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THEMA: Schwarzschildradius

Schwarzschildradius 16 Apr 2019 23:36 #51043

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Ich habe das Foto des schwarzen Loches in M87 zum Anlass genommen die Orginalpublikation von Karl Schwarzschild aus dem Jahre 1916 zu lesen und bin entsetzt.
Dort ist das Linienelement (Formel 14) angegeben, das man überall finden kann, aber mit einem wesentlichen Zusatz, nämlich dem Zusammenhang der Koordinate R mit dem Radius der Kugelkoordinaten r:

ds² = (1-a/R) dt² - 1/(1-a/R) dR² - R²(dθ² +sin²θ dφ²) , R³ =r³ +a³

Die Metrik divergiert bei R=a, also bei r=0!
Das heißt doch, dass der Durchmesser des "Ereignishorizontes" gleich Null ist, oder sehe ich das falsch?

Link zu Schwarzschilds Arbeit:
Publikation von Karl Schwarzschild

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Schwarzschildradius 17 Apr 2019 21:37 #51078

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Nachtrag:

Ich denke, dass Schwarzschild mit seiner Ansicht, dass die Metrik nur dort unstetig sein kann, wo auch die Massenverteilung unstetig ist, Recht hatte.
Schließlich muss die Metrik Differentialgleichungen erfüllen, wie sollen da mitten im Vakuum Unstetigkeiten entstehen. Aber das heißt, dass die
Metrik tatsächlich erst an der Massen-Singularität divergiert und der Ereignishorizont tatsächlich Durchmesser Null hat.

Wenn es aber gar keine ausgedehnten schwarzen Löcher gibt, was wurde dann von M87 aufgenommen, ein Gravastern?

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Schwarzschildradius 19 Apr 2019 14:56 #51126

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Nachtrg 2:
Das Thema scheint ja nicht gerade beliebt zu sein; und wenn man bedenkt, dass das Problem des Massenpunktes in den letzten 100 Jahren wahrscheinlich eine Million mal "gelöst" wurde, sind meine Anmerkungen ja auch ziemlich unglaublich.

Deshalb will ich versuchen den entscheidenden Punkt klarer dazustellen:

1. Bei der Lösung der Feldgleichungen geht man im Allgemeinen von Polarkoordinaten (r, θ, φ) aus.
2. Bei der weiteren Rechnung wird eine neue Radialkoordinate R eingeführt.
3. Das Ergebnis ist das Linienelement in Abhängigkeit von (R, θ, φ).
4. Schwarzschild gibt für den Zusammenhang zwischen R und r die Formel R³=r³+a³ an, wobei a den Wert des sogenannten Schwarzschildradius hat.
5. Andere Autoren behaupten keineswegs etwas anderes. Das Problem ist, dass sie sich über den Zusammenhang zwischen R und r überhaupt nicht äußern.
Die Metrik wird dann aber so interpretiert als wäre R=r, wobei die Annahme, dass R=r ist, noch nicht mal ansatzweise begründet wird.
Dadurch entstehen falsche Vorstellungen davon, wo im Raum sich der Ereignishorizont befindet.
6. Nach den Formeln des Herrn Schwarzschild liegt der Horizont bei (R=a, r=0), also am Ort des Massenpunktes.


Ich hoffe das ist jetzt einigermaßen verständlich.

Nichtsdesotrotz ist der Umfang 2πa und die Oberfläche πa², der Durchmesser und das Volumen sind aber identisch Null.

Insofern kann es vielleicht schon sein, dass der Massenpunkt als ausgedehntes Objekt erscheint. Wenn man deshalb den Punkt als
eine Kugel mit Radius a darstellt, muss man aber sagen, dass die Oberfläche der Kugel einen Rand der Raumzeit darstellt, und
das innere der Kugel nicht zum Universum gehört, genauso wie das Loch eines Donuts kein Bestandteil des Donuts ist.
In diesem Fall müsste man auch sagen, dass sich die Masse an der Oberfläche der Kugel befindet, denn
es kann einfach nicht sein, dass Divergenzen der Metrik und Divergenzen der Massedichte räumlich getrennt sind!

So, und jetzt kommt wirklich was verrücktes:

Wenn das "Schwarze Loch" Durchmesser Null hat, müsste es eigentlich als Wellenfunktion dargestellt werden. In Polarkoordinaten
ergäbe sich eine Entwicklung nach Kugelflächenfunktionen. Die einzige Kugelflächenfunktion die wirklich kugelsymmetrisch ist, ist Y0.
Diese repräsentiert aber Bahndrehimpuls Null. Das heißt, ein "schwarzes Loch" müsste ein fettes "Spin-0-Teilchen" sein.
Wenn aggregierte Materie Teil des Spin-0-Objekts werden will, muss sie irgendwie Drehimpuls abgeben, wodurch sich gigantische Jets bilden, die den
Drehimpuls davon tragen. Lustig, gell ;-)

PS: Ich muss nicht unbedingt Monologe führen. Kommentare sind erwünscht!

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Schwarzschildradius 19 Apr 2019 15:11 #51127

bro schrieb: PS: Ich muss nicht unbedingt Monologe führen. Kommentare sind erwünscht!

Das Thema wurde schon zu oft durchgekaut, das Volumen haben wir z.B. erst vor zwei Wochen durchgerechnet.

Die Suchfunktion empfehlend,

Folgende Benutzer bedankten sich: Mustafa Basaran

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Schwarzschildradius 19 Apr 2019 16:06 #51129

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Danke für die Antwort.

Aber Du hast vermutlich das wesentliche meiner Anmerkungen überlesen.
Ich rede hier von der Schwazschildlösung für einen Massenpunkt. Und davon, dass das Volumen innerhalb des Ereignishorizonts gleich 0 ist.
Hast Du das wirklich vor zwei Wochen ausgerechnet?

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Schwarzschildradius 19 Apr 2019 16:47 #51130

bro schrieb: Ich rede hier von der Schwazschildlösung für einen Massenpunkt. Und davon, dass das Volumen innerhalb des Ereignishorizonts gleich 0 ist. Hast Du das wirklich vor zwei Wochen ausgerechnet?

Nein, in meiner Rechnung gehe ich von sinnvollen Annahmen aus. Du hingegen extrapolierst die Außenlösung in den Innenbereich, was natürlich nicht zulässig ist.

Dagegen,

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Schwarzschildradius 19 Apr 2019 17:15 #51132

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Es ist mir durchaus bewusst, dass das ,was sich sagen will nicht so ohne weiteres zu verstehen ist.

