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THEMA: Schwarzschildradius

Schwarzschildradius 04 Mai 2019 08:44 #51563

bro schrieb: Irgendwie habe ich jetzt aber den Verdacht, dass das Problem noch viel tiefgreifender ist.
Denn der Einsteintensor für die Schwarzschildmetrik scheint identisch gleich Null zu sein, insbesondere auch bei R=0.
Und das würde ja bedeuten, dass diese Metrik gar nicht zu einer Massen-Singularität gehört, sondern zu einem Kugel-symmetrischen
Universum, das ganz ohne Materie auskommt. Insofern frage ich mich, ob es im Rahmen der ART überhaupt singuläre Energiedichten geben
darf.

Die Metrik beschreibt den leeren Raum unter der Wirkung einer Punktmasse (-Energie) oder eines sphärischen oder kugelförmigen orbital homogenen Körpers (Energieansammlung). Sie gilt nicht innerhalb eines Körpers. Sie geht von einem Körper mit der Oberfläche R < r aus. Sie gilt auch nicht an dem Punkt der Punktmasse (als Grenzfall ist sie zwar hier auch gültig). Es gibt innere Lösungen zB für die Hohlkugel oder die homogene Kugel. Welche Massenverteilung vorliegt, kann man nicht aus einer allgemeinen Weltformel ablesen, sondern je nach Situation muss man die passende Formel benützen, wenn man nicht jeden Punkt selber aufintegrieren will.

Die einzige generelle Formel wäre σ = ²(1+2Φ/c²) und gilt in jeder Masseverteilung, wie man schon am Fehlen eines Abstandsparameters zu einem ominösen Zentrum sehen kann. Die Berechnung des lokalen Potentials Φ ergibt sich natürlich aus der Summe der Massen Φ=Σ(-G·mi·ri¹/ri²). Allerdings ist die Entfernung r (womöglich auch die Richtung r¹?) in dieser allgemeinen Form dann nicht mehr einfach definiert, da die Metrik ja den Raum krümmt. Und in einer inhomogenen Masseverteilung wird selbst die Umfangsbestimmung (eigentlich die Oberfläche) bezogen auf einen Massepunkt schwierig. Auch mi darf hier nicht mit der Ruhemasse verwechselt werden sondern gemeint ist die gefühlte (gravitativ wirksame) Masse (Gesamtenergie inkl Potentieller sowie relativer Kinetischer Energie).

Der Faktor σ ist dann anwendbar für E=c²σ·m und t=τ/σ. Für die Richtung der Längenkontrakton ist das Gravitationsfeld g¹=∇¹Φ bzw einfach ∇¹ maßgeblich, und dies kann für den Beobachter und den Beobachteten in unterschiedliche Richtungen weisen. Entzerrung (Beobachteter) r=L·σA und Verzerrung (Beobachter) ℓ=r/σB sind dann also in unterschiedlichen Richtungen zu berücksichtigen, mal sehen wie die Formel dafür lauten müßte (achja ziemlich kompliziert: Produkt zweier Tensoren jeweils ein dyadisches Produkt enthaltend.) .......
und ganz klar ist mir das auch noch nicht, bei einem Sattelpunkt (Lagrangepunkt) wäre ja ∇=0, trotz Φ<0 also keine Längenkontraktion? Gleiche Frage in einer Hohlkugel, auch dort gilt ∇=0, alle Punkte sind dort gleichberechtigt, es gibt gravitativ keine radial ausgezeichnete Richtung.


Die innere Lösung der homogenen Vollkugel lautet:
d.s² = -c²d.τ² = -(²(1-R²/Ri²)3-²(1-r²/Ri²))²c²d.t²/4+d.r²/(1-r²/Ri²)+r²d.Ω²
mit Ri²=R³/rs
Interessant ist hier die Abweichung des Faktors der Zeitdilatation von der Längenkontraktion. Im Zentrum (Sattelpunkt) r→0 verschwindet die Längenkontraktion 1/(1-r²/Ri²) → 1 tatsächlich.

...weiter gedacht: Hätten wir eine Hohlkugel mit r ~ rs, dann wäre der innere Radius r = U/2π also kein Unterschied zwischen Koordinatenradius und physikalischem Radius.

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Schwarzschildradius 04 Mai 2019 13:45 #51568

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ra-raisch schrieb: Die Metrik beschreibt den leeren Raum unter der Wirkung einer Punktmasse (-Energie) oder eines sphärischen oder kugelförmigen orbital homogenen Körpers (Energieansammlung). Sie gilt nicht innerhalb eines Körpers. Sie geht von einem Körper mit der Oberfläche R < r aus. Sie gilt auch nicht an dem Punkt der Punktmasse (als Grenzfall ist sie zwar hier auch gültig). Es gibt innere Lösungen zB für die Hohlkugel oder die homogene Kugel. Welche Massenverteilung vorliegt, kann man nicht aus einer allgemeinen Weltformel ablesen, sondern je nach Situation muss man die passende Formel benützen, wenn man nicht jeden Punkt selber aufintegrieren will.

