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THEMA: SU(2) und SO(3) - Spin 1/2 und 3D-Rotation

SU(2) und SO(3) - Spin 1/2 und 3D-Rotation 23 Sep 2018 12:51 #42547

In diesem Thread soll genau untersucht werden, wie der Spin 1/2 (Fermionen, Gruppe SU(2) ) mit Hilfe von 3D-Rotationen (Gruppe SO(3) ) beschrieben werden kann.

Die Pauli-Matrizen bilden dabei die Operatoren der Gruppe SU(2) und beschreiben die Zustände "SpinUp" und "SpinDown" des abstrakten zweidimensionalen Hilbert-Raumes. Sie enthalten komplexe Zahlen.

Wir wollen nun diese Gruppe SU(2) durch 3D-Rotationen mit Hilfe von Einheits-Quaternionen ersetzen. Was sind Quaternionen? Sie stellen änlich wie die komplexen Zahlen eine Erweiterung des Zahlenbereichs dar und werden gerne zur Berechnung von Rotationen benutzt. Insbesondere verknüpfen sie Orientierungen und Rotationen von 3D-Objekten. Daher werden sie gerne in Computeranimationen eingesetzt, in denen Drehungen von Körpern dargestellt werden.

Im Gegensatz zu einer Rotationsmatrix (z.B. um die z-Achse)
\[R_z=\begin{pmatrix} cos(\alpha) & -sin(\alpha) & 0 \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\] mit der man die Drehung eines Vektors \(v\) um den Winkel \(\alpha\) berechnen kann,
\[v'=R_z\cdot v\] besteht eine Einheits-Quaternion aus 4 Zahlen, in denen Vektor und Drehwinkel enthalten sind,

\(q=a+b\cdot i+c\cdot j+d\cdot k\), \(|q|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}=1\), mit denen man dasselbe erreicht:
\[p'=q\cdot p \cdot q^{-1}\] \(a\) ist wie bei den komplexen Zahlen der Realteil. Im Gegensatz dazu folgt dann jedoch nicht nur ein Imaginärteil, sondern noch zwei weitere, die die Komponenten eines imaginären 3D-Vektors bilden. Aus der rotierten reinen imaginären Vektor-Quaternion \(p'\) lassen sich auch wieder der reale 3D-Vektor \(v'\) und der Drehwinkel \(\alpha\) zurückgewinnen.

Jetzt kann man der Literatur entnehmen, dass die Spin1/2-Gruppe SU(2) zur Einheits-Quaternion isomorph ist:
\[q=a+b\cdot i+c\cdot j+d\cdot k\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}=a+b\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix} 0 & i \\ i & 0\end{bmatrix}\] wobei 1, i, j und k den Pauli-Matrizen entsprechen. Somit kann man den Spin von Fermionen in einem abstrakten 2D-Raum mit komplexer Zahlenebene prinzipiell auf komplexe 3D-Rotationen zurückführen, die realen 3D-Rotationen entsprechen. Wie geht das aber jetzt im Einzelnen?

Nachvollziehbare Mathematik ist notwendige Grundlage zur Beurteilung von physikalischen Modellen.

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SU(2) und SO(3) - Spin 1/2 und 3D-Rotation 11 Okt 2018 11:29 #43368

Hallo Michael,

Vielen Dank für diesen Thread er trifft genau das Thema in das ich mich gerade einzulesen versuche (soweit ich Zeit dazu habe). Dabei habe ich gelernt das mir sämtlich Grundlagen fehlen, weshalb ich mir erstmal die Grundlagen der Algebra (Gruppentheorie bzw allgemeine Grundlagen) reinziehen musste (Empfehlung: Grundkonzepte der Mathematik, Storch Wiebe), als auch die Anwendung in der Physik. Ein guter Einstieg hier zur Übersicht bietet meines Wissens Johannes SChwichtenberg mit seinem Buch Durch Symmetrie moderne Physik verstehen. DIes ist kein Buch um Physik zu studieren sondern um die Zusammenhänge zu sehen.

Ich bin daher eher Laie auf diesem Gebiet aber sehe evtl. Möglichkeiten Verständnisschwierigtkeiten zu dIskutieren wenn möglich und erwünscht.

