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THEMA: Gravitation eines SL

Gravitation eines SL 13 Jul 2018 13:52 #37113

ra-raisch schrieb: achso, nein, genau anders herum. Von Außen beginnt es mit Minkowki-"1" und nach Innen wird der "lokale Radius" immer größer.

Ja, stimmt. Aber lass uns vom differentiellen lokalen Radius \(dr\) sprechen, den man aus der Metrik-Komponente \(g_{rr}\)
\[\sqrt{g_{rr}}=\sqrt{\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}dr^2}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}dr\]
gewinnen kann. Dieser differentielle Radius braucht grundsätzlich nicht mehr umgerechnet werden. Deswegen ist er ja differentiell angesetzt, damit man ihn nicht mehr umrechnen muss. Wenn Du physikalische Längen willst, musst Du den Ausdruck integrieren . Der Koordinatenradius \(r\) bleibt \(r\) in einem differentiellen Ansatz, auch nach der Integration. So funktioniert nunmal die Differentialrechnung. Halten wir das erstmal fest. Dies lässt sich auch mathematisch beweisen, weil ich nämlich die Wurzel aus einem lorentz-invarianten Skalarprodukt ziehe. Somit ist die Wurzel auch lorenz-invariant. Auf der Hauptdiagonalen des Metrik-Tensors stehen nämlich nur Lorentz-invariante Skalarprodukte. Deswegen hat Einstein den Metrik-Tensor in seinen Feldgleichungen ja so angesetzt.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 16:03 #37119

Michael D. schrieb: Der Koordinatenradius \(r\) bleibt \(r\) in einem differentiellen Ansatz, auch nach der Integration.

Klar, was man reintut, kommt auch raus.

r ist der Koordinatenradius und gleichzeitig auch für den FFO sowie den FIDO r = U/2π, denn der Umkreis wird nicht verzerrt. Wobei ich denke, dass es schon von einem Punkt aus betrachtet elliptisch verzerrt aussieht aber beim Rundgang der Kreis gemessen werden kann.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 16:37 #37122

ra-raisch schrieb: ...der Umkreis wird nicht verzerrt...

Der Umkreis wird in der Schwarzschild-Metrik nicht verzerrt, weil \(g_{\theta\theta}\) und \(g_{\phi\phi}\) mit den entsprechenden Minkowski-Komponenten übereinstimmen.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 16:40 #37124

Michael D. schrieb:

ra-raisch schrieb: ...der Umkreis wird nicht verzerrt...

Der Umkreis wird in der Schwarzschild-Metrik nicht verzerrt, weil \(g_{\theta\theta}\) und \(g_{\phi\phi}\) mit den entsprechenden Minkowski-Komponenten übereinstimmen.

eben ... sonst noch Fragen?

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 16:54 #37126

ra-raisch schrieb: eben ... sonst noch Fragen?

Oh ja. Irgendetwas kann logisch noch nicht stimmen. In der Nähe des \(r_s\) wird ja gemäss Schwarzschild-Lösung der differentielle Radius unendlich in die Länge gezogen. Wenn ich jetzt integriere, kommt eine unendliche Entfernung vom entfernten Beobachter zum Ereignishorizont raus. Das ist offensichtlich in der Realität nicht der Fall. Die Entfernung der Erde bis Sagittarius A im Galaxiezentrum sind beispielsweise ca. 26000 Lichtjahre, und nicht unendlich.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 17:01 #37127

Michael D. schrieb:

ra-raisch schrieb: eben ... sonst noch Fragen?

Oh ja. Irgendetwas kann logisch noch nicht stimmen. In der Nähe des \(r_s\) wird ja gemäss Schwarzschild-Lösung der differentielle Radius unendlich in die Länge gezogen. Wenn ich jetzt integriere, kommt eine unendliche Entfernung vom entfernten Beobachter zum Ereignishorizont raus. Das ist offensichtlich in der Realität nicht der Fall. Die Entfernung der Erde bis Sagittarius A im Galaxiezentrum sind beispielsweise ca. 26000 Lichtjahre, und nicht unendlich.

Ja, 1) die lange Strecke befindet sich unmittelbar neben rs. Außerhalb von 3 rs ist der Unterschied nur noch gering. 2) die lange Strecke ist die Strecke für den FIDO, die sich mittels Faktor aus der kleinen Strecke ergibt, die wir messen, solange wir weit weg sind.

Das ist wie bei einem Berg, auf der Landkarte ist die Entfernung zum Gipfel 100 m, wenn man aber schräg die Wand hoch muss, sind es plötzlich 2 km.
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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 17:06 #37128

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Hi Sonni,
urknall-weltall-leben.de/urknall-weltall...html?start=400#37046
Dann sind wir schon 2! ;)
LG


Ps: "Realität", was für ein Konzept.
Jack Nicholson

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 17:10 #37130

Z. schrieb: Ps: "Realität", was für ein Konzept.
Jack Nicholson

Stimmt, Relativität wäre manchmal passender. Aber wie will man das dann erklären, ohne das Wort Realität.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 17:16 #37133

Michael D. schrieb: Wenn ich jetzt integriere, kommt eine unendliche Entfernung vom entfernten Beobachter zum Ereignishorizont raus.


