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THEMA: Zwei sphärische Räume schneiden sich

Zwei sphärische Räume schneiden sich 29 Mai 2019 17:59 #52192

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Ein sphärischer Raum ist unbegrenzt aber endlich. Er kann also einen kleineren sphärischen Raum beinhalten.
Gibt es eine Schnittebene zwischen dem größeren und dem in ihm enthaltenen kleineren
sphärischen Raum? Wie sieht diese aus? Ist das eine Kugeloberfläche?
Gibt es neben der Schnittfläche Punkte im Raum, die sich gleichzeitig in beiden Sphären befinden?

Bin gespannt auf eine Antwort.
Michael

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Zwei sphärische Räume schneiden sich 30 Mai 2019 00:23 #52195

dade schrieb: Ein sphärischer Raum ist unbegrenzt aber endlich. Er kann also einen kleineren sphärischen Raum beinhalten.
Gibt es eine Schnittebene zwischen dem größeren und dem in ihm enthaltenen kleineren
sphärischen Raum? Wie sieht diese aus? Ist das eine Kugeloberfläche?
Gibt es neben der Schnittfläche Punkte im Raum, die sich gleichzeitig in beiden Sphären befinden?

Bin gespannt auf eine Antwort.
Michael

Sphärische Räume sind gekrümmt. Die Krümmung hängt von der Größe ab. Stell Dir die Erdoberfläche vor. Wie sollte diese die Oberfläche einer anderen kleineren Kugel enthalten?

Bei Kugeloberflächen gibt es Schnittmöglichkeiten. Diese ergeben Kreislinien. Schneiden sich sphärische Räume, müßte der Schnitt wohl eine Kreisfläche (oder doch Kugeloberfläche?) ergeben. Dies setzt aber die Einbettung in einen 4D-Raum voraus, wie etwa beim Ballonmodell.

EDIT:
Beim Schnitt stimmen ja die Koordinaten in beiden Systemen überein, nur die zusätzliche Dimension weist unterschiedliche Koordinaten auf. Somit sollte sich wohl doch eine Kugeloberfläche als Schnitt bilden. Die drei "sichtbaren" Koordinaten sind ja gleich berechtigt.

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Zwei sphärische Räume schneiden sich 31 Mai 2019 13:16 #52223

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Danke für die Antwort!
Es ist offensichtlich nicht einfach mit unsereren Raumvorstellungen.
Wir können nur Punkt, Linien und Flächen. Um die Struktur unseres Raumes beobachten und messen zu können, müssten wir eine Dimension mächtiger sein. Wir Menschen versuchen diesen Mangel mit unserer Mathematik zu verringern indem wir uns in eine höhere Dimension versetzen.
Unsere Raumvorstellungen basieren ausschließlich auf der Extrapolation von gemessenen Abständen zwischen Oberflächen. Im euklidischen Raum ist diese Extrapolation einigermaßen anschaulich und problemlos durch die Bildung von Schnittflächen oder Projektionsflächen. Im sphärischen Raum wird alles nicht anschaulich.
Ich bin kein Mathematiker.
Welche Struktur hat der D4 Raum? Ist er immer euklidisch oder in meinem Fall sphärisch?

Michael

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Zwei sphärische Räume schneiden sich 31 Mai 2019 14:08 #52225

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dade schrieb: Danke für die Antwort!
Es ist offensichtlich nicht einfach mit unsereren Raumvorstellungen.
Wir können nur Punkt, Linien und Flächen. Um die Struktur unseres Raumes beobachten und messen zu können, müssten wir eine Dimension mächtiger sein. Im sphärischen Raum wird alles nicht anschaulich.
Ich bin kein Mathematiker.
Welche Struktur hat der D4 Raum? Ist er immer euklidisch oder in meinem Fall sphärisch?

Ich glaube, dass es da eine Vermischung von Begriffen gibt.
Also eine Sphäre ist per Definition eine 3D-Fläche mit Geodäten. Also kann es somit als Schnittmenge nur Flächen geben.
Da Du aber den Begriff von sphärischen Räumen eingefügt hast, wäre die Schnittmenge zweier massiven Kugeln natürlich ein Raum, nämlich konkret eine 3d-Linse. Wenn Du aber eine Dimension höher gehst... z.B. Hyperwürfel


Hm, Zwei sich schneidende Hyperwürfel......
So etwa:

MfG
WL01

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WL01

Zwei sphärische Räume schneiden sich 01 Jun 2019 00:15 #52247

dade schrieb: Welche Struktur hat der D4 Raum? Ist er immer euklidisch oder in meinem Fall sphärisch?

Sphärisch ist das falsche Wort, er ist gekrümmt, aber das meinst Du ja.