Was mir aufgefallen ist:

Wir wollen nun diese Gruppe SU(2) durch 3D-Rotationen mit Hilfe von Einheits-Quaternionen ersetzen.

Die Gruppe SU(2) ist doch schon definiert auf der Menge der Quaternionen oder nicht? DAs heißt man ersetzt die Gruppe SO(3) basierend auf der Menge der reeelne Zahlen durch die Gruppe SU(2) basierend auf der Menge der Quaternionen. Der Vorteil ist dabei das die Gruppe der SU(2) die Gruppe der SO(3) doppelt überlagert, in dem Sinne also fundamentaler ist.

Somit kann man den Spin von Fermionen in einem abstrakten 2D-Raum mit komplexer Zahlenebene prinzipiell auf komplexe 3D-Rotationen zurückführen, die realen 3D-Rotationen entsprechen.


Hier habe ich eine Frage:
Reicht es für die Beschriebung des Spins aus, nur mit der räumlichen Drehung zu arbeiten? Ich dachte für den Spin müssen wir den Framwork der SRT miteinbezihen daher die Frage inwiefern die Lorentzgruppe (O(1,3)) eine Rolle spielt?

Und die nächste Frage wäre wie sich die Gruppentheorie im Lagrange-Formalismus, der ja die Grundlage bildet für die Feldtheorien, wiederfindet? Aber das wäre etwas für später :-)

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SU(2) und SO(3) - Spin 1/2 und 3D-Rotation 11 Okt 2018 19:27 #43389

mojorisin schrieb: Die Gruppe SU(2) ist doch schon definiert auf der Menge der Quaternionen oder nicht? DAs heißt man ersetzt die Gruppe SO(3) basierend auf der Menge der reeelne Zahlen durch die Gruppe SU(2) basierend auf der Menge der Quaternionen. Der Vorteil ist dabei das die Gruppe der SU(2) die Gruppe der SO(3) doppelt überlagert, in dem Sinne also fundamentaler ist.

SU(2) und SO(3) sind im Prinzip echte 3D-Rotationen. Mit Quaternionen lassen die sich am besten beschreiben.

Ich dachte für den Spin müssen wir den Framwork der SRT miteinbezihen daher die Frage inwiefern die Lorentzgruppe (O(1,3)) eine Rolle spielt?

Lorentz-Transformationen für Spin? War für mich eigentlich auch immer logisch. Geht aber über SRT und ART hinaus, da Rotationen kein Inertialsystem darstellen. Daher ein alternativer Ansatz. Ausserdem werden im Standardmodell Fermionen als Punktteilchen behandelt, bei denen sich klassisch nichts dreht.

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SU(2) und SO(3) - Spin 1/2 und 3D-Rotation 12 Okt 2018 00:31 #43416

SU(2) und SO(3) sind im Prinzip echte 3D-Rotationen. Mit Quaternionen lassen die sich am besten beschreiben.


Ich habe nochmal nachgeschaut es ist so das die Gruppe der Einheitsquaternionen isomorph ist zur Gruppe SU(2)

de.wikipedia.org/wiki/SU(2)#SU(2)_als_Gr...Einheitsquaternionen

Es ist äquivalent wie die Grupe SO(2) zur Gruppe U(1) also den herkömmlichen komplexen Zahlen. Mit diesen beschreibt man auch ein Drehung n der euklidischen Ebene.

Lorentz-Transformationen für Spin?


Ich wollte das eher als Frage formulieren. Ich weiß das man den Spin im DIrac-Formalismus erhält als eine invariante Eigenschaft, das heißt man erhählt eine Erhaltungsgröße die invariant ist unter einer entsprechenden Transformation, also innerhalb der relativistischen Quantenmechanik. Im Rahmen der nichtrelativistischen Schrödingergleichung kann man den Spin meines WIssens nach nur modellieren mit bestimmten Ad-hoc Annahmen.
Im Rahmen der relativistischen Quantenmechanik ergibt sich, soweit ich das verstehe, der Spin als eine Invarianz der Lagrange-Gleichungen unter bestimmten Transformationen. Grundlage dafür ist das Noether-Theorem.