Es ist wohl so, dass jede Kugel-symmetrische Metrik im Vakuum durch Koordinatentransformationen auf
Schwarzschild-Form gebracht werden kann. Und es ist mir schon klar, dass diese Schwarzschildmetrik als
Fortsetzung einer inneren Metrik bei einer ausgedehnten Materieverteilung verwendet werden kann.
Aber bei der idealen Flüssigkeit ist es ja wohl so, dass die Ausdehnung der Flüssigkeit größer sein
muss als der Schwarzschildradius, weil sonst einiges unendlich wird, bzw. der Druck im Inneren sogar
negativ wird, so dass sich das Gebilde ja eher ausdehnen müsste.
Insofern sehe ich nicht, dass es einen Lösung der Einstein-Gleichung G=T gibt, bei der die Ausdehnung
der Energieverteilung kleiner wäre als ihr Schwarzschildradius.

Wenn die äußere Schwarzschildlösung für sich allein die Metrik einer Massensingularität darstellen
soll, dann müsste der dazugehörige Einsteintensor G bei R=0 eine Deltadistribution sein, weil in diesem
Fall auch T bei R=0 eine Deltadistribution ist und G=T gelten muss.
So wie ich das sehe ist aber bei R=0 auch G=0. Und das heißt, dass die äußere Schwarzschildlösung nicht die Metrik
einer Singularität sein kann, sondern, dass es zumindest theoretisch möglich wäre, dass die Raumzeit ganz ohne
Materie "Schwarzschild-Form" haben könnte. Aber es ist natürlich nicht vernünftig anzunehmen, dass es so etwas
tatsächlich gibt; weswegen ich denke, dass Metriken immer stetig sein müssen, und es deshalb keine Massenverteilungen
geben kann, deren Ausdehnung kleiner ist, als ihr Schwarzschildradius.

Es gibt ja viele Modelle für mehr oder weniger "schwarze" Objekte. Aber das mit einer punktförmigen Singularität und
einem ausgedehnten Ereignishorizont drum herum funktioniert doch nicht mal theoretisch.

ra-raisch schrieb: ...weiter gedacht: Hätten wir eine Hohlkugel mit r ~ rs, dann wäre der innere Radius r = U/2π also kein Unterschied zwischen Koordinatenradius und physikalischem Radius.

Über Hohlkugeln habe ich in diesem Thread auch schon philosophiert. Aber kann so ein Ding auch stabil sein?

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Schwarzschildradius 04 Mai 2019 16:42 #51569

bro schrieb: Aber bei der idealen Flüssigkeit ist es ja wohl so, dass die Ausdehnung der Flüssigkeit größer sein
muss als der Schwarzschildradius, weil sonst einiges unendlich wird, bzw. der Druck im Inneren sogar
negativ wird, so dass sich das Gebilde ja eher ausdehnen müsste.

Das hat überhaupt nichts mit der Problemstellung zu tun. Schwarzschild hat eine Punktmasse untersucht.

bro schrieb: Und dann gibt es ja noch die Metrik für die ideale Flüssigkeit, und da gibt es schon wieder so eine Formel R=(r³+ρ)1/3.

Von welcher Formel sprichst Du? Meinst Du die innere Lösung mit κ·ρ?
d.s² = -c²d.τ² = -((²(9-3R²(κ*ρ)))-²(1-r²(κ*ρ)/3))²c²d.t²/4+d.r²/(1-r²(κ*ρ)/3)+r²d.Ω²
Da spricht man eher von homogener Kugel als von idealer Flüssigkeit.
Ansonsten finde ich nur
Tμν=(ρ+P/c²)uμuν−Pημν

bro schrieb: Wenn die äußere Schwarzschildlösung für sich allein die Metrik einer Massensingularität darstellen
soll, dann müsste der dazugehörige Einsteintensor G bei R=0 eine Deltadistribution sein, weil in diesem
Fall auch T bei R=0 eine Deltadistribution ist und G=T gelten muss.

Bei der Vakuumlösung hat G überall den Wert Null. Die Gleichung gilt aber nur dort, wo auch wirklich keine Masse ist, bzw sie gilt auch dort, sofern dort keine Masse wäre.

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Schwarzschildradius 04 Mai 2019 21:01 #51585

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@ra-raisch:
Ähm, ich schrieb doch, dass die äußere Schwarzschildmetrik nur dort gilt, wo keine Masse ist. Wenn man aber von
einem Massenpunkt ausgeht, dann befindet sich bei r=0 aber Masse. Insofern ist die äußere Schwarzschildlösung
für sich alleine genommen ja keine Lösung für das Problem des Massenpunktes.
In der Elektrodynamik z.B. hat man für das Problem der Punktladung eine Greensfunktion, die das Potential der
Punktladung angibt. Aber die die äußere Schwarzschildlösung ist ja wohl keine "Greensfunktion", sondern
eine formale Vakuumlösung, die nur dann einen Sinn ergibt, wenn sie stetig differenzierbar an eine
innere Lösung angenäht wird. Da könnte man ja versuchen die Lösung für eine Kugel mit homogener Dichte und
Radius ra zu nehmen und den Grenzwert ra->0 bei konstanter Masse zu bilden, um die Lösung für den
Massenpunkt zu bekommen. aber das klappt nicht, weil der Druck divergiert bzw. negativ wird, wenn ra in die Nähe von rs
kommt. (Der Druck steht im Energie-Impuls-Tensor und ist somit sehr wohl gravitativ relevant!)

Und da stellt sich ja schon die Frage, ob das Problem des Massenpunktes in der ART überhaupt eine Lösung hat
(die auch ein Mathematiker gelten lässt).

