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THEMA: AzS Folge 30

AzS Folge 30 21 Jul 2018 13:30 #37757

Hallo Herr Gaßner, gibt es denn keine Möglichkeit, das Pauli-Prinzip nicht nur rein formal mathematisch zu begreifen? Das ist nicht sehr zufriedenstellend.

Erstaunlich ist doch erstmal, dass die Wellenfunktion jetzt noch die Eigenschaft "Spin" hinzugewonnen hat, dass heisst die Wellenfunktion kann links- oder rechtshändig (Spin Up/Spin Down) sein. Wenn die zusammen in einem Orbital sind, müsste aus Spin Up und Spin Down doch eigentlich in Summe Spin 0 (also ein Boson aus zwei Elektronen analog zu einem Cooper-Paar) werden, oder?

Zum mathematischen Formalismus der antisymmetrischen Lösung für die gemeinsame Wellenfunktion von zwei Elektronen:
\[\Psi_{1,2}(\uparrow\downarrow)=-\Psi_{1,2}(\downarrow\uparrow)\]
Müsste dann nicht Folgendes korrekt sein, wenn man das Minus mit "reinzieht"?:
\[\Psi_{1,2}(\uparrow\downarrow)=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[-\Psi_1(\uparrow)-\Psi_2(\downarrow)\right]=-\Psi_{1,2}(\downarrow\uparrow)\]
Muss der mittlere Teil der Gleichung nicht so geschrieben werden (also nur Spin Up oder Spin Down), wie ich es hier gemacht habe?

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AzS Folge 30 22 Jul 2018 00:52 #37813

Michael D. schrieb: Muss der mittlere Teil der Gleichung nicht so geschrieben werden (also nur Spin Up oder Spin Down), wie ich es hier gemacht habe?

Nein , ich bin mir sicher er hat die richtige Gleichung benutzt . Ist natürlich möglich das er genauso wenig Ahnung von Physik hat wie ich :whistle:

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AzS Folge 30 22 Jul 2018 09:18 #37818

heinzendres schrieb: Nein , ich bin mir sicher er hat die richtige Gleichung benutzt . Ist natürlich möglich das er genauso wenig Ahnung von Physik hat wie ich :whistle:

Du nimmst ja eh alles nur kritiklos hin. Dementsprechend ist auch Dein Lerneffekt.

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AzS Folge 30 22 Jul 2018 10:55 #37832

Michael D. schrieb: Wenn die zusammen in einem Orbital sind, müsste aus Spin Up und Spin Down doch eigentlich in Summe Spin 0 (also ein Boson aus zwei Elektronen analog zu einem Cooper-Paar) werden, oder?


Hier finde ich den folgenden wikipedia-Abschnitt sehr interessant (war mir so nicht bewusst):
"Fermionisches oder bosonisches Verhalten zusammengesetzter Teilchen kann nur aus größerer Entfernung (verglichen mit dem betrachteten System) beobachtet werden. Bei näherer Betrachtung (in einer Größenordnung, in der die Struktur der Komponenten relevant wird) zeigt sich, dass ein zusammengesetztes Teilchen sich entsprechend den Eigenschaften (Spins) der Bestandteile verhält. Beispielsweise können zwei Helium-4-Atome (Bosonen) nicht denselben Raum einnehmen, wenn der betrachtete Raum vergleichbar mit der inneren Struktur des Heliumatoms (≈10−10 m) ist, da die Bestandteile des Helium-4-Atoms selbst Fermionen sind. Dadurch hat flüssiges Helium ebenso eine endliche Dichte wie eine gewöhnliche Flüssigkeit. "(aus: de.wikipedia.org/wiki/Boson )

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AzS Folge 30 22 Jul 2018 13:06 #37860

Michael D. schrieb: Du nimmst ja eh alles nur kritiklos hin. Dementsprechend ist auch Dein Lerneffekt.