Es ist nicht so, dass ich etwas extrapoliere. Sondern in der Theorie werden generell verschiedene Radialkoordinaten verwendet.
Die Frage ist also, welche Koordinate, was bedeutet, und wie ihr Zusammenhang ist. Von Schwarzschild höchst persönlich
stammt die Formel:

R³ =r³ +a³,

wobei a der Schwarzschildradius, und r der bei Kugelkoordinaten übliche Radius ist.
Die Metrik hängt aber von R ab:

ds² = (1-a/R) dt² - 1/(1-a/R) dR² - R²(dθ² +sin²θ dφ²)

diese Metrik divergiert bei R=a, Wenn R=a ist, dann ist aber r=0, d.h. die Metrik divergiert genau dort wo der Massenpunkt sitzt.

Das Problem ist, dass die meisten Leute so tun als wäre R=r, wodurch der Eindruck entsteht, dass sich zwischen Massenpunkt und Ereignishorizont
Raum befindet. Das ist aber einfach eine Fehlinterpretation, weil R eben nicht gleich r ist. Das wusste schon Schwarzschild! (siehe Link im ersten Post, Formel 14)!

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 00:00 #51149

bro schrieb: Sondern in der Theorie werden generell verschiedene Radialkoordinaten verwendet.

Da scheinst du wohl was zu verwechseln.

bro schrieb: Die Frage ist also, welche Koordinate, was bedeutet, und wie ihr Zusammenhang ist.

Was welche Koordinate bedeutet ergibt sich aus dem metrischen Tensor.

bro schrieb: Von Schwarzschild höchst persönlich stammt die Formel: R³ =r³+a³

R wird in dem von dir verlinkten Artikel als Hilfsgröße bezeichnet, das ist in dem Fall nicht der physikalische Radius.

bro schrieb: Das Problem ist, dass die meisten Leute so tun als wäre R=r

Ich habe noch niemanden gesehen der so getan hätte. Außerdem muss man bedenken dass die Variablenbelegung nicht in allen Artikeln gleich ist, heutzutage wird R meistens nicht für irgendeine Hilfsgröße sondern je nach Kontext entweder als Bezeichnung für den aufintegrierten physikalischen oder manchmal auch den kartesischen Radius verwendet.

Noch einmal auf den anderen Faden verweisend,

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 00:32 #51151

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In gewisser Weise hast schon recht. Das eigenartige ist nur, dass die Metrik bei allen Autoren die gleiche Form hat:

ds² = (1-a/R) dt² - 1/(1-a/R) dR² - R²(dθ² +sin²θ dφ²)

Bei den meisten Autoren ist dann das "R" im Linienelement der Radius der Kugelkoordinaten.
Bei Schwarzschild ist "R" aber eine Hilfsgröße. Wenn Schwarzschild das gleiche meinte wie allen anderen,
aber mit einer "Hilfsgröße" arbeitet ,müsste doch sein Linienelement eine andere Form haben, so dass erst durch
eine Koordinatentransformation die übliche Form entsteht.

im übrigen führen auch andere Leute Hilfsgrößen ein: z.B. r′ =√g22(R,cT), hier ist R der Kugelkoordinaten-Radius,
und im fertigen Linienelement kommt dann r vor, aber über den Zusammenhang mit R wird nichts gesagt.
( Skriptum_siehe-seite_107 )

Das läuft dann darauf hinaus, dass r als R interpretiert wird.

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 01:13 #51152

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Bevor ich des Rufmordes beschuldigt werde, möchte darauf hinweisen, dass es im oben zitiertem Skriptum heißt:

insbesondere r,t haben keine unmittelbare physikalische Bedeutung

schön, die Frage die sich da aber stellt, ist,welchen Wert r an der Stelle hat, an der sich die Singularität befindet?
Etwa Null? Bei dem im Skriptum gewählten Notationen, hätte Schwarzschild gesagt :Singularität ist dort wo r = 2GM/c²
und r kann niemals kleiner sein als 2GM/c², denn r = 2GM/c² steht für den Ursprung des Koordinatensystems, und bedeutet
soviel wie R=0, was er durch die Gleichung r³ = R³ + a³ ausgedrückt (leider sind die Rezeichungen R, r im Skript und bei Schwarzschild gerade vertauscht).

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 01:38 #51153

Verwechselst du vieleicht die Koordinatensingularität am Schwarzschildradius mit der vermuteten echten Singularität im Masseschwerpunkt?

Irgendwie hab ich noch nicht verstanden worau du eigentlich hinaus willst.


PS: ich schreibe "vermutet" weil noch niemand dort war, zurückgekehrt ist und berichten kann ob dort wirklich die Masse in einem Punkt konzentriert ist. So gesehen endet die empirische Wissenschaft am rs.

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 01:56 #51155

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naja, es wird immer davon ausgegangen dass sich im Koordinatenursprung eine Singularität befindet.

Bei der Ableitungen des Linienelements werden dann irgendwelche formalen Koordinatentransformationen gemacht, so dass sich am Ende die Frage stellt,
welches Koordinaten-Tuple für den Koordinatenursprung steht, an dem sich die Singularität befindet. Wenn irgendeine Radialkoordinate vorkommt,
die wir mal als RRRRRR bezeichenen wollen vorkommt, nimmt man gerne an, dass die Singularität bei RRRRRR=0 ist. Aber so
einfach ist das nicht. Die Radialkoordinate im Linienelement hat von vornherein nur den Wertbereich (Schwarzschildradius - unendlich),
und kann gar nicht Null sein, und das sagt Schwazschild ganz deutlich. Er sagt auch explizit, dass die Integrationskonstanten so gewählt werden
müssen, dass die Unstetigkeit der Metrik an der Massen-Singularität liegt. Bei Schwarzschild liegen somit Singularität und Ereignishorizont an der
selben Stelle im Raum. Das ist keine Verwechslung von mir.

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 08:45 #51163

Yukterez sprach von Extrapolation auf das Innere des SL und ich habe den Begriff "Koordinatensingularität" genannt.
In Schwarzschildkoordinaten ist der Rs eine solche. So wie ich das verstehe gibt es einfach keine Transformation (=Projektion?) die das was sich Innerhalb des rs abspielt in unser gewohntes euklidisches Koordinatensystem abbilden kann.


PS:
Liegt der Polarstern nördlicher als der Nordpol?
.
.
.
Oder wird seine Position in üblichen Karten nur auf den Nordpol projiziert obwohl er dort an diesem Ort garnicht ist?

assume good faith

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assume good faith

Schwarzschildradius 20 Apr 2019 12:46 #51168

bro schrieb: im übrigen führen auch andere Leute Hilfsgrößen ein: z.B. r′ =√g22(R,cT), hier ist R der Kugelkoordinaten-Radius

Das ist die ganz normale Wurzel des metrischen Koeffizienten, das ist von allem noch am wenigsten eine Hilfsgröße da man damit direkt den Koordinatenabstand auf den physikalischen Abstand integrieren kann.

bro schrieb: schön, die Frage die sich da aber stellt, ist,welchen Wert r an der Stelle hat, an der sich die Singularität befindet? Etwa Null?