PS:
Schwarzschild. die 2.

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Schwarzschildradius 04 Mai 2019 21:19 #51586

bro schrieb: Und da stellt sich ja schon die Frage, ob das Problem des Massenpunktes in der ART überhaupt eine Lösung hat

Das ist dann die Singularität, an der alle uns bekannten Theorien zusammenbrechen.

Verneinend,

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Schwarzschildradius 04 Mai 2019 22:52 #51591

bro schrieb: Schwarzschild. die 2.

Das ist die Innere Lösung, die "inkompressible Flüssigkeit" ist dabei das Gleiche wie die homogene Kugel. Damals konnte man sich wohl das Innere eines Körpers nur vorstellen, wenn es zumindest flüssig war ....
Ob die homogene Kugel aus Stein, Gas, Wasser, Lava, Neutronen in Elektronengröße, Vakuum oder egal was besteht, ist uns heute egal, die (homogene) Dichte ist das einzige was interessiert.

Ach ich halte es nicht aus .... k² die Gaußsche Gravitationskonstante .... naja das war damals üblich.

Die Fluchtgeschwindigkeit vr =²(rs/r) hat er ja gefunden, wieso er das aber dann va = sin.χa nennt?

Sein R³=r³+ρ hat er aber aus der ersten Arbeit quasi abgeschrieben, noch nichts dazugelernt.

Die Innere Lösung steht in Gleichung (35), ganz klug werde ich aus den Faktoren allerdings nicht.

Bei wiki wird es kurz und bündig vorgerechnet, ganz ohne ART.


ART braucht man dafür nicht, weil die Feldlinien der Gravitation nicht vom Radius (Abstand zur Quelle) sondern von der Kugeloberfläche in einem beliebigen Abstand abhängt, und das entspricht glücklicher Weise genau dem Koordinatenradius (4r²π), da die Längendehnung nur in radialer Richtung wirkt.

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 12:34 #51611

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Yukterez schrieb:

bro schrieb: Und da stellt sich ja schon die Frage, ob das Problem des Massenpunktes in der ART überhaupt eine Lösung hat

Das ist dann die Singularität, an der alle uns bekannten Theorien zusammenbrechen.

Das heißt aber, dass das "Schwarze Loch", das aus einer Massensingularität und einem ausgedehnten Ereignishorizont
besteht, keine Lösung der Einsteingleichung G=T ist. Und ich habe bislang auch nichts gefunden, das darauf hindeutet,
dass etwas kleiner seiner sein könnte als der eigene Schwarzschildradius; das scheint aufgrund der Einsteingleichung
unmöglich zu sein. Insofern bricht die Theorie nicht erst bei einer Singularität zusammen, sondern schon am
Ereignishorizont. Das muss nicht unbedingt ein Mangel der Theorie sein. Vielleicht ist es tatsächlich so, dass
die Energiedichte im Universum begrenzt ist.

Insofern ist Schwarzschilds Formel R=(r³+rs³)1/3, die Punkte zu Kugeln aufbläst und den Raum am Horizont
enden lässt, doch nicht so dumm. Das mag keine ganz exakte Lösung der Einsteingleichung sein,
aber das "schwarze Loch" ist das ja wohl auch nicht. Der eigentliche Fehler besteht letztlich in der Annahme, dass
eine Massenverteilung punktförmig sein könnte.

Im übrigen ist ja der physikalische Durchmesser eines SL auch nicht definiert oder eine imaginäre Zahl. Insofern
ist es mir ein Rätsel, wie man so etwas als real betrachten kann. Ich halte es immer noch für besser, große schwarze
Objekte als Hohlkugeln zu behandeln. Und wenn dann etwas den Horizont erreicht, dann trifft es auf eine hohe
Energiedichte und die Trajektorie ist zu Ende.

@ra-raisch: Jetzt wirst Du aber überheblich :angry:

"inkompressible Flüssigkeit":
"inkompressibel" bedeutet, das sich die Dichte auch unter Druck nicht ändert. Das ist bei Gasen nicht der Fall.
"flüssig" bedeutet relativ leicht verformbar. Das ist hier von Bedeutung, damit man davon ausgehen kann, dass die
Masseverteilung eine kugelsymmetrische Form annimmt. Das ist bei Stein im allgemeinen nicht der Fall.
Insofern hat sich Schwarzschild durchaus physikalisch vernünftig ausgedrückt. Du bist derjenige, der unphysikalisch denkt.

"Sein R³=r³+ρ hat er aber aus der ersten Arbeit quasi abgeschrieben":
Die Formel ist nicht falsch. ρ ist hier eine Integrationskonstante. Bei der Vollkugel kann ρ nicht Null sein,
weil die äußere Lösung an die innere ohne Knick an die innere angenäht werden muss.
Es ist so, dass jede kugelsymmetrische Metrik im Vakuum durch eine Koordinatentransformation auf Schwarzschildform
gebracht werden kann; Dein Fehler ist, dass Du glaubst die Metrik hätte "von Natur aus" Schwarzschildform.

"noch nichts dazugelernt":
Schwarzschild hat seine beiden Lösungen der Feldgleichungen während des ersten Weltkrieges an der Front entwickelt,
hat sie innerhalb von 1,5 Monaten publiziert und ist nach 3 weiteren Monaten an einer schweren Krankheit
gestorben. Es gibt blöde Bemerkungen und sau-blöde Bemerkungen.

