der Neutinoarten ist schwierig, denn sie wird "effektiv" berechnet, hängt also von der Geschwindigkeit ab, ist somit veränderlich und wirkt sich dann auf die Berechnungen geringfügig aus. Immerhin ist eine vierte Sorte Neutrinos so gut wie ausgeschlossen.