Dann hast du dich verrechnet. Die Koordinatenzeit bis er dort ankommt ist zwar unendlich, die Strecke aber endlich. Von r=2 bis r=10 sind es z.B. 11.8315 GM/c² Strecke:



Vorrechnend,

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 17:29 #37134

Stimmt, ich hatte auch vergessen, dass man sich mit den Kugelkoordinaten eine Koordinaten-Singularität bei \(r=r_s\) einfängt.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 17:34 #37136

Yukterez schrieb: Dann hast du dich verrechnet. Die Koordinatenzeit bis er dort ankommt ist zwar unendlich, die Strecke aber endlich. Von r=2 bis r=10 sind es z.B. 11.8315 GM/c² Strecke.

Geh mal näher ran. Rechne mal von r = 0.001 rs bis r = 10 rs. Was kommt dann raus?

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 18:26 #37139

schöne Grüße von Wolframalpha (Wert von 1/√(1-rs/r) )
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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 18:55 #37141

Michael D. schrieb: Geh mal näher ran. Rechne mal von r = 0.001 rs bis r = 10 rs. Was kommt dann raus?

Yukterez hat ja von 1 rs bis 5 rs gerechnet

achsoooo.... r<rs wird imaginär! Von 0 bis 1 rs bekommst Du -1,57 i rs

Integral von 1rs bis 1,1 rs = 0,6428 rs
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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 19:05 #37143

Michael D. schrieb: Geh mal näher ran. Rechne mal von r = 0.001 rs bis r = 10 rs. Was kommt dann raus?

Man kann auch direkt bis 0 integrieren. Von r=0..2 kommt genau π GM/c² heraus (wenn du vor hast bis hinter den Ereignishorizont zu integrieren musst du aber |grr| statt grr wurzeln, da du wegen dem Vorzeichenwechsel von grr ansonsten den Teil der Strecke der hinter dem Horizont liegt imaginär dazugezählt bekommst).

,
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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 19:13 #37144

Man kann ja auch direkt die Integralfunktion plotten, dann wirds noch klarer. Also:
\[F(r)=r\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}+\frac{r_s}{2}ln\frac{1+\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}\]
Kurze Kurvendiskussion: Wenn ich \(r_s\) einsetzte, erhalte ich schonmal 0.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 19:38 #37145

Yukterez schrieb: die Strecke aber endlich. Von r=2 bis r=10 sind es z.B. 11.8315 GM/c² Strecke:

Das ist (natürlich) richtig, dennoch ist bei r=rs der lokale Radius punktuell unendlich, sobald der Punkt überschritten ist, schrumpft auch der lokale Radius sofort wieder. Die punktuelle Unendlichkeit fällt zum Glück nicht ins Gewicht .... wie bei einem Berg, bei dem an einem Punkt die Wand senkrecht abfällt.

Wir haben halt innerhalb rs nur einen imaginären Radius....

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 19:48 #37146

ra-raisch schrieb: ...dennoch ist bei r=rs der lokale Radius punktuell unendlich...

Öhm, nein. Der ist 0. Plotte mal die Integralfunktion, dann wirst Dus erkennen. Je mehr ich mich \(r_s\) nähere, desto kleiner werden die Abstände beim Koordinatenradius (\(\triangle r\)). Bei \(r_s\) ist der Abstand beim Koordinatenradius genau 0. Danach wird er negativ. Das heisst, der reale Raum wird bis hin zum Ereignishorizont immer platter gedrückt.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 20:11 #37147

ra-raisch schrieb: Wir haben halt innerhalb rs nur einen imaginären Radius....


Das ist nicht wahr. Im Bezugssystem eines mit der Freifallgeschwindigkeit einfallenden Freifallers ist die Strecke π/√2, was wenn man die kinematische Längenkontraktion des Freifallers herausrechnet wiederum genau π ist. Wie sich der Radius relativ zur physikalischen Strecke verhält kannst du dir z.B. hier ansehen, π ist auch der Grenzwert wenn der Radius für die innere Schwarzschildlösung auf den Horizont zugeht. Dass das Ergebnis imaginär wird wenn man nicht beachtet in welchen Koordinaten man rechnet ist ein alter Hut, deswegen wird ja auch an jeder Ecke davor gewarnt was passiert wenn man den Vorzeichenwechsel zwischen grr und gtt der in Schwarzschildkoordinaten ab dem Horizont auftritt nicht beachtet.

Allein in diesem Forum schon in mindestens 3 Fäden davor gewarnt habend,

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 20:15 #37148

Michael D. schrieb:

ra-raisch schrieb: ...dennoch ist bei r=rs der lokale Radius punktuell unendlich...