"Bei wiki wird es kurz und bündig vorgerechnet, ganz ohne ART":
Es mag sein, dass die Dinge einfacher werden, wenn man ein paar dutzend Resultate, die sich aus der ART folgern lassen,
als gegeben voraussetzt. Am einfachsten wird es, wenn man die fertige Formel einfach abschreibt.

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 12:53 #51614

bro schrieb: Insofern ist Schwarzschilds Formel R=(r³+rs³)1/3, die Punkte zu Kugeln aufbläst und den Raum am Horizont
enden lässt, doch nicht so dumm. Das mag keine ganz exakte Lösung der Einsteingleichung sein,

Doch, exakt ist es schon, nur unnötig, dafür genügt auch der Koordinatenradius r. Ob r < rs sinnvoll ist oder nicht, liegt nicht an der Formel, das muss der Anwender (bzw die Natur) entscheiden. Das ist wie wenn man fordern will, dass negative Werte in jeder Formel genauso sinnvoll sein sollen. In manchen ist das sinnvoll, in manchen nicht. Die innere Lösung ist eben auch nicht auf r > R anwendbar, weil das nicht drinnen ist. Natürlich kann man auch Formeln entwickeln, die innen und außen gelten ... kann man, muss man aber nicht. Und das blanke Gravitationsgesetz versagt, wenn der Luftwiderstand eine nennenswerte Rolle spielt ... jede Formel hat ihren Anwendungsbereich nebst Randbedingungen.

Aber die Formel R³=(r³+rs³) scheint es Dir angetan zu haben, wer weiß, womöglich findest Du heraus, was r in real bedeuten könnte. Die Formel ist ja nicht falsch, nur die praktische Bedeutung (Vorteil gegenüber Koordinatenradius) ist fraglich. Allein die Tatsache, dass es eine Projektion des rs auf das Zentrum darstellt, ist ja nur ein Formalismus. Da könnte man sich dann fragen, ob dann auch negative Wert gültig sein könnten.

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 17:11 #51627

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ra-raisch schrieb: Aber die Formel R³=(r³+rs³) scheint es Dir angetan zu haben, wer weiß, womöglich findest Du heraus, was r in real bedeuten könnte. Die Formel ist ja nicht falsch, nur die praktische Bedeutung (Vorteil gegenüber Koordinatenradius) ist fraglich. Allein die Tatsache, dass es eine Projektion des rs auf das Zentrum darstellt, ist ja nur ein Formalismus. Da könnte man sich dann fragen, ob dann auch negative Wert gültig sein könnten.


Die Theorie besagt, dass die Raumzeit durch die Energiedichte gekrümmt wird. Wenn man eine Metrik berechnen will, muss ja wohl
die Energiedichte erstmal in irgendwelchen Koordinaten beschreiben. Sobald man die Metrik hat kann man natürlich auch
Koordinatentransformationen anwenden, so dass die Metrik besonders hübsch wird. Wenn man aber von vorn herein mit einem
Koordinatensatz auskommt, dann liegt das daran, dass man nur mit formalen Vakuum-Lösungen hantiert bzw. Annahmen macht,
die einer Begründung bedürfen.
Ich denke, dass man das R in der Schwarzschildmetrik bestenfalls nur dann zu einem kartesischen Koordinatenradius
erklären könnte, wenn das Universum nur aus einer zentralen Masse bestehen würde. Aber das Universum als Ganzes wird ja
durch eine Friedmann-Metrik beschrieben. Insofern könnte man Schwarzschilds x,y,z bzw. r als Koordinaten auffassen,
die zu einer kosmischen Friedmann-Metrik mit euklidischem Raum gehören. Und dann kommt eben raus, dass das R vom
Koordinatenabstand r verschieden ist (R³=r³+ρ). Das heißt, dass für den "Friedmannschen Buchhalter" die Metrik nicht
die übliche Schwarzschildform hat. Die Buchhalter-Form bekommt man, indem man für die Standardform
eine Koordinatentransformation r=(R³-ρ)1/3 durchführt. Der Unterschied zwischen r und R wird bei wachsenden r
zwar schnell klein, aber in der unmittelbaren Umgebung großer Massen gibt es doch "Verzerrungen".
Für Objekte, die zu 99,9% von einer Masse beeinflusst werden, spielt das zwar keine Rolle; aber wenn sich der
"Friedmannsche Buchhalter" als Astronom betätigt und sich ein Bild davon machen will, was in der näheren Umgebung
großer Massen geschieht, könnte er schon Fehler machen, wenn er so tut als wäre r=R.
Allerdings hängt der Wert von ρ von der Massenverteilung ab. Bei einer "schwarzen Hohlkugel" mit Radius rs, wäre
wohl ρ=0 und R=r, bei einem "aufgeblähten Punkt" wäre ρ=rs³, bei allen anderen Fällen irgendetwas dazwischen.

Darüber hinaus ist es so, dass es bei Schwarzschild einen Unterschied zwischen gravitativer Masse, die in großer
Entfernung gefühlt wird und aus dem Parameter rs berechnet werden kann, und der substantiellen Masse gibt.
Schwarzschild mutmaßt da zwar etwas von Energieabgabe bei Kontraktion, aber ich denke, dass das einfach nur von
der Nichtlinearität der Gravitation kommt.