Selbstverständlich 0. Dass das bei r=2GM/c² nur eine Koordinatensingularität ist wurde kurze Zeit nach dem Schwarzschild sein Paper veröffentlicht hat von Eddington, Finkelstein, Gullstrand, Painlevé und vielen anderen gezeigt. Man merkt es aber auch schon daran dass sich die Weltlinie eines Partikels auch in ganz normalen Schwarzschildkoordinaten bis r=0 plotten lässt wenn man nach der Eigenzeit (oder im Fall von Photonen nach deren affinem Parameter) differenziert, da sich die koordinatenzeitinduzierte Unendlichkeit in den Bewegungsgleichungen dann wieder rauskürzt.

Merilix schrieb: So wie ich das verstehe gibt es einfach keine Transformation (=Projektion?) die das was sich Innerhalb des rs abspielt in unser gewohntes euklidisches Koordinatensystem abbilden kann.

Es gibt genug horizontüberschreitende Koordinaten (Raindrop, Finkelstein etc), und in den externen Bezugssystemen wo am Horizont eine Koordinatensingularität auftritt bleibt der kollabierende Stern aufgrund der Zeitdilatation sowieso immer ein bisschen größer als sein Schwarzschildradius, weswegen aus diesem Bezugssystem heraus beschrieben für das Innere auch die innere und nicht die Vakuumlösung verwendet gehört.

Unterscheidend,

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Schwarzschildradius 20 Apr 2019 21:03 #51190

Yukterez schrieb: Es gibt genug horizontüberschreitende Koordinaten (Raindrop, Finkelstein etc),

Reichen die auch in unsere (also beobachtbare) Gegenwart?

Yukterez schrieb: und in den externen Bezugssystemen wo am Horizont eine Koordinatensingularität auftritt bleibt der kollabierende Stern aufgrund der Zeitdilatation sowieso immer ein bisschen größer als sein Schwarzschildradius,

In einem anderen Thread wurde/wird ein Schalenmodell diskutiert mit dem ich mich ganz gut anfreunden kann (vor einiger Zeit hatte ich das selbst diskutiert -- wenn auch wenig mathematisch untermauert)
Aber:

Yukterez schrieb: weswegen aus diesem Bezugssystem heraus beschrieben für das Innere auch die innere und nicht die Vakuumlösung verwendet gehört.

Ich sehe da einen sehr schmalen Grat zwischen Physik (empirisch) und Mathematik (abstrakt logisch). Darauf zu balancieren ist recht interessant aber ist die Grenze immer leicht zu ziehen?

Danke jedenfalls für Deinen Einwand. Den habe ich (im positiven Sinne) sogar erwartet. :)

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Schwarzschildradius 21 Apr 2019 20:12 #51215

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Ich habe meine Sicht auf die Dinge mittlerweise ein bißchen geändert.

Meine Überlegungen basierten darauf, dass Schwarzschild einerseits ausdrücklich davon sprach, dass die Metrik aufgrund von Stetigkeitsbedingungen
nur direkt an der Massensingulariät divergieren kann, ansonsten überall stetig sein muss, was sich ja mit der Vorstellung eines Horizonts, der räumlich
von der Massen-Singularität getrennt ist, nicht verträgt, und anderseits auch darauf, dass er bei seinen Ableitung eine Koordinatentransformation gemacht hat:
mit r² = x² + y² + z². R³ = r³ + a³
(@Yukterez: wenn man eine Koordinatentransformation durchführt, so dass im Linienelement dr durch dR ersetzt wird,
dann ist R nicht nur eine Hilfsgröße sondern eine neue Koordinate)

Das ist soweit auch nicht falsch, was ich aber nicht hinreichend beachtet habe, ist, dass die ART ein kovarianter Formalismus ist.
Insofern sind sowieso nur Skalare, deren Werte von der Wahl der Koordinaten unabhängig sind, physikalisch relevant. Um richtig zu
rechnen muss man noch nicht mal unbedingt wissen wie die Koordinaten ursprünglich definiert wurden. Insofern ist es unerheblich ob,
die Koordinaten, die in der Schwarzschild-Metrik vorkommen, gewöhnliche Kugelkoordinaten oder modifizierte Kugelkoordinaten sind.
Insofern könnte man auch sagen, dass alles was bisher gesagt wurde, physikalisch irrelevant ist.
(Kein Wunder, dass mich keiner versteht).

Wenn man aber eine anschauliche Vorstellung von den Dingen entwickeln will, dann kommt man aber nicht darum herum auch Größen zu interpretieren
die keine Skalare sind, und in diesem Fall ist mehr oder weniger alles von der Wahl der Koordinaten abhängig.

Ich denke, dass ist es bezüglich der Schwarzschildmetrik zwei mögliche Sichtweisen gibt, die im Hinblick auf Messgrößen aber gleich sind:

1. Man interpretiert die Koordinaten der Schwarzschild-Metrik als modifizierte Kugelkoordinaten (R³ = r³ + a³). In diesem Fall definiert die
Gleichung R=a dieselbe Hyperfläche wie die Gleichung r=0, das heißt, dass das "Loch" inklusive Ereignishorizont punktförmig ist.
Was aber nicht heißt, dass es Beobachtern punktförmig erscheint. Um die scheinbare Größe zu berechnen, müsste man im Zweifelsfall
Lichtbahnen berechnen, was aber völlig unabhängig von irgendwelchen Interpretationen ist.

2. Man interpretiert die Koordinaten der Schwarzschild-Metrik als gewöhnliche Kugelkoordinaten (R² = x² + y² + z²). Dann beschreibt
die Gleichung R=a die Oberfläche einer Kugel mit Koordinatenradius a. Allerdings ist diese Fläche dann immer noch die Grenzfläche
zwischen Materie und Vakuum. Das heißt, die Schwarzschildmetrik beschreibt den Außenbereich einer (eingefrorenen) Hohlkugel, die die selbe Masse hat, wie
die Punktmasse unter 1. Die Metrik ist aber auch hier nur für R>a definiert.

Es ist jetzt aber so, dass die Metrik in beiden Fällen die gleiche Form hat. Das muss man wohl so interpretieren, dass Astronomen gar nicht
feststellen könnten, ob sie eine Massensingularität oder eingefrorene Hohlkugel beobachten. Insofern ist es letztlich eine reine
Geschmacksfrage ob man "schwarze Löcher" als Massenpunkte oder als Hohlkugeln beschreibt, zumindest solange die Verhältnisse statisch
sind.