Sollte man nicht zuerst wissen was die Lehrmeinung ist um sinnvolle Kritik zu üben ?
Du kannst dich natürlich weigern kritiklos hinzunehmen das 2+2=4 ist aber was soll es bringen solange du kein besseres Ergebnis hast .

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AzS Folge 30 22 Jul 2018 13:34 #37864

heinzendres schrieb: Sollte man nicht zuerst wissen was die Lehrmeinung ist um sinnvolle Kritik zu üben ?

Ja natürlich. Ich fand aber die Erläuterungen zu den Gleichungen in dem Video nicht tiefgehend genug. Es ergaben sich daher für mich direkt logische Fragen zu den Gleichungen. Oder hast Du sie wirklich verstanden? Dann kannst Du es mir ja erklären...

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AzS Folge 30 22 Jul 2018 13:41 #37866

ClausS schrieb: Beispielsweise können zwei Helium-4-Atome (Bosonen) nicht denselben Raum einnehmen, wenn der betrachtete Raum vergleichbar mit der inneren Struktur des Heliumatoms (≈10−10 m) ist, da die Bestandteile des Helium-4-Atoms selbst Fermionen sind. Dadurch hat flüssiges Helium ebenso eine endliche Dichte wie eine gewöhnliche Flüssigkeit. "(aus: de.wikipedia.org/wiki/Boson )

Übertragen auf ein Orbital bliebe ja dann auch innerhalb des Orbitals eine Substruktur aus "Spin Up" und "Spin Down"-Zustand der beiden Elektronen erhalten. Also nicht wirklich Spin 0.

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AzS Folge 30 22 Jul 2018 22:43 #37915

Michael D. schrieb: Es ergaben sich daher für mich direkt logische Fragen zu den Gleichungen. Oder hast Du sie wirklich verstanden? Dann kannst Du es mir ja erklären...

Also ich habe das was er grundsätzlich sagen wollte auf das Pauliprinzip bezogen erkannt , es sind aber für mich noch zu viele fragen offen . Also von verstanden noch weit weg

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AzS Folge 30 23 Jul 2018 20:31 #37987

heinzendres schrieb: Also ich habe das was er grundsätzlich sagen wollte auf das Pauliprinzip bezogen erkannt , es sind aber für mich noch zu viele fragen offen . Also von verstanden noch weit weg

Herr Gassner hat ja jetzt eine Wellenfunktion mit der Eigenschaft Spin eingeführt. Eine Wellenfunktion ohne Spin kann ich mir vorstellen. Das ist im Grunde die Überlagerung verschiedener Sinuswellen. Aber wie sieht so ein Konstrukt aus, wenn man es mit Spin-Zuständen koppelt? Ich finde einfach keine Darstellungen dazu im Netz. Auch kein Youtube-Video. Mathematisch wird der Spin einfach an die Wellenfunktion dranmultipliziert. Toll! Sehr aufschlussreich. Und sehr anschaulich! :angry:

Allerdings hab ich jetzt doch etwas Anschauliches gefunden, ein Spin1/2-Feld. Und so sieht es aus:



Das heisst, in jedem Raumpunkt innerhalb der Wellenfunktion sitzt so ein kleiner Kreisel/Kegel/Wirbel, der ein kleines Magnetfeld erzeugt. Die Spitze ist entweder nach oben (SpinUp) oder nach unten (SpinDown) gerichtet. Mehr Möglichkeiten gibt es nicht. Die Wellenfunktion (bestehend aus dem Spin1/2-Feld) kann jetzt ganz normal schwingen wie eine Sinuskurve zum Beispiel, ohne dass die Kegel ihre Orientierung ändern. Ein Orbital mit einem Elektron wäre dann ein Bereich, in dem alle Kegel nach oben oder nach unten zeigen. Diese Kegel werden auch Spinoren genannt. Es ist ein Vektor aus nur zwei Komponenten, die nur Werte von 0 oder 1 annehmen können:
\[Spinor:= \begin{pmatrix} 0/1 \\ 0/1 \end{pmatrix}\]
Das EM-Feld ist dagegen ein Spin1-Feld. Dem EM-Feld kann in jedem Raumpunkt ein echter 3D-Feldvektor mit den Komponenten x, y und z, einer Feldstärke-Länge (Betrag) und beliebiger Orientierung zugeordnet werden:
\[EM-Feldvektor:=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\]
Der Unterschied zwischen Fermionen und Bosonen kristallisiert sich immer mehr heraus. Für Spin1/2-Felder gilt offenbar, dass sie nicht superponieren können. Stattdessen passt nur noch ein umgekehrter Kegel dahin, wo schon ein Kegel ist. Für zwei gleich ausgerichtete Kegel reicht der "Platz" einfach nicht. Ihr Kegelstumpf ist einfach zu breit. Da die Spinoren ein Magnetfeld erzeugen, müssen sie mit den EM-Feldvektoren gekoppelt sein. So ist es ja auch zwischen Elektronen und Photonen tatsächlich der Fall. Die Kopplungskonstante ist die Ladung (z.B. des Elektrons).

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AzS Folge 30 23 Jul 2018 22:31 #37995

Michael D. schrieb: Das heisst, in jedem Raumpunkt innerhalb der Wellenfunktion sitzt so ein kleiner Kreisel/Kegel/Wirbel, der ein kleines Magnetfeld erzeugt. Die Spitze ist entweder nach oben (SpinUp) oder nach unten (SpinDown) gerichtet.

Du wirst so nicht weiterkommen . Herr Gaßner hat in einem Video klar gesagt „ sag mir nicht wie du dir etwas vorstellst sondern zeige mir was du rechnest „ . Du solltest nicht länger an bildlichen Vorstellungen hängen sondern dein denken auf abstrakt mathematisch trainieren .

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AzS Folge 30 24 Jul 2018 12:33 #38015

Der Spin ist räumlich ausgerichtet mit drei Achsen. Daher sind die Werte in den Vektoren soweit ich mich erinnere, nicht 0 und 1 sondern Varianten von 1, -1, i, und -i und 0. Möglicherweise reden wir aber auch von verschiedenen Darstellungsarten in unterschiedlichen Situationen.

Glaube nichts, weil ein Weiser es gesagt hat. Glaube nichts, weil alle es glauben. Glaube nichts, weil es geschrieben steht. Glaube nichts, weil es als heilig gilt. Glaube nichts, weil ein anderer es glaubt. Glaube nur das, was Du selbst als wahr erkannt hast.

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AzS Folge 30 24 Jul 2018 12:49 #38019

heinzendres schrieb: Du solltest nicht länger an bildlichen Vorstellungen hängen sondern dein denken auf abstrakt mathematisch trainieren .

Abstrakte Mathematik? Genau daran krankt doch die komplette Theoretische Physik. Keiner kann sich darunter mehr was vorstellen. Ich persönliche habe kein Problem mit abstrakter Mathematik. Solange man sie in Animationen anschaulich machen kann. Erstmal muss man sich eine asymmetrische Wellenfunktion zweier Elektronen klarmachen. Es ist eine Wellenfunktion mit zwei phasenverschobenen (\(\pi\)) Komponenten:
\[\Psi(\uparrow\downarrow)=\begin{pmatrix}\Psi(\uparrow) \\ \Psi(\downarrow)\end{pmatrix}\]
Der eindimensionale Fall sieht so aus:

Die Animation zeigt ein doppelt besetztes kugelsymmetrisches s-Orbital im eindimensionalen Fall. Die Zustände \(\uparrow\) (rot) und \(\downarrow\) (blau) schwingen antisymmetrisch hin und her und stehen sich stets gegenüber (180°). Offenbar gibts hier keine Superposition wie es bei 2 Photonen der Fall wäre. Die würden sich zur Feldstärke 0 überlagern. Und ja, auch beim Spin handelt es sich offenbar um einen Vektor mit 3 Komponenten. Aber wo versteckt sich der Spin in der obigen Wellenfunktion?