Das Ballonmodell ist ja eine 3dimensionale Hyperfläche (Volumen) einer 4dimensionalen Hyperkugel. Diese Hyperfläche ist wie die Oberfläche einer Kugel gekrümmt, in allen 3 Raumrichtungen.

Schneidet man nun zwei dieser Hyperkugeln, dann schneiden sich auch ihre 4D-Hyperkugel-Oberflächen (3D-Volumina) ähnlich wie die 2D-Oberflächen bei zwei 3D-Kugel-Oberflächen, die sich schneiden.

Es gibt ein Zentrum innerhalb der Schnitte, man kann dies durch die Linie konstruieren, um die die beiden Kugeln gegeneinander verschoben sind. Die Schnitt-"Linien" sind Kreise um dieses Zentrum, und eine Dimension höher sind diese Schnitte dann Kugelflächen um dieses Zentrum ... denke ich. Der Radius der Kugelfläche ergibt sich aus dem jeweiligen Abstand der Zentren der beiden Hyperkugeln, wie bei der Schnittlinie beim Schnitt von 2 Kugeln. Der jeweilige Innenraum der Schnitte (Kreisfläche bei Kugeln bzw Kugelvolumen bei Hyperkugeln) ist nicht teil des Schnittes sondern befindet sich innerhalb des anderen (Hyper)-Körpers. Das wahre Zentrum ist in der jeweiligen Oberfläche nicht enthalten, seine Projektion kann aber konstruiert und gefunden werden, er wird auch als das Zentrum der jeweiligen Schnittfigur empfunden.

So müßte es wohl sein.
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Zwei sphärische Räume schneiden sich 01 Jun 2019 12:57 #52250

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Ich habe das Wort „Sphäre“ aus Wikipedia. Dort ist es definiert als:
Unter einer Sphäre versteht man in der Mathematik die Oberfläche einer Kugel und die Verallgemeinerung davon auf beliebig hohe Dimensionen.
Der dann dort folgende mathematische Teil ist mir zu schwierig. Mit R4 ist wohl der 4-dim. euklidische Raum bezeichnet und mit S3 die dreidimensionale Sphäre. Für mich sieht das so aus, als könnte man die Sphäre nur vom euklidischen Raum aus betrachten und berechnen.
Ich versuche aus der 2-dim. Oberfläche einer Kugel die Eigenschaften auf die 3. Dimension zu extrapolieren. Auf der endlichen Kugeloberfläche gibt es keine Begrenzung und auch keinen Mittelpunkt oder Zentrum. Alles ist gleichmäßig gekrümmt aus der euklidischen Übersicht. Das gleiche sollte auch für die 3-dim. Sphäre gelten.
Können wir diese 3-dim. Sphäre nur aus dem 4-dim. euklidischen Raum heraus mathematische beschreiben?

Michael

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Zwei sphärische Räume schneiden sich 01 Jun 2019 14:03 #52251

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also soweit passt… Sphäre jedoch nur Kugel symmetrisch.

Und Rest was hier so gezeigt wird ist Hexagonales Kristallsystem, nicht mehr, dadurch entsteht ein Volumen und dieser bittet dann problemlos raum für weitere. da braucht man keine weiteren N Dimensionen.

Ja ich kann alles, sogar definieren was ich nicht kann.

Man muss noch Chaos in sich haben, um einen tanzenden Stern gebären zu können.
**Der Friedrich**

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Zwei sphärische Räume schneiden sich 02 Jun 2019 00:06 #52256

dade schrieb: Ich habe das Wort „Sphäre“ aus Wikipedia. Dort ist es definiert als:
...
Können wir diese 3-dim. Sphäre nur aus dem 4-dim. euklidischen Raum heraus mathematische beschreiben?

"Sphäre" ist eigentlich nur die Hülle der Kugel, wird aber auch für die Kugel selbst benützt (egal in welcher Dimension).

Wenn Du die Oberfläche einer Kugel wie der Erde betrachtest, sieht es für die Bewohner an der Oberfläche aus, als ob die Welt (das erfassbare Universum) nicht euklidisch sondern gekrümmt wäre. Genauso wäre es für uns in der Sphäre eines Glome ohne die vierte Dimension wahrnehmen zu können.
Es war für die Menschen nicht so leicht, zu erkennen, dass die Erde keine Scheibe sondern eine Kugel ist. Selbst die Krümmung war nicht so einfach zu erkennen. Und das, obwohl es ja nur um eine Krümmung einer Fläche in der dritten Dimension ging ....

Beschreiben kann man es schon auch intrinsisch, der Umfang (= "Durchmesser" des Lebensraums) läßt sich messen, die Kugelform läßt sich erahnen, es gibt ja keine Kanten....

Chris schrieb: dadurch entsteht ein Volumen und dieser bittet dann problemlos raum für weitere. da braucht man keine weiteren N Dimensionen.