Das gute daran ist: wenn man die unmittelbare Umgebung einer großen Masse ganz genau beobachtet, dann könnte man
evtl. auch das ρ ermitteln und Rückschlüsse auf die Massenverteilung ziehen.

Vielleicht hat auch das "falsche Rotationsverhalten" der Spiral-Galaxien etwas damit zu tun, dass die Nichtlinearität
der Gravitation doch eine größere Bedeutung hat als es auf dem ersten Blick erscheint, und man nicht vernachlässigen darf,
dass eine Galaxie nicht alleine im Universum ist und es einen "Friedmannschen Hintergrund" gibt, bzw. die Galaxie
ihren eigenen Hintergrund bildet.

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 18:11 #51633

bro schrieb: Ich denke, dass man das R in der Schwarzschildmetrik bestenfalls nur dann zu einem kartesischen Koordinatenradius
erklären könnte, wenn das Universum nur aus einer zentralen Masse bestehen würde.

Wenn ich eine Drehscheibe beschreibe, wird dadurch deren Drehpunkt auch nicht zum Zentrum des Universums .... oder die Beschreibung falsch, weil sich das Universum nicht drum schert.

Wovon sprichst Du? Es geht um eine physikalische Beschreibung der Schwarzschildmetrik und nicht um das Universum wie es bis ins letzte Atom ist.

Dazu muss man R nicht zum Koordinatenradius erklären, sondern genau das ist es. Man muss nur bereit sein, es zu erkennen.

bro schrieb: Schwarzschild mutmaßt da zwar etwas von Energieabgabe bei Kontraktion, aber ich denke, dass das einfach nur von
der Nichtlinearität der Gravitation kommt.

Dies (Energie-Kontraktion) wäre ein Effekt, der mit der Schwarzschildmetrik absolut nichts zu tun hätte. Es gibt durchaus Modelle, die Druck etc berücksichtigen, das muss man auch, wenn man die Sternentwicklung im Auge hat. Es hat aber absolut nichts mit der Metrik in der allgemeinsten Form zu tun. Und die allgemeinste Form ist das erste was benötigt wird. Das erste ist die Minkowskimetrik, das zweite die Schwarzschildmetrik ... Wie willst Du eine Sternentwicklung betrachten, wenn Du NUR eine Metrik für Sterne aus Eisenkern mit Siliziummantel besitzt? Dann musst Du zuerst die überflüssigen Parameter herausrechnen und die Schwarzschildmetrik erfinden.

Und was meinst Du mit "dass das einfach nur von der Nichtlinearität der Gravitation kommt"? Was soll denn davon (und wovon???) kommen? Du meinst vermutlich die Gezeitenkräfte. Die lassen wir bitte sehr außer Betracht, wenn wir eine homogene Kugel betrachten. Komplizierte Aufgaben kann man sich dann immer noch ausdenken. Aber bitte erst, NACHDEM die Schwarzschildlösung verstanden ist. Dazu gehört dann auch die inkompressible Flüssigkeit mit Druck, kompressible Flüssigkeit etc.

Manchmal verstehe ich Dich wirkich nicht mehr, und das häuft sich ....

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 19:35 #51636

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Aber bitte erst, NACHDEM die Schwarzschildlösung verstanden ist

Genau, darum geht es! Um die Schwarzschildlösung zu verstehen, muss man aber auch die Bedeutung der Koordinaten verstehen.
Und Du hast mich gefragt, welche reale Bedeutung die Koordinaten x,y,z,r bei Schwarzschild haben. Diese Frage habe
ich beantwortet. Es sind kosmische Koordinaten. Sofern man nur ein massives Objekt beschreibt, braucht man die nicht.
Wenn man zwei oder mehr Objekte hat, dann braucht man ein zusätzliches Koordinatensystem, mit denen die Positionen der
Objekte angegeben werden können, bzw. auch die die Massenverteilungen der einzelnen Objekte beschrieben werden.

Wenn die Metrik für das n-te Objekt mit Koordinaten (Rn, φn, θn) beschrieben wird, und im übergeordneten
Koordinatensystem Koordinatenabstände rn zu den Massenzentren definiert sind, dann stellt sich die Frage
wie all diese Koordinaten zusammenhängen. Wenn man nur ein Objekt hat, dann ist es relativ unproblematisch, wenn
man davon ausgeht, dass r=R sei, obwohl es nicht richtig ist. Bei Schwarzschild gibt es die Formel R=(r³+ρ)1/3,
Moderne Autoren geben zwar keine explizite Formel an, aber arbeiten mit "formalen" Koordinatentransformationen
(manchmal sind die Rollen von r und R vertauscht).
Bei mehr als einem Objekt wird es grob falsch, wenn man rn=Rn annimmt.

Und was meinst Du mit "dass das einfach nur von der Nichtlinearität der Gravitation kommt"? Was soll denn davon (und wovon???) kommen?

Nichtlinearität der Gravitation bedeutet, dass zwei Objekte mit gleicher Masse, die auf irgendeine Art
an der selben Position landen, im allgemeinen zusammen nicht die doppelte Gravitation verursachen
wie jede für sich alleine. Das ist nur bei Newton so, die Einstein-Gleichung ist halt nicht-linear.

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 19:40 #51637

bro schrieb: Und Du hast mich gefragt, welche reale Bedeutung die Koordinaten x,y,z,r bei Schwarzschild haben. Diese Frage habe
ich beantwortet. Es sind kosmische Koordinaten.