Ich muss aber zugeben das ich zu wenig Detailwissen hierfür habe, um richtig konstruktiv diksutieren zu können :-)

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SU(2) und SO(3) - Spin 1/2 und 3D-Rotation 12 Okt 2018 11:17 #43425

Ich finde es jedenfalls faszinierend, dass man einen auf dem Handteller platzierten Gegenstand um jeden beliebigen Winkel drehen kann (und erst nach 720° wieder den Ausgangszustand erreicht) ... um hinterher höchstens einen Knoten im Hirn, nicht aber im Arm zu haben. :)

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SU(2) und SO(3) - Spin 1/2 und 3D-Rotation 12 Okt 2018 13:23 #43430

Ich finde es jedenfalls faszinierend, dass man einen auf dem Handteller platzierten Gegenstand um jeden beliebigen Winkel drehen kann (und erst nach 720° wieder den Ausgangszustand erreicht) ... um hinterher höchstens einen Knoten im Hirn, nicht aber im Arm zu haben.


Hier hilft das Möbiusband enorm beim Visualisieren:



Setzte dich an irgendeinen Punkt und geh einmal gedanklich im Kreis, und man erkennt das man nach 360 Grad nicht am Ursprungsort gelandet ist. Erst nach einer weiteren Drehung um 360°landet man wieder beim Startpunkt:

IM Gegensatz dazu eine Kreisscheibe:



Hier landet man bereits nach 360° Umrundung wieder am AUsgangspunkt.

Zum Thema:

Man kann den Rand des Möbiusbandes auch als Spinor auffassen: Die Gruppe Spin ⁡ 1 / 2 sei durch 0 ≤ ϕ < 4 parametrisiert.


de.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6biusband#Spinoren

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SU(2) und SO(3) - Spin 1/2 und 3D-Rotation 13 Okt 2018 10:19 #43485

Verena Meier schrieb: Ich finde es jedenfalls faszinierend, dass man einen auf dem Handteller platzierten Gegenstand um jeden beliebigen Winkel drehen kann (und erst nach 720° wieder den Ausgangszustand erreicht) ... um hinterher höchstens einen Knoten im Hirn, nicht aber im Arm zu haben. :)

Mit genau diesem Verhalten funktioniert ja die Animation des Spin1/2. Eine schwingende, intrinsische Rotation in einer unbewegten äusseren Umgebung (starrer, flacher Raum) als Randbedingung. Also im Prinzip das Möbiusband in 3D:



Der nächste Schritt wäre jetzt die Berücksichtigung der Lorentz-Transformation. Also im Prinzip eine Animation der Dirac-Gleichung. Dann wird man 3-dimensional sehen können, was "Ladung" und ein "Antiteilchen" ist. Daran arbeite ich gerade.

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SU(2) und SO(3) - Spin 1/2 und 3D-Rotation 13 Okt 2018 23:24 #43533

Hallo Michael,

Michael D. schrieb: ...
Der nächste Schritt wäre jetzt die Berücksichtigung der Lorentz-Transformation. Also im Prinzip eine Animation der Dirac-Gleichung. Dann wird man 3-dimensional sehen können, was "Ladung" und ein "Antiteilchen" ist. Daran arbeite ich gerade.

Das finde ich "klasse".
Ein weitergehendes Verständnis erhoffe ich mit der Verwendung der SU(2), SU(3),... zur Beschreibung von Vorgängen, die jetzt modern als emergente Strukturen beschrieben werden. Vielleicht sind die QED und die QCD schon Anfänge von so etwas.
MfG
Lothar W.

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SU(2) und SO(3) - Spin 1/2 und 3D-Rotation 14 Okt 2018 11:39 #43540

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Ja, eine faszinierende Vorstellung.
Dass man eben den Spin nicht als "unabhängige Eigenschaft" von EM-Strahlung ansieht, sondern sehr wohl als von der Schwingung der Welle abhängiges Ereignisses. Dann wäre eine Schwingung kein 2D-Ereignis, sondern das Ergebnis einer Doppelrotation. (also die Rotation um zwei unterschiedliche Raumachsen) Super Animation, auch die Vorstellung des Möbiusbandes ist dabei sehr hilfreich.

MfG
WL01

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