Öhm, nein. Der ist 0. Plotte mal die Integralfunktion, d

Ich spreche von dem lokalen Radius, so wie wenn Du am Berg einen Punkt hast, der senkrecht abfällt, da kommst Du lokal nicht weiter, also Radius lokal → ∞. Wenn man den Punkt überwunden hat, geht es wieder weiter → Radius ≤ ∞

bei rs=2 ist rlokal→∞
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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 20:31 #37150

Nein, das glaube ich nicht. Ich glaube eher, dass die Integralfunktion richtig ist. Plotte die doch mal. Ausserdem gibt es mathematisch nur einen Radius, und das ist der Koordinatenradius. Es gibt keinen "lokalen" Radius. \(r\) ist und bleibt \(r\). Soweit waren wir doch schon mal.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 20:53 #37151

Michael D. schrieb: Nein, das glaube ich nicht. Ich glaube eher, dass die Integralfunktion richtig ist. Plotte die doch mal.

Das ist die Integralfunktion, also die blaue Fläche. Natürlich verläuft das Integral stetig.

Mein "lokale Radius" ist r/√(1-rs/r), das sind die senkrechten Linien, also die y-Werte. r ist der Koordinatenradius.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 20:56 #37152

Nein, das
\[F(r)=r\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}+\frac{r_s}{2}ln\frac{1+\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}{1-\sqrt{1-\frac{r_s}{r}}}\]
ist die Integralfunktion (siehe Wikipedia ). Plotte die doch mal. Ich kanns auch selbst mal plotten. Dann brauchen wir nicht mehr über irgendwelche blauen Flächen zu reden.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 20:56 #37153

Michael D. schrieb: Ok fangen wir lieber einfach an, hier die Minkowski-Metrik in Kugelkoordinaten und die Schwarzschildlösung direkt untereinander


Eine lustige Übung wäre es auch die Schwarzschildlösung in Boyer-Lindquist Koordinaten hinzuschreiben und das a nicht als Spinparameter, sondern so wie vorher bei Minkowski nur als unphysikalischen Ellipsenparameter des Koordinatensystems drin zu lassen (in deinem ersten Versuch der ursprünglich in Beitrag #37080 stand und mittlerweile wieder herauseditiert wurde warst du übrigens schon ziemlich nah dran). Andererseits ist es bei dem Thema über das wir jetzt gerade reden eh besser das nicht zu tun, da man die Dinge ja auch nicht unnötig verkomplizieren soll.

Vielleicht später noch einmal darauf zurückkommend,

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 21:09 #37154

gut die Stammfunktion zusammengestückelt (log = ln und rs = 1)

Die Funktion in Wiki stimmt überein, funktioniert aber nur für r>rs (und berechnet nur den Abstand von rs)

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 21:20 #37155

ra-raisch schrieb: gut die Stammfunktion zusammengestückelt (log = ln)


Am besten plottet man gleich das flamm'sche Paraboloid, dann kann man die zu r (x-Achse) gehörige Strecke direkt an der Länge des Fadens (die Kurvenlänge der blauen Funktion) und die Zeitdilatation auf der y-Achse der roten Funktion (der Farbcode da unten hat aber nichts mit deinen Farben da oben zu tun) ablesen:



Wenn schon denn schon,

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 21:31 #37157

Yukterez schrieb: (der Farbcode da unten hat aber nichts mit deinen Farben da oben zu tun)

:lol:

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 21:38 #37158

dann weiß ich ja jetzt endlich, was diese Extradimension ist, es ist der physikalische Radius.
hmmmm der wird üblich mit sqrt(rs(r-rs))2 angegeben, das weicht aber ab.

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 21:39 #37159

ra-raisch schrieb: Die Funktion in Wiki stimmt überein

Wenn die Funktion übereinstimmen würde, müsste es bei \(r=r_s\) eine Nullstelle geben. Alles muss man selber plotten...:angry:

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 21:42 #37160

Michael D. schrieb:

ra-raisch schrieb: Die Funktion in Wiki stimmt überein

eine Nullstelle

die habe ich mit π/2 verschoben

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Gravitation eines SL 13 Jul 2018 21:44 #37161

Was in dem Zusammenhang auch interessant sein dürfte ist die Strecke innerhalb des zukünftigen Ereignishorizonts wenn das schwarze Loch noch nicht ganz kollabiert, sondern noch ein infinitesimales Stückchen größer als sein Ereignishorizont ist (innere Schwarzschildlösung, türkiser Hintergrund) im Vergleich mit der Strecke wenn die Singularität bereits fertig ist (dann wird überall bei r>0 die äußere Schwarzschildlösung die mit einem violetten Hintergrund hinterlegt ist angewandt).

In beiden Bildern muss man 5 Ringe (die in dem Fall umfanggetreu sind) zusammenzählen um auf eine physikalische Strecke von 1 GM/c² zu kommen (jeder Ring ist immer lokal aufintegrierte 0.2 GM/c² vom nächsten Ring entfernt). Sowohl knapp vor dem Kollaps, als auch danach, zählen wir von r=0..2 genau π GM/c² ab. Oben: Kollapsar, unten: Vakuumlösung für die Singularität:





Ergänzend,

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