Du verwechselst die Oberfläche mit dem Innenraum. Der Innenraum ist nicht Teil des begehbaren Lebensraums, auch nicht bei der Erdkugel. Und beim Ballonmodell gilt dies eben für die Richtung senkrecht zu den drei Raumdimensionen, auch wenn dies an jedem Punkt in eine ein bisschen andere Richtung im 4D-Raum zeigt, wie eben auf der Erdkugel "oben" und "unten", nur dass wir in 4D "oben" und "unten" nicht einmal wahrnehmen können, wie ein "Flatlander" auf der Erdkugel.

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Zwei sphärische Räume schneiden sich 03 Jun 2019 07:03 #52286

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Chris schrieb: also soweit passt… Sphäre jedoch nur Kugel symmetrisch.

Und Rest was hier so gezeigt wird ist Hexagonales Kristallsystem, nicht mehr, dadurch entsteht ein Volumen und dieser bittet dann problemlos raum für weitere. da braucht man keine weiteren N Dimensionen.

Natürlich benötigt man für eine Sphäre (= 3 dimensionale Fläche) nicht mehr als 3 Dimensionen, allerdings ist die von mir verlinkte Figur kein Hexagonales Kristallsystem, sondern die Darstellung eines rotierenden 4D-Pentagons (also eines Hyper-Fünfecks, so wie oben die Rotation eines Hyper-Würfels dargestellt wird). Aber die Frage war ja, wie man so etwas mehrdimensional aussehen könnte.

MfG
WL01

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MfG
WL01

Zwei sphärische Räume schneiden sich 03 Jun 2019 08:59 #52287

wl01 schrieb: Natürlich benötigt man für eine Sphäre (= 3 dimensionale Fläche) nicht mehr als 3 Dimensionen

Ich denke, dass Du das Problem verwechselst.

Es geht um die 2D-Oberfläche der Erde in einem 3D-Raum und genauso das 3D-"Obervolumen" (3D-Sphäre S³) einer 4D-Kugel (B⁴).

Am besten zeigt man es schon mit einem rotierenden 4D-Körper, die gesuchte Sphäre ist ähnlich wie eine der "Blasen", wenn sie nach außen gewandert ist und den gesamten Körper umgibt. Sie ist zwar aus 4D betrachtet kugelrund aber eben so gekrümmt, dass sie keine Randflächen hat. Besser geeignet wäre das 5-Zell aus 5 Tetraedern, für jede Dimension eines. ... äh da ist ja eins über :) EDIT: auch falsch, siehe unten

Aber das bleibt schwierig vorzustellen, weil alle anderen Körper (als Kugeln) eben nicht gekrümmt sind und sehr wohl Randflächen aufweisen. Das Glome (4D-Kugel, B⁴) kann man nicht sinnvoll rotieren lassen, da sieht man keine Veränderung, sie hat nur ein einziges Oberflächenvolumen.
Eine 3D-Sphäre kann man nicht zeichnen, außer dieses Bild sagt Dir etwas:

Hier eine Animation und ein anderer Versuch

auch interessant aber wohl keine S³


Wie will man auch die Oberfläche S² der Erde B³ in 2D nachvollziehbar darstellen? Das geht nur unter Vorstellung 3D. Eine Merkatorprojektion etc kann man sich nur noch als Fläche und kaum mehr als Oberfläche vorstellen. Die Verzerrungen durch die Projektion sind auch kaum nachvollziehbar. Man könnte S³ auch auf ein kartesisches Volumen R³ projizieren, was in 2D schon schwierig zu zeichnen/verstehen wäre, aber sich daraus dann die S³ vorzustellen wäre ziemlich schwierig.

Am ehesten (ungekrümmt) kommen daran schon die Videospiele heran, bei denen man rechts aus dem Bildschirm läuft und links wieder hereinkommt, was auch mit oben/unten funktioniert, aber mit der dritten Dimension eher durch eine Drehung der Dimensionen in die Zeichenebene darzustellen ist. Genau so funktioniert ja auch der Vergleich mit der Erdkugel. Die dritte Dimension z stelle man sich so vor, dass diese in die Ebene xy der Erdoberfläche gedreht wird. Sie ist dann ebenfalls kreisförmig wie vorher die beiden anderen Dimensionen x und y bzw ist dann die Oberfläche xz oder yz genauso "kugelförmig" (sphärisch) wie vorher xy.

EDIT:
In den Animationen der eckigen Körper ist ja die Summe der Einzelvolumina das Hüllvolumen, wie ja auch die Quadrate beim Würfel in Summe die Oberfläche ergeben. Beim Tesserakt ist das Hüllvolumen also 8*s³ und beim Pentachoron (5-Zell) 5*s³/²72 und bei der Kugel eben 2r³π²
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