Nö sind es nicht, nachdem Schwarzschild die Annahme damit verknüpfte, dass die Unstetigkeit nur im Zentrum auftritt. Vorher wären sie dafür geeignet gewesen.

bro schrieb: Nichtlinearität der Gravitation bedeutet, dass zwei Objekte mit gleicher Masse, die auf irgendeine Art
an der selben Position landen, im allgemeinen zusammen nicht die doppelte Gravitation verursachen
wie jede für sich alleine. Das ist nur bei Newton so, die Einstein-Gleichung ist halt nicht-linear.

Und woraus, meinst Du, ergibt sich das?
Die korrekte Lösung (1-rs/r) beweist das Gegenteil.

Aber ich kann mir schon denken, was Du meinst. Die potentielle Energie. Wir reden aber bei rs nicht von der Ruhemasse sondern von der Gesamtenergie. Und die bleibt auch für jeden Körper erhalten, wenn er nicht vorher einen Teil abgibt.

Wenn Du zwei Körper zusammenbringst, wird ein Teil der potentiellen Energie in kinetische Energie umgewandelt. Die Summe bleibt immer konstant. Die Bindungsenergie geht also nicht verloren. Wenn Du sie wegnimmst (zB Abstrahlung), veränderst Du natürlich den Versuch. Wenn sie als thermische Energie auch nach dem Zusammenprall vorhanden ist, ist die Gemsamtmasse auch die Gesamtruhemasse der beiden Einzelkörper.

Wie sich die Zentralmasse (M = E/c²) bei der Schwarzschildlösung zusammensetzt, ist vollkommen wurscht. Natürlich ist das nicht 1:1 Ruhemasse. Zur Unterscheidung darfst Du es auch gefühlte Masse nennen. Und es gibt auch Teile davon, die sich im Falle der Rotation oder der Ladung wegtransformieren lassen. Aber wir sprechen ja hier von Schwarzschild also weder Rotation noch Ladung, und selbstverständlich auch keine andere kinetische Energie. Die innere Energie darf aber durchaus kinetische Bestandteile haben (rotierende Atome, Temperatur, Druck etc). Das

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 19:51 #51638

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@ra-raisch
wiiki:
Erschwerend kommt hinzu, dass die Summe zweier Lösungen im Allgemeinen keine Lösung der Feldgleichungen ist, die Lösungen sind also nicht superponierbar. Dies liegt an der Nichtlinearität der Feldgleichungen, die als ein Hauptkennzeichen der ART gilt. Aufgrund dieser Komplexität der Gleichungen ist es oft nicht möglich, exakte Lösungen für die Feldgleichungen zu finden. In solchen Fällen können zum Teil Verfahren zum Finden einer Näherungslösung verwendet werden.

ra-raisch: Nö sind es nicht, nachdem Schwarzschild die Annahme damit verknüpfte, dass die Unstetigkeit nur im Zentrum auftritt. Vorher wären sie dafür geeignet gewesen.

Das siehst Du falsch, aber mach Dir nichts draus, Du bist nicht allein;)

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 19:54 #51640

bro schrieb: Das siehst Du falsch, aber mach Dir nichts draus, Du bist nicht allein;)

Kannst Du das mit zeitgenössischer Literatur belegen?
Aus der Arbeit Schwarzschilds kannst Du es nicht herauslesen, er hat es einfach unterstellt.
Es gibt seit Jahrzehnten keinen namhaften Physiker, der das so sieht wie Du.

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 20:07 #51642

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ra-raisch schrieb:

bro schrieb: Das siehst Du falsch, aber mach Dir nichts draus, Du bist nicht allein;)

Kannst Du das mit zeitgenössischer Literatur belegen?
Aus der Arbeit Schwarzschilds kannst Du es nicht herauslesen, er hat es einfach unterstellt.
Es gibt seit Jahrzehnten keinen namhaften Physiker, der das so sieht wie Du.


Das Dilemma bei Schwarzschilds erster Publikation ist, dass seine Rechnung auf einem
Argument beruht, das nicht zwingend ist. Er hat eine korrekte Vakuumlösung angegeben,
aber ob die wirklich zum Massenpunkt passt. ist schon fragwürdig. ART ist bei r<rs
halt verdammt schwer bzw. ungültig.
Bei seiner zweiten Publikation ist das aber anders. Da sehe ich keine Problem bezüglich
der Koordinaten-Interpretation.

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 21:43 #51646

bro schrieb: ART ist bei r<rs halt verdammt schwer bzw. ungültig.

Daran ist aber nicht die Schwarzschildlösung schuld, die Natur ist halt so. Die Lösung aus dem Dilemma scheint ja die Zeitdilatation zu sein, die ein Erreichen von rs gar nicht möglich macht. Was dann innerhalb einer neuen Schale passiert, kann man aus der Schwarzschildlösung extrapolieren, aber wie man das dann interpretieren soll, ist überhaupt nicht klar. Wie gesagt gibt es andere Koordinatenlösungen zB Kruskal Szekeres, die auf der Eigenzeit eines fallenden Partikels beruhen und das Innere auch nicht anders erscheinen lassen als außen. Aber ob diese Eigenzeit jemals zum Zuge kommt oder nur theoretisch so stattfinden würde, kann man ja nicht sagen. Wie gesagt kann die Formel nur ausdrücken, wie es wäre, nicht ob es stattfinden wird. Denn die Eigenzeit ist halt sehr "dehnbar". Das spielt für die Eigenzeit keine Rolle. Und wie es scheint, würde eine weitere Schale gar nichts am Zustand im inneren ändern, auch wegen der Zeitdilatation. Nicht einmal das Gravitationsfeld könnte nach innen dringen.

bro schrieb: Bei seiner zweiten Publikation ist das aber anders. Da sehe ich keine Problem bezüglich
der Koordinaten-Interpretation.