Bei Wikipedia habe ich gefunden, dass der Spin-Vektor immer die gleiche Länge hat: \(\frac{1}{2}\hbar\). Das ist bei den Vektoren des EM-Feldes z.B. nicht der Fall. Was wir jetzt diskutieren sollten, ist die Pauli-Gleichung . Im Gegensatz zur Schrödinger-Gleichung beschreibt die ja jetzt das Verhalten der Wellenfunktion von 1 oder 2 Elektronen mit Spin:
\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix}\psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}=\left(\frac{(\vec{p}-q\vec{A})^2}{2m}-q\phi\right)\begin{pmatrix}\psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}-\left(g\frac{q\hbar}{2m}\frac{\vec{\sigma}}{2}\cdot\vec{B}\right)\begin{pmatrix}\psi_1 \\ \psi_2\end{pmatrix}\]

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AzS Folge 30 24 Jul 2018 23:01 #38058

Michael D. schrieb: Ich persönliche habe kein Problem mit abstrakter Mathematik. Solange man sie in Animationen anschaulich machen kann.

Zum ersten sind solche Animationen schädlich weil sie nie die Wirklichkeit abbilden .
Zum anderen widersprichst du dir gerade selbst , ein sinnverwandtes Wort von abstrakt ist unanschaulich .
Musst du etwas anschaulich sehen bist du nicht zu abstrakten denken fähig .

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AzS Folge 30 25 Jul 2018 08:39 #38069

heinzendres schrieb: Zum ersten sind solche Animationen schädlich weil sie nie die Wirklichkeit abbilden.

Sie bilden aber die abstrakten mathematischen Gleichungen ab, deren Fan Du offensichtlich geworden bist.

Musst du etwas anschaulich sehen bist du nicht zu abstrakten denken fähig.

Na dann wünsche ich Dir viel Spass mit der abstrakten Pauli-Gleichung. Solltest Mathematiker werden. Wollen doch mal sehen, ob man die Pauli-Gleichung nicht animieren kann. Vorher müssen wir die Gleichung aber erst verstehen. Hier nochmal die Schrödingergleichung mit Spinoren geschrieben:
\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}=\hat{H}\begin{pmatrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{pmatrix}\]
Im Hamilton-Operator \(\hat{H}\) ist kinetische und potentielle Energie zusammengefasst. Die linke Seite ist schonmal identisch mit der Pauli-Gleichung. Wie rechnen wir jetzt mit diesen Spinoren (2er-Vektoren aus Spin-Zuständen)? Nehmen wir an, wir wollen eine Drehung um 180°, d.h. wir wollen aus "SpinUp" "SpinDown" machen:
\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\hat{H}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]
Das geht nur, wenn in \(\hat{H}\) eine 2x2-Drehmatrix drinsteckt. Besser gesagt, ein 2x2-Drehmatrixoperator, denn auch die Drehung ist ja gequantelt. Analog kann ich ja auch "normale" xyz-Vektoren mit einer 3x3-Drehmatrix drehen. Im potentiellen Energieanteil macht die Drehmatrix keinen Sinn. Sie muss in der kinetischen Energie stecken. Gemäss Literatur sieht das dann so aus, wenn wir das äussere Potential mal weglassen:
\[i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=-\frac{\hbar^2}{2m}\left(\sigma\frac{\partial}{\partial x}\right)^2\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}\]
Laut Literatur ist die Drehmatrix \(\sigma\) die sogenannte Pauli-Matrix . Das heisst, um einen Spinwechsel vorzunehmen, muss ich die Wellenfunktion in sich irgendwie um 180° verdrehen. Nur wie sieht das genau aus? Was bedeutet
\[\left(\sigma\frac{\partial}{\partial x}\right)^2?\]
Dass ich die Wellenfunktion krümmen und dabei in sich verdrehen muss...tataaa!!! Und so sieht es aus :) :