Allerdings ist es nicht möglich diese Sichtweisen zu vermischen. Wenn man ausdrücklich von einem Massenpunkt ausgeht, und die
Koordinaten in der Schwarzschildmetrik dann trotzdem als gewöhnliche Kugelkoordinaten interpretiert, bekommt man ein Szenario, in dem die
RR-Komponente des metrischen Tensors bei R=a divergiert, obwohl die nächste Unstetigkeit der Massenverteilung weit weg ist.
Und es kann mir keiner erzählen, dass diese Metrik den Einstein'schen Feldgleichung genügt, die ja ein System von Partiellen
Differential-Gleichungen sind. Da gehe ich konform mit Schwarzschild: wenn die Metrik irgendwo unstetig sein kann, dann nur
dort wo die "Quelle" des Feldes "extrem" ist.

Spruch:

Die Antwort ist 42 - wenn Du die dazugehörige Frage finden willst,
musst Du nach der Definition der verwendeten Koordinaten suchen,
es sei denn "42" wäre ein Skalar - das nennt man Relativität.

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Schwarzschildradius 21 Apr 2019 20:47 #51217

Ein paar Zeilen weiter unten schreibt Schwarzschild doch:

Die strenge Lösung lehrt, daß in Wirklichkeit bei der Fortsetzung der Näherungen die Unstetigkeit nicht im Nullpunkt, sondern an der Stelle r=³(α³-ρ) liegt ...
Man müßte bei der Annäherung nach Potenzen von α und ρ das Gesetz der Koeffizienten schon sehr gut überblicken, um die Notwendigkeit dieser Bindung zwischen α und ρ zu erkennen.


Sieht so aus, als ob das in dieser Arbeit nicht die endgültige Lösung war. Soweit ich sehe, wollte Schwarzschild die Unstetigkeit ins Zentrum verlagern.

bro schrieb: Skriptum_siehe-seite_107

Da sehe ich eine Ungenauigkeit auf Seite 116:
Der Gravitationsradius rG=M und rs=2M ist nicht dasselbe, wie es dort dargestellt wird.

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Schwarzschildradius 21 Apr 2019 22:20 #51222

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Schwarzschild schrieb:

Die strenge Lösung lehrt, daß in Wirklichkeit bei der Fortsetzung der Näherungen die Unstetigkeit nicht im Nullpunkt, sondern an der Stelle
r = ( α 3 − ρ ) eintritt, und daß man gerade
ρ = α ³ setzen muß, damit die Unstetigkeit in den Nullpunkt rückt
.


Damit sagt er, dass Einsteins Näherungen zu einem falschen Ergebnis führen, weil die Unstetigkeit nämlich in Wirklichkeit im Nullpunkt liegt.
Und genau das drückt seine Formel 14 aus!

Er wollte die Unstetigkeit nicht verschieben. Er hat es getan!

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Schwarzschildradius 21 Apr 2019 22:30 #51223

Das Problem ist, dass in Eigenlängen r gerechnet wurde, das ist nicht so ganz einfach. R ist aber der Koordinatenradius. (Schwarzschilds Arbeit)

Siehe das Skript Braunschweig Seite 117 ... in der üblichen Ausdrucksweise "keine unmittelbare physikalische Bedeutung"

insbesondere r,t haben keine unmittelbare physikalische Bedeutung
t wird Koordinatenzeit genannt im Unterschied zur Eigenzeit τ eines im Gravitationsfeld...
r ist radiale Koordinate aber nicht der Radius; r = const ist Oberfläche einer Kugel mit dem Wert 4πr² ...

Wenn man überlegt, was dort passiert, ist Schwarzschilds r wichtig, wenn man es nur von außen betrachtet, ist r richtig (Schwarzschilds R).

Für mich ist das die ausschlaggebende physikalische Bedeutung. Ich habe nämlich nicht vor, es mir aus der Nähe anzusehen. Das Schöne ist, dass sich alle über den Umfang 2πr einig sind bzw die Oberfläche 4πr².

Bei anderen Autoren (zB Boyer-Lindquist) ist das noch komplizierter.

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Schwarzschildradius 24 Apr 2019 00:27 #51303

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Ich bin ja durchaus dankbar, dass es Leute gibt, die mir helfen wollen die Dinge zu verstehen.
Aber so wie's aussieht bin ich ein hoffnungsloser Fall. Die Aussage Schwarzschilds, dass die
Unstetigkeit der Metrik nur an der Massensingularität liegen kann, läßt mir keine Ruhe.
Denn ich sehe weit und breit keine Möglichkeit sein Stetigkeitsargument zu entkräften.
Dass die Metrik aber nur an der Singularität divergiert und ansonsten stetig differenzierbar ist,
passt nicht so recht zur üblichen Darstellung der Schwarzschild-Lösung, obwohl
man auch heute ganz offiziell der Ansicht ist, dass die "Koordinatensingularitäten" bei r!=0, nicht wirklich
wirklich sind (nach Finkelstein, Yukterez hat da was erwähnt).
Irgendwo ist da der Wurm drin.

Anhand einer kleinen Analogie will ich mal erläutern, wie ich die "Logik" des schwarzen Lochs sehe:

Nehmen wir mal einen 3-dimensionalen euklidischen Raum, mit Kugelkoordinaten (r, φ, θ), r² = x² + y² + z²>=0.
Bei r=0 soll sich ein gelber Punkt befinden. Dann führen wir eine neue Koordinate R = r + 666 ein.
Dann haben wir den Fall, dass sich bei R<666 irgendwie nichts befindet. Damit haben wir gezeigt, dass
gelbe Punkte schwarze Löcher mit einem Ereignishorizont bei R=666 erzeugen. Naja, vielleicht war der
Schluss doch etwas voreilig, also schauen wir noch mal genauer hin, und fragen, wie man die Position
des gelben Punktes durch die neuen Koordinaten darstellen kann, R=0 ist natürlich völlig falsch, weil
ja R per Definition immer größer als 666 sein muss. Aber R=666, ist auch nicht ganz richtig, da
die Gleichung R=666 ja eine ganze Kugeloberfläche repräsentiert, und nicht nur einen Punkt.
Wenn man aber die Winkel festlegt, dann bricht man die Symmetrie, was auch keine gute Idee ist.
Also muss man sagen, dass die Koordinatentransformation nur für r>0, aber nicht für r=0 gültig ist,
was aber heißt, dass wir die Position des gelben Punktes in den neuen Koordinaten gar nicht darstellen können,
was äußerst ungünstig ist, wenn man die Gegebenheiten durch R-Koordinaten beschreibt, und dann den Abstand des Ereignishorizonts
zum gelben Punktes ermitteln will. Allerdings ist es so, dass eine infinitesimale Kugel mir Radius ε um den gelben Punkt,
in neuen Koordinaten durch R=666+ε dargestellt wird, so dass man sagen kann, dass der Ereignishorizont
bei R=666 faktisch die Oberfläche des gelben Punktes ist, was bedeutet, dass es zwischen dem
gelben Punkt und dem Horizont überhaupt keinen Raum gibt. Es ist nur so, dass es im Raum keine Punkte gibt,
denen R-Koordinaten mit R<666 zugeordnet sind, das heißt es gibt ein "Koordinatenloch", aber kein Loch
im Raum. Gelbe Punkte sind also eher gutartige Objekte, und das ominöse Loch ist nur ein Artefakt einer
diabolischen Koordinatentransformation mit einem bösen Offset.