Ich verstehe schon, was Du meinst. Allerdings fußt auch diese zweite Arbeit genauso auf der Unterstellung, dass die Unstetigkeit bei r=0 auftreten würde. Insofern ist dann sein r eben nichts anderes als der Abstand von rs. Versuche doch einmal auszurechnen, wie groß nach seiner Meinung der Radius ist, bei dem Licht im stabilen Orbit rotiert etc.

Leider kann ich das Ergebnis seiner 2.Arbeit nicht ganz nachvollziehen bzw ob sich das Ergebnis von der richtigen Inneren Lösung unterscheidet oder nicht. Er benützt so viele Hilfsvariablen, dass das sehr unübersichtlich wird. sin.χa ist die Fluchtgeschwindigkeit, doch was soll χ sein und vor allem cos.χ?

EDIT:
Es kann natürlich sein, dass die zweite Arbeit tatsächlich von einer idealen Flüssigkeit nebst Druck ausgeht, das wäre aber nicht das, was man heute die Innere Lösung nennt. Der Unterschied dürfte marginal sein.

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Schwarzschildradius 05 Mai 2019 23:08 #51654

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ra-raisch schrieb: Leider kann ich das Ergebnis seiner 2.Arbeit nicht ganz nachvollziehen bzw ob sich das Ergebnis von der richtigen Inneren Lösung unterscheidet oder nicht. Er benützt so viele Hilfsvariablen, dass das sehr unübersichtlich wird. sin.χa ist die Fluchtgeschwindigkeit, doch was soll χ sein und vor allem cos.χ?

EDIT:
Es kann natürlich sein, dass die zweite Arbeit tatsächlich von einer idealen Flüssigkeit nebst Druck ausgeht, das wäre aber nicht das, was man heute die Innere Lösung nennt. Der Unterschied dürfte marginal sein.

Ja, Schwarzschilds Koordinatentransformationen aufzudrösseln ist eine Zumutung. Aber ich kann Dich beruhigen
in der Wikkipedia ist das Linienelement dreimal angegeben, die dritte Variante entspricht ziemlich genau
Schwarzschilds Form. Dort steht dann zur Verbindung von Außen- und Innen-Lösung:

"Für die Zusammengehörigkeit beider Lösungen ist Voraussetzung, dass an der Grenzfläche die Metrik und ihre ersten Ableitungen jeweils übereinstimmen."

Leider ist die angebundene Außenlösung nicht explizit angegeben.

Und die Stetigkeit, von der im zitiertem Artikel die Rede ist, hat Schwarzschild bei beiden Arbeiten vorausgesetzt.
Was ja auch nicht falsch ist. Aber bei ganz besonderen Unstetigkeiten (R=rs) kann der Einsteintensor trotzdem verschwinden,
was aber mathematisch grenzwertig ist, weil man dabei "Undefiniert - Undefiniert = Null" rechnet.
Insofern bin ich zu 90% pro Schwarzschild, vorausgesetzt, dass in der ART Objekte, die "kleiner" sind als Ihr eigener
Schwarzschildradius überhaupt einen Sinn ergeben.
Bei der Innen-Lösung mit Fortsetzung ins Vakuum treten solche heiklen Fragen aber erst gar nicht auf.

PS: Druck ist sowohl bei Schwarzschild als auch bei moderner Innen-Lösung berücksichtigt. Unterschied ist nicht marginal.

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Schwarzschildradius 06 Mai 2019 01:09 #51658

bro schrieb: PS: Druck ist sowohl bei Schwarzschild als auch bei moderner Innen-Lösung berücksichtigt.

Wo ist das?

Achso das meinst Du?
"Für ein statisches, ideales Fluid mit konstanter Dichte ρ0 im inneren Bereich..."
Nein, Druck wird nirgends erwähnt, ich kann mir auch nicht vorstellen, was das ändern sollte, bei konstanter Dichte.

bro schrieb: "Für die Zusammengehörigkeit beider Lösungen ist Voraussetzung, dass an der Grenzfläche die Metrik und ihre ersten Ableitungen jeweils übereinstimmen."

Leider ist die angebundene Außenlösung nicht explizit angegeben.

Im Außenbereich ist es die übliche Schwarzschildlösung, die steht ja weiter oben.

Aber lass mich mal ein bisschen brüten, ich hatte mich bisher nur mit der Inneren Lösung des Potentials ohne Druck beschäftigt
de.wikipedia.org/wiki/Potential_(Physik)#Innere_L%C3%B6sung
und das Linienelement scheint davon abzuweichen ....