Es ist eine Wellenfunktion, die gleichzeitig schwingt und in sich dreht. Spin 1/2 ist also ein schwingender Wirbel. Und damit sind alle Fermionen schwingende Wirbel. Dabei ist die Drehung doppelt so schnell wie die Schwingung. Und nach zwei kompletten Drehungen des Wirbels (720°) wird der Ausgangszustand "SpinUp" wieder erreicht. Endlich, es ist geschafft! Spin anschaulich dargestellt. Es dreht sich also tatsächlich was!

Gehen wir mal näher auf diesen Spin1/2-Vektor ein. Seine x,y,z-Komponenten dürfen ausschliesslich die Werte \(\pm \frac{h}{2}\) haben. Für solche Zwei-Zustands-Vektoren sind bekanntermassen die Pauli-Matrizen (\(\sigma\)) geeignet. Dies sind die Pauli-Matrizen:
\[\sigma_x=\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0\end{pmatrix}, \sigma_y=\begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0\end{pmatrix}, \sigma_z=\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1\end{pmatrix}\]
Den Spin-Vektor in x,y,z-Koordinaten kann man gemäss Literatur jetzt wie folgt berechnen:
\[\vec{\hat{S}}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}\sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z\end{pmatrix}\]
Das heisst:
\[\hat{S_x}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{pmatrix},\hat{S_y}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 0&-i \\ i&0 \end{pmatrix},\hat{S_z}=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix} 1&0 \\ 0&-1 \end{pmatrix}\]
Mit den Pauli-Matrizen kann man auf keinen Fall eine kontinuierliche Drehung wie im obigen Video erzeugen, denn es sind mathematisch Matrizen mit einer abstrakten, unabhängigen 2x2-Basis. Man geht also Mainstream-mässig davon aus, dass der Spin in einem abstrakten, klassisch nicht zu verstehenden abstrakten Spinraum "lebt". Daher hat man für den Spin eine eigene Spinraum-Wellenfunktion \(\chi(t)\) eingeführt, die nicht mehr vom Ort, sondern nur noch von der Zeit abhängig ist. Es ergibt sich also im Grunde:
\[\vec{\hat{S}}\chi(t)=\frac{\hbar}{2}\begin{pmatrix}\sigma_x \\ \sigma_y \\ \sigma_z\end{pmatrix}\chi(t)\]
Hier wird also beim Elektron von einem Punktteilchen ausgegangen, das einen nicht-klassischen Drehimpuls mit einer eigenen abstrakten Spinwellenfunktion hat. Im Gegensatz dazu fasst die Mainstream-Physik den Bahn-Drehimpuls des Elektrons noch als semi-klassisch auf, d.h. mit einer Orts-Wellenfunktion, die einen echten Orts-Dreh-Differentialoperator hat:
\[\vec{\hat{L}}\psi(x,y,z,t)=\frac{\hbar}{i}\begin{pmatrix}y\frac{\partial}{\partial z}-z\frac{\partial}{\partial y} \\ z\frac{\partial}{\partial x}-x\frac{\partial}{\partial z} \\ x\frac{\partial}{\partial y}-y\frac{\partial}{\partial x}\end{pmatrix}\psi(x,y,z,t)\]
Soweit die Mainstream-Physik.
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AzS Folge 30 19 Aug 2018 15:55 #40416

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Nachdem Michael D. mich freundlicherweise darauf hingewiesen hat das meine Frage wohl in diese Themenüberschrift gehört...was ich auch hätte sehen können mit Augen offen :whistle:

Im Video komm ich bei der Herleitung Pauli-Prinzip nicht voll mit.
Ausgangsannahme Nichtunterscheidbarkeit => OK
Zwei Lösungen => OK
In der dritten Zeile (Betrachtung einer Lösung), da hakt es bei mir. Darstellung der Lösung (ein Teichen, eine Welle) als Überlagerung von zwei Wellen mit ihren Wahrscheinlichkeiten? Hier fehlt mir irgendwo das "wie + warum kommt man auf diesen Schritt".
Danach ist wieder alle OK :)

Ausgangsidee, Betrachtung, Folgerungen...alles klar, nur bei dem mathematischen Hüpfer an dieser Stelle stehe ich auf dem Schlauch.