Transfer:
gelb -> Masse
"666" -> Schwarzschildradius a
R=r+666 -> R³ = r³ + a³ (Transformation, in Schwarzschilds Publikation)

Heutzutage wird die Schwarzschild-Formel R³ = r³ + a³ wohl nicht mehr verwendet, stattdessen werden
Koordinatentransformationen gerne durch abstrakte Gleichungen definiert, was aber nicht bedeutet, dass
sie von Schwarzschilds Transformation verschieden sind.

ra-raisch schrieb:
Das Problem ist, dass in Eigenlängen r gerechnet wurde, das ist nicht so ganz einfach. R ist aber der Koordinatenradius. (Schwarzschilds Arbeit)

Bei Schwarzschild werden die Koordinaten so definiert::
r² = x² + y² + z². R³ = r³ + a³, Linienelement wird dann in Abhängigkeit von R, dR angeben.

ra-raisch schrieb:
r ist radiale Koordinate aber nicht der Radius;


Hipphipphurra, das ist ein guter Punkt, wenn k² =x²+y²+z² ist, und die Position der Massensingularität durch x=y=z=0 gegeben ist,
wie ist dann der Zusammenhang zwischen r und k? Vielleicht r³ = k³ + a³?

ra-raisch schrieb:
Für mich ist das die ausschlaggebende physikalische Bedeutung. Ich habe nämlich nicht vor, es mir aus der Nähe anzusehen.


Vernünftige Ansicht. Aber, wenn es Unklarheiten gibt, wie denn die Lösungen der Einsteinschen Gleichungen aussehen, wie kann man dann entscheiden,
was physikalisch bedeutsam ist, und was nicht? Und dann gibt es ja viele Leute, die sich fragen was zwischen Singularität und
Horizont passiert. Auch Herr Gaßner hat sich schon dazu in einem Video geäußert, und spekuliert, dass Radialkomponente und Zeit
die Rollen tauschen könnten. Aber was dort passiert, muss durch Einsteins Feldgleichungen eindeutig bestimmt sein, also warum
spekulieren? Die eindeutige Antwort Schwarzschilds lautet: Zwischen Ereignishorizont und Massenpunkt gibt es gar keinen Raum, in dem
irgendetwas passieren könnte. Wieso sieht man das heute anders?

ra-raisch schrieb:
Das Schöne ist, dass sich alle über den Umfang 2πr einig sind bzw die Oberfläche 4πr².


Da schließe ich mich gerne an, aber wenn der Raum gekrümmt ist, sagt der Umfang nichts über den Durchmesser aus. Wenn man
von einer Massensingularität mit kartesischem Durchmesser Null aus geht, dann hätte meiner Meinung nach auch der
Ereignishorizont den kartesischen Durchmesser Null. Bei divergenter Metrik liegt dann der "physikalische Durchmesser der
Singularität" irgendwo zwischen Null und unendlich:-)

Merilix schrieb:
So wie ich das verstehe gibt es einfach keine Transformation (=Projektion?) die das was sich Innerhalb des rs abspielt in unser gewohntes euklidisches Koordinatensystem abbilden kann.


Das ist fast richtig. Die Projektion existiert deshalb nicht, weil die Menge der Punkte auf der Einsteinmanigfalt innerhalb des Ereignishorizonts nur einen einzigen Punkt enthält, nämlich den, an dem die Masse sitzt. Der Horizont ist gleich daneben bei ε -> 0.

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Schwarzschildradius 24 Apr 2019 01:22 #51304

@bro
Bitte fasse deine Antworten in einen Beitrag zusammen.
Selbst bei Antworten an mehrere Nutzer oder bei einem Nachtrag (via "Bearbeiten"-Button) macht dies Sinn.
Unser Forum soll sauber und übersichtlich bleiben.
Danke.

Was zum lachen:
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Schwarzschildradius 24 Apr 2019 03:06 #51305

@bro
Wieso sollte R in deinem Analogon nicht auch kleiner als 666 sein können?
Bei r=666 ist R=0 oder nicht? Und bei r=333 wäre R=-333 oder sehe ich da was falsch?

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Schwarzschildradius 24 Apr 2019 03:19 #51306

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Merilix schrieb:
Wieso sollte R in deinem Analogon nicht auch kleiner als 666 sein können?


R:= r + 666;

=> r = R - 666:

Wenn R kleiner als 666 sein soll, dann müsste r negativ sein, aber r ist als kartesischer Abstand(Pythagoras) definiert,
und somit notwendigerweise >=0 => R>=666

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Schwarzschildradius 24 Apr 2019 09:22 #51308

bro schrieb:

Merilix schrieb:
Wieso sollte R in deinem Analogon nicht auch kleiner als 666 sein können?


R:= r + 666;

=> r = R - 666:

Wenn R kleiner als 666 sein soll, dann müsste r negativ sein, aber r ist als kartesischer Abstand(Pythagoras) definiert,
und somit notwendigerweise >=0 => R>=666

Du hast recht, der Definitionsbereich für R beginnt bei 666. r ist der kartesischer Abstand aber nicht R. Dafür müsste man schon \(\sqrt{R^2-1332R+443556}+666 \) einsetzen. Doch was bringt das eigentlich? R<666 ist noch nichtmal ein Koordinatenloch, das ist garnichts, nicht definiert.

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Schwarzschildradius 24 Apr 2019 11:38 #51312

bro schrieb: Vernünftige Ansicht. Aber, wenn es Unklarheiten gibt, wie denn die Lösungen der Einsteinschen Gleichungen aussehen, wie kann man dann entscheiden,
was physikalisch bedeutsam ist, und was nicht?