Soweit ich sehe, hast Du bei der zweiten Arbeit (Innere Schwarzschild Lösung) Recht:

spektrum schrieb: Die innere Schwarzschild-Lösung hingegen ist etwas komplizierter: Schwarzschild nahm eine Kugel an, die aus einer idealen, d.h. inkompressiblen Flüssigkeit bestehe. An der Oberfläche dieser Kugel verschwindet wie bei einem Stern der Druck. Der Energie-Impuls-Tensor dieser Flüssigkeitskugel ist nicht null, aber von relativ einfacher Gestalt. Als 4 × 4-Matrix geschrieben, verschwinden alle Komponenten, außer denjenigen auf der Matrixdiagonalen. Im Gegensatz zur äußeren Schwarzschild-Lösung hat die innere Lösung keine Singularität mehr. Der Außenraum der Kugel entspricht der äußeren Metrik, während der Innenraum neue Eigenschaften aufweist.

Da der Druck unvermeidbar ist, kann man ihn gleich mit einrechnen. Die Dichte ist wohl eine Ruhemassedichte? Aber die potentielle Energie müßte ja dabei dann auch in Abzug gebracht werden ...

Ich dachte, es wäre nur eine Lösung unter Berücksichtigung der Raumdehnung jedoch konstanter Energiedichte (inkl Druck, Temperatur, Bindungsenergie ...)

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Schwarzschildradius 06 Mai 2019 21:27 #51674

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Letztendlich dreht sich alles um eine Frage:

Allgemeinstes statisches kugelsymmetrisches Linienelement:
ds² = f0(r)dt² + f1(r)dr² + f2(r)(dϑ²+sin²ϑ dφ²)

Definition R²:= f2(r)

"formale" Koordinaten-Transformation->
ds² = h0(R)dt² + h1(R)dR²+R²(dϑ²+sin²ϑ dφ²)

Vakuum-Lösung->
ds² = (1-rs/R)dt² + 1/(1-rs/R)dR²+R²(dϑ²+sin²ϑ dφ²)

Woher kennt man Zusammenhang zwischen r und R, bzw. wie beweist man R=r?


Schwarzschild behauptet R³ = r³ + ρ (ρ hängt von Massenverteilung ab)

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Schwarzschildradius 06 Mai 2019 22:11 #51676

Richtig, so lautet die Frage.

Allein der letzte Term sagt es mir:
R²(dϑ²+sin²ϑ dφ²)

Orbital passiert nichts, also r=R
Kann man das als sicher annehmen? Wohl schon.

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Schwarzschildradius 08 Mai 2019 21:37 #51728

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ra-raisch schrieb: Richtig, so lautet die Frage.

Allein der letzte Term sagt es mir:
R²(dϑ²+sin²ϑ dφ²)

Orbital passiert nichts, also r=R
Kann man das als sicher annehmen? Wohl schon.


Egal wie kompliziert der Zusammenhang zwischen r und R ist,
die Metrik ist immer Kugel-symmetrisch. Insofern verstehe ich
Dein Argument nicht. Insbesondere da ja R sowieso auch kein
physikalischer Radius ist.

Es scheint so als würde man sich heutzutage gar nicht dafür
interessieren, wie denn so eine lokale Lösung in einen
"kosmischen Koordinatensystem" aussieht.

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Schwarzschildradius 09 Mai 2019 01:11 #51736

bro schrieb: Es scheint so als würde man sich heutzutage gar nicht dafür
interessieren, wie denn so eine lokale Lösung in einen
"kosmischen Koordinatensystem" aussieht.

Es gibt unterschiedliche Bezugssysteme mit ihren Metriken, eine davon ist die nach meiner Meinung wichtigste, die Schwarzschildmetrik, die die Sichtweise des stationären Beobachters in beliebigem Radius gegenseitig wiedergibt. r ist dabei die Sichtweise des Beobachters in einer flachen Metrik (r→∞), wenn eben die Faktoren zu ²(1-rs/r)→1 werden. Natürlich spielt es dabei keine große Rolle, ob man vorher rs von r abzieht oder auch in höherer Potenz. Allerdings dürfte klar sein, dass aus dieser Sichtweise r nur der gemessene Radius sein kann, bei rs muss r=rs und nicht Null werden. Das hat eine flache Metrik so an sich.

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Schwarzschildradius 09 Mai 2019 22:10 #51775

Yukterez schrieb: In dem seinen System bleibt die Ausdehnung der Masse aufgrund der gravitativen Zeitdilatation immer ein infinitesimales Stück größer als ihr Horizontradius.


Ich dachte, das was das schwarze Loch ausmacht, befindet sich hinter den Ereignishorizont. Würde die Masse aus dem schwarzen Loch herausschauen, müsste es doch etwas vor besagtem Ereignishorizont erscheinendes sicht- oder messbares geben?

Brett vor dem Kopf habend

derWestermann

"`Oh dear,' says God, `I hadn't thought of that,' and promptly vanished in a puff of logic.

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"`Oh dear,' says God, `I hadn't thought of that,' and promptly vanished in a puff of logic.

Schwarzschildradius 09 Mai 2019 23:27 #51779

derwestermann schrieb: Ich dachte, das was das schwarze Loch ausmacht, befindet sich hinter den Ereignishorizont.

Siehe Beitrag #49730, diese Referenz und dieses Video.

Hinweisend,

Folgende Benutzer bedankten sich: ra-raisch

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Schwarzschildradius 10 Mai 2019 16:03 #51803

Yukterez schrieb: mathpages.com

Tolle Webseite, umfangreich und sehr schön erklärt.

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