Stelle im Video siehe Anhang.
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AzS Folge 30 19 Aug 2018 17:34 #40430

Lutz schrieb:
Im Video komm ich bei der Herleitung Pauli-Prinzip nicht voll mit.
Ausgangsannahme Nichtunterscheidbarkeit => OK
Zwei Lösungen => OK
In der dritten Zeile (Betrachtung einer Lösung), da hakt es bei mir. Darstellung der Lösung (ein Teichen, eine Welle) als Überlagerung von zwei Wellen mit ihren Wahrscheinlichkeiten? Hier fehlt mir irgendwo das "wie + warum kommt man auf diesen Schritt".


Die Wellenfunktion

\[
\Psi(\uparrow\downarrow)
\]

ist eine Zwei-Teilchen-Wellenfunktion: Elektron 1 hat Spin up, Elektron 2 hat Spin down. Die Nicht-Unterscheidbarkeit zweier Elektronen führt zur ersten Zeile:

\[
|\Psi(\uparrow\downarrow)|^{2}=|\Psi(\downarrow\uparrow)|^{2},
\]

was zwei Lösungen besitzt:

\[
\Psi(\uparrow\downarrow)=\pm\Psi(\downarrow\uparrow).
\]

Im Weiteren möchte Gaßner zeigen, wie aus den beiden Eigen-Zuständen

\[
\Psi(\uparrow\downarrow)\ \ \ \ und\ \ \ \ \Psi(\downarrow\uparrow)
\]

Wellenfunktionen für das Zwei-Elektronen-System konstruiert werden können, die bei Vertauschung der Elektronen entweder das Vorzeichen behalten oder das Vorzeichen wechseln. Das sind gerade die genannten normierten Linearkombinationen aus den Eigenzuständen:

\[
\Psi_{1}(\uparrow\downarrow)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left[\Psi(\uparrow\downarrow)+\Psi(\downarrow\uparrow)\right]
\]

\[
\Psi_{2}(\uparrow\downarrow)=\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\left[\Psi(\uparrow\downarrow)-\Psi(\downarrow\uparrow)\right]
\]

Das ist eine Anwendung des grundlegenden Prinzips, für die quantenmechanische Beschreibung eines Systems die Eigenzustände des Operators einer betrachteten Eigenschaft zu verwenden. Hier ist es der Permutations-Operator, der hier die Eigenwerte +1 und -1 besitzt, und die beiden Eigen-Zustände
``up down'' und ``down up''.
MfG
DieterH
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AzS Folge 30 19 Aug 2018 17:46 #40436

DieterH schrieb: Die Wellenfunktion ist eine Zwei-Teilchen-Wellenfunktion: Elektron 1 hat Spin up, Elektron 2 hat Spin down...Eigenzustand...

Ja, alles klar. Eigenzustand ist das Zauberwort. Das hatte mir gefehlt.

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AzS Folge 30 19 Aug 2018 18:00 #40442

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Wow!
Vielen Dank für die Ausführliche Antwort. Jetzt kann ich mein Verständnisproblem besser eingrenzen: Der Sprung zur "normierten Linearkombinationen", da hakt es.
Wenn das in dieser Form ein üblicher Formalismus ist, kann ich erst einmal damit leben B)
Werde bei nächster Gelegenheit mal meine Kenntnisse dazu auffrischen...vielleicht sogar meinen alten Bronstein zu Rate ziehen :woohoo:

mfg
Lutz

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