Da ist nichts unklar, man kann es nur unterschiedlich parametrisieren. Was physikalisch bedeutsam ist, kommt auf den Beobachter an. Wie bei SRT ist die Lorentzkontraktion und die Uhrendesynchronisation etc für das Objekt belanglos (es gibt weder Druck noch Spannung) nicht aber für den Beobachter.

Bei ART spricht man von physikalischen Größen, wenn es sich zB um die Eigenlänge oder Eigenzeit handelt und nicht um die aus Sicht eines Beobachters verzerrten Längen etc.

Beim Radius haben wir nun den Umfangradius r=U/2π=d/2, über den sich alle einig sind, und den physikalischen Radius R, den niemand direkt sehen kann, er ergibt sich erst auf dem Weg. Jeder Beobachter stellt hingegen von seinem Standpunkt aus einen subjektiven verzerrten (radialen) Radius ρ=r/²(1-rs/r) fest. Von sehr weit weg ergibt sich ρ=r, daher wird r auch Koordinatenradius genannt. r ist auch allein maßgeblich, was die Gravitationswirkung etc betrifft, denn der physikalische Abstand ist dafür nicht maßgeblich sondern allein die Kugeloberfläche (Feldliniendichte). Das ist in meinen Augen eine physikalisch für alle Beobachter überragend wichtige Information.

disclaimer: Schwarzschild hat die Parameterzeichen anders belegt.

Der physikalische Radius ist beim SL deshalb interessant, weil die Singularität bei rs wegfällt. Es handelt sich um eine "Koordinatensingularität" als Folge der jeweiligen Parametrisierung. Für uns r→∞ bleibt r→rs (daher) eine Singularität: τ.(r)=²(1-rs/r)t→0 und ρ.(r)=r/²(1-rs/r)→∞


Muss ich Deine Beispielrechnung durchkauen? (noch nicht gelesen)

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Schwarzschildradius 24 Apr 2019 23:43 #51324

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@ra-raisch

ra-raisch schrieb:
Muss ich Deine Beispielrechnung durchkauen? (noch nicht gelesen)


Ist mehr eine Metapher als eine Rechnung, der algbraische Aspekt würde Dich ganz bestimmt nicht überfordern;-)

ra-raisch schrieb:
disclaimer: Schwarzschild hat die Parameterzeichen anders belegt.


Ich weiß nicht was Du meinst, in §3. wird das kleine r als kartesischer Abstand nach Pythagoras definiert,
R³ = r³ + a³, steht in Formel 14. (das heiß bei Schwarzschild steht da die dritte Wurzel, ich hab's nur hoch drei genommen)

Desweiteren habe ich den Eindruck, dass wir nach wie vor aneinander vorbei reden.
Ich bin mir natürlich bewusst, dass Koordinatenmaße und physikalische Maße verschieden sind.
Ich bin mir auch bewusst, dass verschiedene Beobachter verschiedene Messwerte erhalten.
Und wenn die Masseverteilung, die Metrik, und Positionen der Beobachter in einheitlichen
Koordinaten gegeben sind, dann kann zumindest im Prinzip einfach alles ausrechnen, das ist keine Frage,
darüber muss man nicht diskutieren.

Das Problem ist, dass es zwischen dem, was Schwarzschild sagt und dem, das heutzutage gesagt wird, eine Diskrepanz gibt.
Wenn man davon ausgeht, dass die Einstein'schen Feldgleichungen für den Massenpunkt eine eindeutige Lösung haben, dürfte es aber
keine Diskrepanz geben.

Aber im Zweifelsfall könnte man ja zu einer Entscheidung kommen, in dem man Metriken einfach zur Probe in die Einstein'schen
Gleichungen einsetzt.

Die übliche Ansicht ist, dass die sogenannte Schwarzschildmetrik für einen Punkt im Koordinatenursprung in einem gewissen Abstand a
vom Massenpunkt divergiert. Willst Du mir allen ernstes erzählen, dass das Ding die Feldgleichungen erfüllt?

Wenn man das in die Feldgleichungen einsetzt, dann hat man auf der linken Seite bei a divergente Funktionen bzw. noch schlimmer
Ableitungen von divergenten Funktionen, und auf der rechten Seite ist der Energie-Tensor Null, also Probe nicht bestanden.
Im Koordinatenursprung aber hat man auf rechten Seite eine Delta-Distribution für die Massendichte, damit die Gleichungen hier
erfüllt werden, müsste man auf der linken Seite Ableitungen von divergierenden Funktionen haben, aber die radiale
Komponente divergiert dort eigenartigerweise nicht.


Jetzt nehmen wir mal Schwarzschilds Position, der sagte, dass die Metrik nur an der Singularität unstetig sein kann und dafür eine
neue diabolische Koordinate R eingeführt hat, die durch R³ = r³ + a³ (GL1) definiert ist. Sein Linienelement drückt er durch (R,dR), und nicht durch (r, dr)
aus. Bei ihm hat die Metrik hat zwar die gleiche Form, aber die radiale Koordinate ist anders. Seine Metrik divergiert auch bei R=a,
transformiert man aber Linienelement zurück, so dass es wieder durch (r,dr) ausgedrückt wird,
dann sieht man an (GL1) dass die Divergenz bei r=0 liegt. Die Kugel r=a, wo Ihr eine Koordinaten-Singularität vermutet, liegt bei Schwarzschild
bei R³ = 2* a³, aber dort ist die Metrik stetig differenzierbar. Setzt man das in die Feldgleichungen ein, dann kann ich schon glauben, dass
die Probe aufgeht.

@Merilix:

Merilix schrieb:
Doch was bringt das eigentlich? R<666 ist noch nichtmal ein Koordinatenloch, das ist garnichts, nicht definiert.


R=666 entspricht der Stelle (im Raum der R-Koordinaten), an der die Scharzschild-Metrik divergiert, und an der sich
der Ereignishorizont befindet. Und da taucht immer wieder die Frage auf, was denn innerhalb des Horizonts ( R<666 )
los ist. Dazu ist zu sagen, dass Du die richtige Antwort gefunden hast: "da ist gar nichts", noch nicht mal Raum,
und auch nichts, das man als Loch bezeichnen könnte!
Denn es ist so, dass die Schwarzschildschild-Metrik im allgemeinen in diabolische Koordinaten mit einem bösen Offset
dargestellt wird, so dass die Frage, was sich innerhalb der Ereignishorizonts befindet, schon aus algebraischen Gründen
unsinnig ist. Die falsche Ansicht, dass sich zwischen Massenpunkt und Ereignishorizont Raum gäbe, in dem sich Materie
bewegen könnte, ist überhaupt erst dadurch entstanden, dass manche/viele Leute sich nicht bewusst waren/sind, dass Schwarzschild
seine Lösung der Einstein'schen Feldgleichungen für den Massenpunkt in diabolischen Koordinaten angegeben hat. Ich vermute
mal, dass die meisten glauben Schwarzschilds diabolisches R sei ein kartesischer Abstand, aber das ist nicht richtig (R³=r³+a³).
Wenn man Schwarzschilds Arbeit genau studiert, erkennt man dass die "Oberfläche" der Singularität gleichzeitig der
Ereignishorizont ist. Und was befindet sich zwischen zwei -nicht nur gleichen- sondern identischen Flächen?
Genau, noch nicht mal Raum, einfach gar nichts; das hast Du völlig richtig erkannt. Der kartesische Durchmesser
des Ereignishorizonts ist somit genauso groß, wie der, der Singularität, nämlich Null. Aber da die Raumkrümmung an der
Singularität unendlich ist, ist das nicht von großer Bedeutung. Das ganze Gebilde hat einen Umfang von 2πa, und eine
Oberfläche von 4πa². Und ich habe keinen Anlass anzunehmen, dass sich Materie in der Nähe des Gebildes anders verhält als es
üblicherweise dargestellt wird. Aber die Behauptung, dass der Ereignishorizont irgendeinen Abstand zur Singularität
hat, ist einfach falsch. Sondern es ist eher so, dass eine supermassive Singularität an sich auf Grund der extremen
Raumkrümmung relativ groß und schwarz erscheint.

Mein Problem besteht letztlich darin, dass einerseits Schwarzschild das Thema eigentlich
schon vor 100 Jahren vollständig erschlagen hat, so dass es keinerlei Spielraum für irgendeine SL-Mystik gibt, und andererseits
viel Zeug gesagt wird, das nicht mit der ursprünglichen Schwarzschild-Lösung verträglich ist. Schon allein die "Beweise", dass
die Koordinaten-Singularitäten am "Schwarzschildradius" keine echten Singularitäten sind, sind ein Witz, weil es nämlich
in der Schwarzschild-Lösung am "Schwarzschildradius" überhaupt keine Singularitäten gibt; bei Schwarzschild ist R=a das selbe wie r=0,
und er hat ganz ausdrücklich gesagt, dass die Metrik nur bei r=0 unstetig sein kann, und er hat ganz ausdrücklich
sein Integrationskonstanten entsprechend gewählt. Die großen "Genies" kommen einfach nicht mit Schwarzschilds diabolischen Koordinaten klar.


PS:
Ich wollte eigentlch kein Romanschreiber werden, und
Ich verstehe absolut nicht, warum man glaubt, an Schwarzschilds Arbeit sei etwas fehlerhaft, hat der Euch was getan?

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Schwarzschildradius 25 Apr 2019 00:44 #51327

bro schrieb: Ist mehr eine Metapher als eine Rechnung, der algbraische Aspekt würde Dich ganz bestimmt nicht überfordern;-)

Was mich überfordert, ist die Zeilenzahl

bro schrieb: Ich weiß nicht was Du meinst, in §3. wird das kleine r als kartesischer Abstand nach Pythagoras definiert,
R³ = r³ + a³, steht in Formel 14.

Ja schon, aber welches x und welches y und welches z. Offensichtlich sind das physikalische Maßeinheiten und keine Koordinatenmaße.

bro schrieb: darüber muss man nicht diskutieren.

Das Problem ist, dass es zwischen dem, was Schwarzschild sagt und dem, das heutzutage gesagt wird, eine Diskrepanz gibt.

Nein, es sind nur unterschiedliche Ansätze, wir verwenden heute Koordinatenmaße und Schwarzschild tat das zwar auch, aber er sah das als unphysikalisch an.
R³ = r³ + a³
R ist unser r der Koordinatenradius. Sein r ist unser R der physikalische Radius.

bro schrieb: Die übliche Ansicht ist, dass die sogenannte Schwarzschildmetrik für einen Punkt im Koordinatenursprung in einem gewissen Abstand a
vom Massenpunkt divergiert. Willst Du mir allen ernstes erzählen, dass das Ding die Feldgleichungen erfüllt?

Schwarzschild rechnet es doch selber mit R vor! Er hält seinen Koordinatenradius R nur für "unphysikalisch".

bro schrieb: Wenn man das in die Feldgleichungen einsetzt, dann hat man auf der linken Seite bei a divergente Funktionen bzw. noch schlimmer

Tut mir leid, ich rechne immer nur mit den fertigen einfachen Formeln. Tensorrechnung ist mir über. Ich bin schon froh, wenn ich normale Ableitungen richtig hinbekomme. Aber die Metrik bildet den Krümmungstensor Riemann, daraus wird der Riccitensor und daraus der Ricciskalar, das wird im Vakuum Null, egal wie die Krümmung durch das SL ist, das steht nur im Riemanntensor und der kommt in der Feldgleichung nicht vor.

bro schrieb: Jetzt nehmen wir mal Schwarzschilds Position, der sagte, dass die Metrik nur an der Singularität unstetig sein kann und dafür eine
neue diabolische Koordinate R eingeführt hat, die durch R³ = r³ + a³ (GL1) definiert ist. Sein Linienelement drückt er durch (R,dR), und nicht durch (r, dr)
aus. Bei ihm hat die Metrik hat zwar die gleiche Form, aber die radiale Koordinate ist anders. Seine Metrik divergiert auch bei R=a,
transformiert man aber Linienelement zurück, so dass es wieder durch (r,dr) ausgedrückt wird,
dann sieht man an (GL1) dass die Divergenz bei r=0 liegt. Die Kugel r=a, wo Ihr eine Koordinaten-Singularität vermutet, liegt bei Schwarzschild
bei R³ = 2* a³, aber dort ist die Metrik stetig differenzierbar. Setzt man das in die Feldgleichungen ein, dann kann ich schon glauben, dass
die Probe aufgeht.

Wie ich sagte, sein R ist der Koordinatenradius mit Unstetigkeit bei R=rs und sein r ist der physikalische Radius ohne das Problem bei r=rs. Wir rechnen aber schulbuchmäßig lieber mit dem Koordinatentradius und nennen ihn r und nehmen die Unstetigkeit bei rs in Kauf. Wenn du es verstehst, wie Du sagst, warum verstehst Du es dann nicht, wie Du sagst? Wir reden nicht aneinander vorbei, sondern Du redest an Dir selber vorbei.

Hm....es kommt Dir wohl merkwürdig vor, dass etwas aus einer Sichtweise stetig und aus einer anderen unstetig sein kann. Das liegt aber eben an der Sichtweise, jedenfalls solange es sich nur um eine Koordinatensingularität handelt. Wir blicken auf rs und an dieser Stelle geht die Metrik senkrecht nach unten, bodenlos ... wenn aber jemand an Ort und Stelle ist, merkt er, dass es nur ein infinitesimales Stück nach unten geht, kaum bemerkbar, kein Problem....vor allem wenn es einem horizontal vorkommt, etwa so wie die Australier ja auch nur aus unserer Perspektive down under herumhängen, und am Ostpol keiner von der Scheibe herunterfallen kann. Ganz passen diese Vergleiche zwar nicht ...

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Schwarzschildradius 25 Apr 2019 15:51 #51340

in einem schwarzen loch können doch eigentlich keine Photonen emitiert werden, weil Photonen nur entstehen, wenn sie einen so genannten Quantensprung der Elektronen ablsovieren. Da in einem SL die Elektronen quasi in den Atomkern hereingepresst werden, wie soll da ein Teilchen Photon entstehen?

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Schwarzschildradius 25 Apr 2019 16:14 #51341

Diethard schrieb: Da in einem SL die Elektronen quasi in den Atomkern hereingepresst werden...

Das ist nur bei kleinen schwarzen Löchern und von außen betrachtet der Fall, bei großen ist die durchschnittliche Dichte gering. Aber auch bei kleinen schwarzen Löchern befindet sich die Masse im System den Hineinfallenden vor ihm, der kann also durchaus seine Laterne einschalten.

An die Geschichte von Alice & Bob erinnernd,

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Schwarzschildradius 25 Apr 2019 22:15 #51353

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@ra-raisch

Das, was Du über die von Schwarzschild verwendeten Koordinaten sagst, ist nicht richtig:

K.S. geht von kartesichen Koordinaten x,y,z aus. Wichtig sind die vorallem, weil
durch diese die Position des Massenpunktes festgelgt wird: x=y=z=0.

Dann werden Kugelkoordinaten (r, φ, θ), mit r² = x² + y² + z² eingeführt, so dass
r ein kartesischer Koordinatenabstand von Massenpunkt ist, der r-Koordinate des Massenpunkts ist dann Null.

Dann führt K.S. eine neue Radialkoordinate R ein, die durch R³ = r³ + a³ definiert ist,
diese ist aber weder ein kartesischer Abstand noch ein physikalischer Abstand, sondern
eine "formale" Koordinate ohne irgendeine anschauliche Bedeutung. Die verwendet K.S.
nur deshalb, weil sein Linienelement eine besonders schöne Form hat, wenn es auf
R-Koordinaten transformiert wird.

Der physikalische Radius, den ich hier als rp bezeichnen will, ergibt sich dann als Integral
über das Linienelement, dabei ist aber zu beachten, dass R per Definition immer größer a sein muss.
Das heißt, der Startpunkt der Integration liegt dann irgendwo auf der Kugeloberfläche, die durch R=a
gegeben ist, aber dass dem so ist, hat nichts mit Physik oder "schwarzen Löchern" zu tun,
sondern liegt nur an der formalen Definition von R durch R³ = r³ + a³.

Quizfrage: Welchen Wert hat R für den Massenpunkt? R=0? Ganz bestimmt nicht.

Du behauptest, dass r ein physikalischer Radius wäre, also r = rp ist.
Wenn beim Integral über das Linienelement, das in Abgängigkeit von R gegeben ist,
r herauskäme, wäre das schon ein extremes Wunder.
Darüber hinaus ist R auch kein kartesischer Koordinatenradius.

ra-raisch schrieb:
Schwarzschild rechnet es doch selber mit R vor! Er hält seinen Koordinatenradius R nur für "unphysikalisch".


Das ist auch nicht richtig. Könnest Du die Stelle in Schwarzschilds Werk angeben, die Du so interpretierst.

ra-raisch schrieb:
Wenn du es verstehst, wie Du sagst, warum verstehst Du es dann nicht, wie Du sagst? Wir reden nicht aneinander vorbei,
sondern Du redest an Dir selber vorbei.


Ich bilde mir ein, dass ich Schwarzschilds Werk verstehe, aber ich habe noch keine Möglichkeit gesehen, wie man das,
mit der heutzutage üblichen Darstellung in Einklang bringen könnte. Und glaube eigentlich auch nicht, dass man es in Einklang
bringen kann, aber es gibt natürlich auch noch die Möglichkeit, dass ich mich irre.
Deine "Argumente" gehen aber immer an meiner Sichtweise vorbei.

Nach Schwarzschild liegt die Divergenz der Metrik dort wo der Massenpunkt liegt (muss wegen Stetigkeit so sein, sagt K.S.),
formal liegt das dann an R³ = r³ + a³, und das führt dann auch dazu, dass sich der Ereignishorizont direkt an der "Oberfläche" des Massenpunktes befindet.

Heute wird gesagt, dass es eine Koordinatensingularität in einem gewissen Abstand vom Massenpunkt gäbe, und
der Ereignishorizont auch einen Abstand zum Massenpunkt hat.

Das passt doch nicht zusammen. Und wenn zwei "Objekte", hier Massenpunkt und Divergenz der Metrik, sich an
der selben Stelle im Raum befinden, dann können sie auch durch Koordinatentransformationen nicht getrennt
werden, und es kann dann auch nicht sein, dass verschiedene Beobachter das verschiedenen sehen.

Dass es eine räumliche Trennung von Massenpunkt und Ereignishorizont gibt, wäre dann richtig, wenn
die Metrik bei R=a divergiert, und sich der Massenpunkt bei R=0 befände. Aber wegen der Definition von R,
ist natürlich R immer größer a; es gibt keine Punkte im Raum, denen eine R-Koordinate kleiner a zugeordnet ist.
Die Position des Massenpunktes ist durch R-Koordinaten gar nicht darstellbar, deshalb habe ich die
Koordinatentransformation r->R diabolisch genannt (hast vermutlich nicht gelesen, wenn's dich noch interessiert nach 666 suchen).
Somit habe ich den Verdacht, dass die Diskrepanz dadurch zustande kommt, dass man Schwarzschilds diabolische Koordinatentransformation
"übersehen" hat.

PS:
Wenn man Schwarzschilds R als kartesischen Koordinatenradius interpretiert, dann beschreibt sein Linienelement wohl die Metrik,
einer schwarzen Hohlkugel mit Koordinatenradius a. Insofern sind Massenpunkt und schwarze Hohlkugel sehr sehr ähnlich,
aber topologisch eben doch verschieden. Und bei einer schwarzen Hohlkugel liegt der Ereignishorizont auch an der
Grenzfläche zwischen Materie und Vakuum. Vielleicht kommt die Diskrepanz aufgrund dieser Ähnlichkeit zustande.

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